立体几何。
石老师讲数学。
能长为二的正方体abcd，abcd中重点p满足向量b一批等于那么大的向量b1，说明这三个点贡献难不难？是大一等于零，小于等于一，总是在这个线段上得以下结论正确的为存在。
number大一点零小一点意思，ap垂直于平面，pbb一，p总是在现代b1第一上，pbb一就是对角面了，打掉直线于平面垂直，当p为bd的中点，直线是垂直平面的，所以它是存在的，这a是对的。
b直线a以平面aebd这个面左乘角的正弦就等于向量aa与平面的法向量速成角与余弦的垂直了，这方体的体对着线一到一面的面对着线是垂直的，ac垂不垂直这个平面来是垂直的，说明ace就是平面的一个法向量，所以要求aae与平面所成角的正弦值就等于a与直线所成角的了余弦。
这是个什么三角形？直角三角形的，这个角的余弦得零边边长是二，比上se，se是边长的根号三倍，二倍的根号三，所以是等于三分之根号三。因此c对于任意的那么的大一点零，小一点一则pabd这个三能锥第一低于这个平面是什么关系？它是平行与平面abd这个线拉上来任何一个点到这个平面的距离是不是相等的？
这个三人锥的体积是等于三分之一这个三角形abd等于p点到这个平面的距离等于三分之一这个三角形abd乘以点de到这个平面aebd的距离，实际上就等于哪个三的b的体积？de，aebd，vb，aebd，就等于三分之一这个三角形abd一乘以b点到这个平面的距离就是能长，等于三分之一，所以这个是对的。
看它d，那么它等于二分之一的时候就是p是b，ebd的终点，要求这个pabd的外接球的表边有p为终点的时候，aebd总是垂着这个平面的这个三角形pbd在一个圆面内这个地方是根号二，这个地方是二，那这个就是根号六，pd也是根号六，bd是二倍的根号二是一个等腰三角形的。
把p点放在这是p点，pb等于p，这是b，这是d，pb等于p，它的外界的圆形肯定是在等腰三角形顶角的平分线上来，这是它这个圆形，oe球形o就在这条直线上了，ap是垂直这个平面的，那么ap一定是平于这条直线的。
这个是ap球形与这个圆面的圆心，o二的连线是垂直它的p a 一所在的一个圆面的圆形是p a 一的终点的，球形与这个圆心的连线是垂直这个圆面的，所以o o二实际上是平行并等于oep，这个是oe，这个是p，是个矩形，oep是这个外纪元的半截的，pa一是等于根号二，所以这个长的是二分之根号二。
现在只需要求pbd这个外纪元的半径就行了，这个三角形的外界那半径怎么求？二二应该是等于bd比上它的所对的角的正弦，这个角的余弦是可以用余弦定理求出来，用余弦定理求扩散音角，bpd是等于三分之一，那么它的正学等于三分之二倍的根号，bd是二倍的根号二比上三分之二倍的根号，那就得了二就等于二分之三，也就是oep是二分之三，所以就得到op的平方实际上就是外界球的半径的平方等于oe的平方加上oep的平方等于四分之十一，而外界球的表面就四πr的平方十一π，这个是对的。
