本文为“第三届数学文化征文比赛
中学教材和中考命题中的数学文化探析
作者: 徐阳
作品编号：042
【摘 要】数学史和数学文化融入到义务教育数学课程中成为课程改革的一个重要标志，在学业水平测试中将数学史和数学文化编入考题，考查学生的数学素养也会成为一种趋势．本文选取《九章算术》为研究对象，对初中教材及中考试题中《九章算术》的相关内容进行研究．
【关键词】数学文化；九章算术；中学教材；中考命题
早在19世纪，数学史与数学教育之间的关系就已经受到欧美数学家和数学教育家的广泛关注。在1972年的第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations Between the History & Pedagogy of Mathematics，简称HPM），由此数学史和数学教育之间的关系成为了数学教育研究的重点内容之一．回顾近代的中国数学史研究，主要以整理、构建中国古代数学的发展史为核心内容，正如李文林教授所说，这些研究是在为历史而数学史，也在为数学而数学史；此外，还有不可缺少的一部分，便是要为教育而数学史．《义务教育数学课程标准(2011版)》指出“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养”，可见，将数学史和数学文化融入到义务教育数学课程中成为课程改革的一个重要标志，在学业水平测试中将数学史和数学文化编入考题，考查学生的数学素养也会成为一种趋势．本文选取《九章算术》为研究对象，对初中教材及中考试题中《九章算术》的相关内容进行研究．
一、《九章算术》与初中教材的联系
《九章算术》是我国古代数学的一部重要的经典著作，它总结了我国先秦至西汉的数学成果．现传本《九章算术》包括246道与生产、生活实践有联系的数学问题，按不同算法类型分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，故称为《九章算术》．全书采用问题集的形式，其中每道题都有问（题目）、有答（答案）、有术( 解题的思想方法、公式、法则，但没有证明) ，有的一题一术，有的一题多术或多题一术．
《义务教育数学课程标准( 2011 版) 》指出：“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中．”《九章算术》作为我国古代第一部数学专著，在数学史上有着不可或缺的重要影响．人教版、苏科版以及北师大版的初中数学教材,都有以问题或阅读的形式在“方程”中的一元二次方程和二元一次方程组以及勾股定理中关于“勾股”类的问题中出现《九章算术》中的内容．如苏科版八上课本P86—87，例1《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高? 通过这个例题让学生进一步了解我国古代人民的聪明才智和勾股定理的悠久历史，引导学生在求解问题时感悟其所蕴含的数学思想．
二、《九章算术》与中考试题的关联
通过对2021年各地区数学中考试题的探究发现，以数学文化和数学活动为载体的试题多种多样，这些试题的出现进一步承载和弘扬了数学文化和数学史，激发了学生探究数学的兴趣，体悟了数学与生活的紧密联系．下面通过几个例题来感受下《九章算术》中数学之光．
类型一：与“粟米”有关的问题
《九章算术》中的“粟米”章中共计46题，主要是各种谷物粮食的按比例折换问题，提出了比例算法，称为今有术．
例题1（2021年株洲中考题）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十...”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米...”．问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
解析 粟和粝米折换的比例是不变的，则由3斗（30升）的粟就可以求出粝米的数量．
解设可以换得的粝米为升．由题意得
，解得：(升)，
经检验：是原分式方程的解，
答：若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为18升．
故选：C．
类型二：与“盈不足”有关的问题
《九章算术》中的“盈不足”章中共计20题，提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，并给出了12个可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法．盈不足术后来传到了西方，在数学史上有着很高的地位和深远的影响．
例题2 （2021年永州中考题）中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是
解析根据题意可得两个等量关系：一个是“每人出9元－物价= 4元”，另一个是“每人出6元－物价=－5元”，从而可以列方程组为
由等式的基本性质进行变形后，可知选：A．
由物价不变，本题还可以得到等量关系：每人出9元－4元=每人出6元＋5元，故可列方程9x－4=6x＋5．
类型三：与“方程”有关的问题
《九章算术》中的“方程”章中共计18题，主要是解决多元一次方程的解法．刘徽在“方程”章开篇对“方程”的解释为：程，课程也．群物总杂，各列有数，总言其实，令每行为率．二物者再程，三物者三程，如物数程之，并列为行，故谓之方程．这一章还引入和使用了负数，并提出了正负术即正负数的加减法则，与现在的加减消元法相同．
例题3 （2021年泰安中考题）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为 .
解析题中有两个等量关系：甲的钱数＋乙的钱数的一半=50，甲的钱数的＋乙的钱数=50；由此可得方程组为
例题4 （2021年衢州中考题）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤=16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组
解析 题中有两个等量关系：一个是“5只雀＋6只燕=16两”，另一个是“4只雀＋1只燕=1只雀＋5只燕”．由题意可得方程组为
故答案为A．
类型四：与“勾股”有关的问题
《九章算术》中的“勾股”章中共计24题，主要讲述利用勾股定理解决一些与当时社会生活相关的实际问题，提出了勾股数问题的通解公式和一般二次方程解法．
例题5 （2021年岳阳中考题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为 ．
解析设门高AB为x尺，则门宽BC为（x－6.8）尺，
在Rt△ABC中，因为，
所以得到
例题6 （2021年恩施州中考题）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺=10寸）
解析本题主要考查垂径定理，勾股定理的应用，解决此类问题常添加的辅助线为弦心距，通过勾股定理解答．
解过圆心O作于点C，延长OC交圆于点D，则CD=1寸，，连接OA，设圆的半径为x，则OC=(x-1)寸．
在Rt△OAC中，由勾股定理得
，解得x=13．
所以圆材直径为寸．
三、《九章算术》代表的数学文化带来的思考
就中学教材而言，不同地区、多个版本的教材都不同程度地选取了《九章算术》为代表的数学文化和数学史内容，并根据课程内容将数学文化知识作为背景或者阅读材料穿插于不同的章节中，这不仅扩充了学生的数学文化知识，还能够做到与现实生活及知识点相融合，让学生充分体会数学的来源、思想和作用．
就中考命题而言，在2021年各地的中考试卷中，较多地区都将考点与数学文化相融合，以《九章算术》为例，2021年的中考试题中选取了“粟米”章、“盈不足”章、“方程”章和“勾股”章中的题目为基础，考查了比例、方程、勾股、圆等知识，例如宿迁市的中考试题中一道“引葭赴岸”问题就考查了学生勾股定理的应用和数形结合的思想．大多数考题都是以教材为基础，源于教材中的例题和练习．
就数学教学而言，首先教师要提升自我的数学文化素养，转变对数学文化教育单一、片面的认识；其次要加强对课程和教材的理解，挖掘课程中的数学文化资源，解决学生对数学文化的兴趣和上课、应试之间的矛盾；最后让学生经历知识形成和发展的过程，认识数学在实际生活中的价值，通过数学文化的熏陶，促进学生发现问题、提出问题，激发学生的探索欲和求知欲，提高学生的数学核心素养．
参考文献
[1] 汪晓勤. HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.
[2] 全日制义务教育数学课程标准(修改稿)[S].北京: 北京师范大学出版社，2012．
[3] 梁秀华. 《九章算术》在初中教材及中考中的呈现研究[J]. 中学数学杂志, 2019(8):13-15.
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