数学试卷最后一题的答题技巧是什么

这是2021年湖南怀化中考数学的压轴题，题目看起来很麻烦，一共有四道小题，比一般的压轴题多了一道，而且就连第二小题看起来也不是那么好对付的主。不过老黄凭借着丰富的解题经验，还是轻松地把它解决了。特别是最后一小题，只要四步就可以轻松搞定。

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2 bx-5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)假设点D是y轴上的一点，且以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似，求D点的坐标；

(3)如图2，CE//x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；

(4)假设点K为抛物线的顶点，点M(4,m)是该抛物线上的一点，在x轴,y轴上分别找点P,Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标.

分析：(1)一如既往的送分题。可以用待定系数法代入两点坐标，列方程组求抛物线的系数。也可以运用韦达定理，更加简捷！老黄选择后者。这道小题虽然简单，但是答案对下面的关系重大，建议解完之后，代入点的坐标检验一下。

(2)相似三角形的存在性问题，没有指定对应点，通常有六种可能，应该先分析排除掉一些情形，这样就能大大地减少运算量。至于能排除掉多少种可能，完全看自己的观察能力。老黄的观察能力只能排除掉其中三种。通过观察，可以发现，它们不可能有公共顶点。另外还可以发现，点D一定在y轴的正半轴。因为三角形ABC是锐角三角形，如果D点在y轴的负半轴或原点，得到的三角形BCD就是钝角三角形或直角三角形。

虽然已经排除了三种（善于观察者可以排除四种可能），但这道题如果没有一点巧劲，运算量依然很大。至于怎么解，就看下面的解题过程及附加分析了。整道题的巧妙之处，完全体现在这个地方。

(3)其实特别简单，它更适合做第(2)小题。把四边形看作两个三角形构成的，那么四边形的面积就等于EH和CE的积的一半。CE定长，EH的长可以用H点的横坐标表示为二次函数的形式，求最值就手到擒来了。

(4)“将军双饮马”问题应用于求四边形的最小周长，有一个条件，就是要有一条定长的边，这里MK就定长。然后按“将军饮马”的方法，分别以x轴和y轴作M点和K点的对称点，连接对称点，与x轴交于P点，与y轴交于Q点，就解决了。

接下来组织解题过程：

解：(1)-5/a=-5，-b/a=-1 5=4,解得：a=1, b=-4,∴抛物线表达式为：y=x^2-4x-5.

(2)△ABC是锐角三角形, ∴点D在y轴的正半轴, 且两个三角形不可能有公共顶点, 设D(0,d),

①当△DCB≌△ABC时, OA=OD, 即d=1, ∴D(0,1). 【如果这里要利用三边的相等关系去检验全等，从而求d的值，那就太麻烦了。其实BC是公共边。而OC=OB，只要OA=OD，由线段的和，就可以得到AB=DC，由勾股定理，就可以得到AC=DB。这一步用得好，可以节省大量的时间】

②当△DCB∽△CBA时, ∠DCB=∠CBA,OC=OB满足,【这个检验是必要的，如果不满足，就排除这种情况】

CD/BC=BC/AB, 即BC^2=CD·AB,(5根号2)^2=(d-(-5))·(5-(-1)),解得d=10/3, ∴D(0,10/3).

③当△DCB∽△BAC时, ∠DCB=∠BAC,tan∠DCB=OB/OC=1, tan∠BAC=OC/OA=5, 矛盾！【这种情形，通过观察就能排除，但仍要说明理由】

∴D(0,1)或D(0,10/3).

(3)当x^2-4x-5=-5时, x=0或x=4,∴CE=4,

BC的解析式为：y=x-5,

设H(h, h^2-4h-5), 则F(h, h-5), 0<h<4,

FH=h-5-(h^2-4h-5)=-h^2 5h=-(h-5/2)^2 25/4,

当h=5/2时, FH=25/4最大,

h^2-4h-5=(5/2)^2-4×5/2-5=-35/4,

∴当H(5/2, -35/4),四边形CHEF的面积：S=CE·FH/2=25/2最大.