这是一道今年考的八年级上数学期末试卷的最后一道几何大题。第二问是利用中点构造全等三角形的应用，之前在一篇关于中点几何的内容中已有详细的思考路径，这里就不再赘述了。今天我们主要来探讨一下第三问的思维是如何突破的。
分析题目
- 根据图形，很容易看出△ACH是等腰直角三角形（这样就能轻松拿到1分） ，但关键是要怎么证明呢？证明的方向是证明其中一个内角是45度。那又该如何证明一个内角是45度呢？
- 首先要认真读题，明确已知条件。同时，心里要有个大概的判断，思考本题考察的是什么内容。不难发现，这道题目主要考察等腰三角形和直角三角形的知识。这时，你可以快速回忆一下这两部分的知识点。并且，把条件标在图上，这有助于后续的分析。
关键思路突破
1. 关于中点的思考：
- 已知H是BF的中点，我们要思考如何运用这个条件。联系等腰三角形和直角三角形有关中点（或中线）的知识，等腰三角形三线合一这个性质（显然这里不太适用）。再看直角三角形斜边中线定理，会发现BF不是直角三角形的斜边。那能不能通过画辅助线构造出以BF为斜边的直角三角形呢？经过观察会发现，可以作FG垂直AB。
2. 特殊角度的联想：
- 图中有30度和45度这两个特殊角度，我们对它们很熟悉，通常在直角三角形中会出现这样的特殊角度。由此也就联想到要做出以图中30度和45度为内角的直角三角形，同样是作FG垂直AB。
具体证明过程
- 作FG垂直AB后，图中出现了Rt△FGB，H是其斜边中点。根据直角三角形斜边中线定理，马上连接G，H 。
- 根据直角三角形斜边中点定理可得：GH = HF = HB。
- 在有一个内角为30度的特殊直角三角形FGB中，可得：FG = FH = GH。
- 在有一个内角为45度的特殊直角三角形AGF中，可得AG = FG。
- 由上述结论可推出AG = GH = HB ，由此可得相关图形特征。
- 所以，角FHA为45度，进而可以得出三角形ACH为等腰直角三角形。
,
