大家好！本文和大家分享一道1966年高考数学真题。这道题是当年那套数学试卷的第四题，考查了双曲线的方程、双曲线的基本性质、圆的方程、圆的弦长等知识。现在还有很多学生不会做这道题，那么接下来我们一起来看一下这道题的解法。
先看第一小问：求双曲线的焦点坐标。
将16x^2-9y^2 64x 18y-89=0进行配方，得到16(x 2)^2-9(y-2)^2=144，然后两边同时除以144，得到(x 2)^2/9-(y-1)y^2/16=1。现在不少同学看到这个方程后，发现这个双曲线的中心不在原点，所以就不会求其焦点坐标了。
其实，我们可以用平移的方法求解，即将曲线f(x,y)=0按照向量(k,h)平移后，得到曲线f(x-k,y-h)=0的图像。
所以，题目中的双曲线可以由双曲线x^2/9-y^2/16=1向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，那么其焦点也会按照同样的方法平移，从而求出其焦点坐标。
再看第二小问：求圆的方程。下面介绍3种解法。
解法一：
由于题目中的双曲线的两个焦点在圆上，所以所求圆的圆心一定在以焦点为端点的线段的垂直平分线上，而由(1)知，该垂直平分线的方程为x=-2，即圆心的横坐标为-2。因此可设圆的方程为(x 2)^2 (y-b)^2=r^2。
由于圆与x轴两交点间的距离为8，那么通过下图我们可以得到：r^2=b^2 4^2=b^2 16。
又因为双曲线的焦点在圆上，那么圆心到其中一个焦点的距离就等于圆的半径，即r=√[(3 2)^2 (1-b)^2]。联立上面两个关于r和b的方程，可以解得b=5，r^2=41，从而求出圆的方程。
解法二：
设圆的方程为(x-a)^2 (y-b)^2=r^2。
将双曲线两焦点坐标代入圆的方程，得到(-7-a)^2 (1-b)^2=r^2和(3-a)^2 (1-b)^2=r^2，两式相减，整理得到10(2a 4)=0，解得a=-2。
又圆与x轴两交点间的距离为8，所以由第三个图可得r^2=b^2 16。然后再代入圆的方程，最后可以解出b和r的值，从而得到圆的标准方程。
解法三：
设圆的方程为x^2 y^2 Dx Ey F=0。
由于双曲线两焦点所在直线平行于x轴，所以圆和x轴两交点的中点横坐标与双曲线两焦点的中点横坐标相等，所以圆和x轴两交点中点的横坐标为-2。由这两交点间的距离为8，所以可以得到这两交点的坐标为(-6,0)，(2,0)。
又双曲线的焦点也在圆上，则选择三个点代入圆的方程，从而得到关于D、E、F的方程组，解出方程组就可以得到圆的方程。
解法三列方程组求解一般不建议用圆的标准方程，因为会出现三元二次方程组，求解难度大，很多同学解不出多元高次方程组，从而导致丢分。
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