[时间：120分钟 满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|x(x－2)<0}，B＝{x|－1<x<1}，则A∩B＝( )
A．{x|－1<x<2} B．{x|x<－1或x>2}
C．{x|0<x<1} D．{x|x<0或x>1}
2．设a，b是两个实数，且a≠b，有如下三个式子：①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋>2.其中恒成立的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
3．不等式x2－|x|－2<0的解集是( )
A．{x|－2<x<2} B．{x|x<－2或x>2}
C．{x|－1<x<1} D．{x|x<－1或x>1}
4．若a<b<0，下列不等式中成立的是( )
A.<1 B.<
C．|a|>－b D．b2>a2
5．若不等式ax2＋ax－4<0的解集为R，则实数a的取值范围是( )
A．－16≤a<0 B．a>－16
C．－16<a≤0 D．a<0
6．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a＝( )
A. B.
C. D.
7．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A．6.5 m B．6.8 m
C．7 m D．7.2 m
8．已知x>0，y>0，且＋＝2.若4x＋y>7m－m2恒成立，则m的取值范围为( )
A．3<m<4 B．－4<m<3
C．m<3或m>4 D．m<－4或m>－3
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列命题中，为真命题的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d
C．若|a|>b，则a2>b2 D．若a>b>0，则<
10．下列的四个不等式中恒成立的有( )
A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca B．a(1－a)≤
C.＋≥2 D．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2
11．设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么( )
A．a＋b有最小值2(＋1) B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最小值3＋2 D．ab有最大值3＋2
12．某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产100台时又需可变成本0.25万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入函数为R(x)＝5x－x2(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品的年产量(单位：百台)，则下列说法正确的是( )
A．利润y表示为年产量x的函数为y＝0.5x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5)
B．当年产量为475台时企业所得的利润最大，为万元
C．当年产量x∈{x|0.11≤x≤48}(单位：百台)时，企业不亏本
D．企业不亏本的最大年产量为500台
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知0<x<，则当x＝________时，x(4－3x)取最大值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
14．当x>时，函数y＝x＋的最小值为________．
15．不等式ax2＋2ax－(a＋2)≥0的解集是∅，则实数a的取值范围是________．
16．已知正数x，y满足2x＋y＝1，则的最小值是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)设集合A＝{x|x2<4}，B＝.
(1)求集合A∩B；
(2)若不等式2x2＋ax＋b<0的解集为B，求a，b的值．
18．(12分)(1)已知正数a，b满足＋＝1，求ab的最小值；
(2)已知x<1，求函数y＝x＋的最大值．
19．(12分)设函数y＝x2＋ax＋b，已知不等式y<0的解集为{x|1<x<3}．
(1)若不等式y≥m的解集为R，求实数m的取值范围；
(2)若y≥mx对任意的实数x≥2都成立，求实数m的取值范围．
20．(12分)解关于x的不等式x2－(4a＋1)x＋3a(a＋1)≤0.
21．(12分)某地修建一条大型输油管道需通过240千米宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为x千米的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2＋x)万元．设余下工程的总费用为y万元．
(1)试将y表示成关于x的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？
22．(12分)已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥10.
证明 ∵a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋)＋＋＝4＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝10，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号，∴＋＋≥10.
答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|x(x－2)<0}，B＝{x|－1<x<1}，则A∩B＝( )
A．{x|－1<x<2} B．{x|x<－1或x>2}
C．{x|0<x<1} D．{x|x<0或x>1}
答案 C
解析 由x(x－2)<0得0<x<2，∴A＝{x|0<x<2}．
∴A∩B＝{x|0<x<1}．故选C.
2．设a，b是两个实数，且a≠b，有如下三个式子：①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋>2.其中恒成立的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案 B
解析 ①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；
②(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；
③＋>2不恒成立．故选B.
3．不等式x2－|x|－2<0的解集是( )
A．{x|－2<x<2} B．{x|x<－2或x>2}
C．{x|－1<x<1} D．{x|x<－1或x>1}
答案 A
解析 令t＝|x|，则原不等式可化为t2－t－2<0，即(t－2)(t＋1)<0.
∵t＝|x|≥0，∴t－2<0，∴t<2，
∴|x|<2，得－2<x<2.故选A.
4．若a<b<0，下列不等式中成立的是( )
A.<1 B.<
C．|a|>－b D．b2>a2
答案 C
解析 若a<b<0，
对于A，－1＝>0，所以>1，故A不成立；
对于B，－＝>0，所以>，故B不成立；
对于C，因为a<b<0，所以|a|＝－a>－b，故C成立；
对于D，由－a>－b>0，所以(－a)2>(－b)2，即a2>b2，故D不成立．
5．若不等式ax2＋ax－4<0的解集为R，则实数a的取值范围是( )
A．－16≤a<0 B．a>－16
C．－16<a≤0 D．a<0
答案 C
解析 设y＝ax2＋ax－4，x∈R，则由题可知y<0恒成立．当a＝0时，y＝－4<0满足题意；当a≠0时，需满足即解得－16<a<0.故－16<a≤0.
6．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a＝( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由已知得，x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152.又a>0，∴a＝.
7．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A．6.5 m B．6.8 m
C．7 m D．7.2 m
答案 C
解析 设两直角边分别为a，b，则ab＝2，ab＝4，且a>0，b>0，则三边和l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828.当且仅当a＝b＝2时取等号．故选C.
8．已知x>0，y>0，且＋＝2.若4x＋y>7m－m2恒成立，则m的取值范围为( )
A．3<m<4 B．－4<m<3
C．m<3或m>4 D．m<－4或m>－3
答案 C
解析 由题意，利用基本不等式，可得4x＋y＝(4x＋y)(＋)＝(12＋＋)≥×(12＋2)＝12，当且仅当x＝，y＝6时取等号，则12>7m－m2，解得m>4或m<3.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列命题中，为真命题的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d
C．若|a|>b，则a2>b2 D．若a>b>0，则<
答案 BD
解析 对于A，当c＝0时，不等式不成立，故错误；由不等式同向可加性质知B正确；对于C，取a＝1，b＝－2时，原不等式不成立，故错误；对于D，当a>b>0时，－＝<0，故正确．
10．下列的四个不等式中恒成立的有( )
A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca B．a(1－a)≤
C.＋≥2 D．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2
答案 ABD
解析 A中不等式恒成立，a2＋b2＋c2＝[(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(a2＋c2)]≥(2ab＋2bc＋2ac)＝ab＋bc＋ac，当且仅当a＝b＝c时取“＝”；B中不等式恒成立，a(1－a)＝－a2＋a＝－＋≤；C不恒成立，当a，b同号时，＋≥2＝2；当a，b异号时，－＝＋≥
2＝2，所以＋≤－2；D中，(a2＋b2)(c2＋d2)＝(a2c2＋b2d2)＋(a2d2＋b2c2)≥a2c2＋b2d2＋2adbc＝(ac＋bd)2，恒成立．综上可得，恒成立的有ABD.
11．设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么( )
A．a＋b有最小值2(＋1) B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最小值3＋2 D．ab有最大值3＋2
答案 AC
解析 ∵ab≤，且ab－(a＋b)＝1，
∴－(a＋b)≥1.
设a＋b＝t(t>2)，
则t2－4t－4≥0，解得t≥2＋2，故A正确．
又ab＝1＋(a＋b)，∴ab≥1＋2＋2＝3＋2，故C正确．
12．某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产100台时又需可变成本0.25万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入函数为R(x)＝5x－x2(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品的年产量(单位：百台)，则下列说法正确的是( )
A．利润y表示为年产量x的函数为y＝0.5x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5)
B．当年产量为475台时企业所得的利润最大，为万元
C．当年产量x∈{x|0.11≤x≤48}(单位：百台)时，企业不亏本
D．企业不亏本的最大年产量为500台
答案 BC
解析 当0≤x≤5时，y＝－(0.5＋0.25x)＝－0.5x2＋4.75x－0.5；当x>5时，y＝R(5)－(0.5＋0.25x)＝12－0.25x，
故y＝故A错误；当0≤x≤5时，y＝－＋，故ymax＝，此时x＝4.75；当x>5时，y<12－×5＝10.75<，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，故B正确；不亏本即y≥0，当0≤x≤5时，y＝－0.5x2＋4.75x－0.5≥0，解得0.11≤x≤5；当x>5时，y＝12－0.25x≥0，解得5<x≤48，故0.11≤x≤48时，企业才不亏本，故C正确，D错误，故选BC.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知0<x<，则当x＝________时，x(4－3x)取最大值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
答案
解析 x(4－3x)＝3x≤3＝，
当且仅当x＝－x，即x＝时等号成立．
14．当x>时，函数y＝x＋的最小值为________．
答案
解析 设t＝2x－1，∵x>，∴2x－1>0，即t>0.
∴y＝＋＝＋＋≥2＋＝.
当且仅当＝，即t＝4，x＝时，取等号．
15．不等式ax2＋2ax－(a＋2)≥0的解集是∅，则实数a的取值范围是________．
答案 －1<a≤0
16．已知正数x，y满足2x＋y＝1，则的最小值是________．
答案 25
解析 因为x>0，y>0，且2x＋y＝1，所以＝＝1＋＝1＋＋＝1＋(2x＋y)＝13＋＋≥13＋2＝25，
当且仅当y＝2x，即y＝，x＝时等号成立，因此，的最小值是25.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)设集合A＝{x|x2<4}，B＝.
(1)求集合A∩B；
(2)若不等式2x2＋ax＋b<0的解集为B，求a，b的值．
解析 A＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，
B＝＝＝{x|－3<x<1}．
(1)A∩B＝{x|－2<x<1}．
(2)因为2x2＋ax＋b<0的解集为B＝{x|－3<x<1}，
所以－3和1为2x2＋ax＋b＝0的两根．
故所以a＝4，b＝－6.
18．(12分)(1)已知正数a，b满足＋＝1，求ab的最小值；
(2)已知x<1，求函数y＝x＋的最大值．
解析 (1) ∵a>0，b>0，
∴＋≥2，又＋＝1，
∴2≤1，则≤，∴≤，则ab≥8，
当且仅当a＝2，b＝4时等号成立，
∴ab的最小值为8.
(2)由题意，y＝x＋＝x－1＋＋1＝－＋1，
∵x<1，∴1－x>0，
∴(1－x)＋≥2＝2，当且仅当x＝0时等号成立，∴－≤－2，
∴y≤－1，∴y的最大值为－1.
19．(12分)设函数y＝x2＋ax＋b，已知不等式y<0的解集为{x|1<x<3}．
(1)若不等式y≥m的解集为R，求实数m的取值范围；
(2)若y≥mx对任意的实数x≥2都成立，求实数m的取值范围．
解析 ∵函数y＝x2＋ax＋b，且y<0的解集为{x|1<x<3}，
∴a＝－4，b＝3，∴y＝x2－4x＋3.
(1)若不等式y≥m的解集为R，即x2－4x＋3－m≥0对任意的实数x都成立，即Δ≤0，解得m≤－1.
则实数m的取值范围为{m|m≤－1}．
(2)∵y≥mx对任意的实数x≥2都成立，
即x2－4x＋3≥mx对任意的实数x≥2都成立，
即x＋－4－m≥0对任意的实数x≥2都成立．
等价于x＋－4－m在x≥2时的最小值大于等于0.
∵当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝时，取等号．
又∵x≥2，∴当x＝2时，x＋取得最小值.即－4－m≥0，解得m≤－.
∴实数m的取值范围是{mm≤－}．
20．(12分)解关于x的不等式x2－(4a＋1)x＋3a(a＋1)≤0.
解析 原不等式可化为(x－3a)[x－(a＋1)]≤0.
(1)当3a＝a＋1，即a＝时，≤0，解得x＝；
(2)当3a>a＋1，即a>时，解得a＋1≤x≤3a；
(3)当3a<a＋1，即a<时，解得3a≤x≤a＋1.
综上可知：当a＝时，不等式的解集为；
当a>时，不等式的解集为{x|a＋1≤x≤3a}；
当a<时，不等式的解集为{x|3a≤x≤a＋1}．
21．(12分)某地修建一条大型输油管道需通过240千米宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为x千米的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2＋x)万元．设余下工程的总费用为y万元．
(1)试将y表示成关于x的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？
解析 (1)设需要修建k个增压站，则(k＋1)x＝240，则k＝－1，所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)＝400＋(x2＋x)＝＋240x－160，故y与x的函数关系是y＝＋240x－160(0<x≤240)．
(2)y＝＋240x－160≥2－160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当＝240x，即x＝20时取等号，此时k＝－1＝－1＝11，故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9 440万元．
22．(12分)已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥10.
证明 ∵a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋)＋＋＝4＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝10，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号，∴＋＋≥10.
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