在近几年高考数学的全国卷中，数列虽然还是一个常考的知识点，但是考查的难度相对于以前来说已经下降了不少。在以前，数列通常作为压轴题出现，而在如今的全国卷中，数列的考查则更注重对基础知识的考查，出现在解答题的话一般也是第一二道解答题比较多。
本文就和大家分享一道2002年高考数学数列的压轴题。这道题考查了数列的通项公式、数学归纳法证明结论、放缩法等知识。这道题的难度还是比较大的，特别是对于现在的高中生来说，他们已经较少去练习数列放缩法了，所以这道题难住了很多学霸。当然，这道题也可以让现在的高中生感受一下以前数列考查的难度。
我们先看第一小题：求a2、a3、a4并猜测通项公式。
先求a2，将n=1代入题干中给出的关系式，可以得到a2=3，然后依次求出a3和a4。接下来，我们观察a1、a2.、a3、a4的值与项数n的关系，可以猜测出一个通项公式，即an=n 1。
再看第二小题的第一问：证明an≥n 2。
需要证明的是与正整数n有关的结论，所以可以用数学归纳法来证明。
首先证明当n=1时，结论成立。即n=1时，a1=3≥1 2，所以此时结论成立。
然后再假设当n=k(k≥2且k为整数)时，结论成立，并证明当n=k 1时，结论仍然成立。即假设当n=k时，结论成立，则有ak≥k 2，所以a(k 1)=(ak)^2-kak 1=ak(ak-k) 1≥(k 2-k)(k 2) 1=2k 5≥k 1) 2，从而得到n=k 1时，结论也成立。
综上，就可以证明结论成立。
最后看第二小题的第二问：证明不等式成立。
要证明这个不等式成立，而题干中只有a1与一个具体数值有关，所以首先需要将an用a1表示出来。
由a(n 1)=(an-n)an 1以及an≥n 2可知，当k≥2时，ak=[a(k-1)-(k-1)]a(k-1) 1≥(k-1 2-k 1)a(k-1) 1=2a(k-1) 1。然后，将a(k-1)用a(k-2)表示出来，最终得到ak≥2^(k-1)a1 2^(k-2) 2^(k-3) ... 2 1，后面部分用等比数列求和公式求出来，从而得到ak≥2^(k-1)(a1 1)-1，即1 ak≥2^(k-1)(a1 1)，即1/(1 ak)≤1/[2^(k-1)]·1/(a1 1)。然后再代入1/(1 a1) 1/(1 a2) ... 1/(1 an)中就可以证明出结论了。
放缩法证明不等式确实是一个难点，因为要放缩到恰到好处才能得到想要的结论。那么，你觉得这道题难吗？
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