平面几何是初中数学的重要组成部分之一，和其共同构成初中数学完整体系的还包括初等代数和数理统计基础。
而在平面几何中，从最初的点线面，到后面的各种几何图形，三角形，四边形等，最终，初中平面几何的集大成者是圆。圆几乎可以算作是初中平面几何的终点，同时也是融汇贯通几乎大部分平面几何知识的关键。
从最基础的垂径定理等，到后面的进阶圆幂定理，几乎囊括了平面几何的大部分定理推论。
今天这篇文章，就从关于圆的一个有趣的定理，蝴蝶定理（Butterfly theroem）说起。
蝴蝶定理被誉为古典欧几里得平面几何最精彩的结果之一，其也是射影几何的一种特殊情况。蝴蝶定理最先是作为一道求证的几何问题出现在《美国数学月刊》这本杂志上，因题目中的几何图形超像一只蝴蝶，因此又被称为蝴蝶定理。
蝴蝶定理的陈述如下：
设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD，设AD和BC各相交PQ于点X和Y，求证：XM=MY
蝴蝶定理图
如上图所示，大家可以看到，圆内图案形似一只扇动翅膀，准备翩翩起舞的蝴蝶，也正是为此，该定理才被称作蝴蝶定理，该说法也一直流传至今。
关于蝴蝶定理的解法，其实不胜枚举，可以使用到我们初中数学中较为熟悉的全等三角形，相似三角形，或者轴对称等知识来进行证明，感兴趣的小伙伴们不妨试试看。
蝴蝶定理至今仍是很多数学相关人士的研究热点，推导出诸多的推论和变形，这些变形也常常出现在竞赛和平时的习题中。今天我们先给出蝴蝶定理的第一种证明方法，其涉及的主要知识点为相似三角形的判定方法及性质。
相似三角形的判定方法主要有以下三种，其中也包含一种特殊形式及直角三角形相似：
- 两个角对应相等的两个三角形相似，即AA
- 两条边对应成比例，其夹角相等的两个三角形相似，即SAS
- 三条边对应成比例的两个三角形相似，即SSS
- 斜边，直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
简单复习一下相似三角形的相关性质，我们也该进入正题，即蝴蝶定理的证明方法。
蝴蝶定理证明（1）
相似法证明蝴蝶定理
以上，就是这篇文章的全部内容，利用相似三角形的方法进行蝴蝶定理的证明。
下一篇文章将给出蝴蝶定理的其他证明方法，也欢迎大家跟我讨论新的证明方法，比心～
第一次开通头条号发文，如果有什么做的不好的地方，欢迎大家提出意见，积极探讨。
,
