今年下午集中看了几道各地高考数学模拟卷的第19题，感觉今年高考数学是要拿高等数学中的近世代数下手了。
前几年，对导数内容的考察，是拿《数学分析》下手，压轴题是泰勒展开式、洛比塔法则、中值定理背景的，这几年被中学数学教师给钻研透了，所以今年转个方向。
看看这几道题，与其说是高中数学竞赛题或者说数论题，我更感觉命题背景是高等数学中的近世代数的类＼群＼域方面的概念。
例1：2024•全国•校联考模拟预测题19
例2：2023上•北京海淀•高三北大附中校考阶段练习题19
例3 ：2024•江西南昌•南昌二中校联考模拟预测题19
题目从难度上看，达不到高中数学竞赛的难度，应该说，仅仅与学这些内容课本上练习差不多吧。
从命题的结构上看，基本也是三段式：
第一小题，通过一个特定的简单例子，来考察考生对新出现概念在短时间内的理解能力，说难么不难，不过还真的对考生的理解能力考察是到位的。需要学生会用自己的语言转译新概念所表达的内容，若能正确表达，说明初步理解新概念。
例1中，你得理解集合A(m)中的元素k指的是数值等于m的序数；
例2中，理解d(a,b)是元素a=(1,0,1)\b=(0,1,0)对应元素的差的绝对值；
例3中，t实际上就是数列的和
第二小题开始一般化，强调在理解新概念基础上的转化化归能力，发现与所学知识的联系，并用已学方法进行处理。
例1中，理解s(m)>>1,由此转化为s(ai)=1,即ai各不相等；
例2中：k=1时,“好k集“有两个元素，每个元素是5元数组，根据”好K集中不同元素的距离为5“，确定”好K集“中的两个元素只能是互补的。问题转化到这一块，存在性的证明就比较容易完成的。
例3中，不等式转化为2n 1<<3^k，如果认识到T中元素的成对出现特殊，有n必有-n，以及0，即有2n 1个，再从另一个角度即ai有三种取值可能，T的元素个数最多3^k个，得到思路。
第三小题就是要求比较高的思维能力与抽象概括能力了。
例1（3）中，是从对“任意正整数i，j都有……“入手，从i=1,j=2入手，发现可能存在的规律，最后以较复杂的分类讨论完成证明，考察了思维的灵活性与完备性、观察与分析能力。
例2（3）中，比较简单的证明能从（2）中得到提示，设计元素x的补元素，用反证法证明“好K集”不存在。既有传统的各个小题之间的联系的特殊，也对代数推理抽象思维有较高的要求；
例3（3）中（3），在第（2）基础上，比较容易知道k》8，不过从思维的严密性上还需要证明小于8的值不能满足条件，也是要求准备理解概念并进行抽象证明的，否则是要扣分的。
