2024高考数学试卷19题解析（2024高考数学16题详细解答）

2024年高考数学新课标1卷数学压轴题之第19题评析

关于2024年高考数学新课标1卷数学第19题，网上已给出多种解法。本人在此给出一种简便解法。

原题：

（本题17分）高m为正整数，数列a₁，a₂，…，a₄ₘ₊₂是公差不为0的等差数列，若从中删去两项aᵢ和aⱼ（i<j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a₁，a₂，…，a₄ₘ₊₂是（i，j）——可分数列
写出所有的（i，j），1≤i<j≤6，使数列a₁，a₂，……，a₆是（i，j）——可分数列；
当m≥3时，证明：数列a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₄ₘ₊₁，a₄ₘ₊₂是（2，13）——可分数列；
从1，2，……，4m 2中一次任取两个数i和j（i<j），记数列a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₄ₘ₊₁，a₄ₘ₊₂是（i，j）——可分数列的概率为Pₘ ，证明：Pₘ>1/8.

【点评】
考察点：1、自学能力（在本题里就是考察学生的自学能力，能否理解题中定义）；2、研究能力（在本题里就是考察学生是否具备数学“从特殊到一般，从具体到抽象，然后归纳总结得出规律和结论，最终解决问题”的数学思想和方法）。
本题特点：1、无任何题基（在任何书籍里都找不到基题，唯一能找到的数学思想是人教版2019全国统编普通高中教科书A版《数学》选择性必修第三册第六章小结P37页最上端的一段话“在本章中，无论是概念的得出还是数学公式的推导，都是从特殊到一般，从具体到抽象，通过归纳而得出的，这是代数中研究问题的基本方法，也是数学学习中经常使用的思维方法”）2、本题虽难，但没有半点超纲、偏、怪的成分；只要理解了题意，即弄清可分数列的概念，解答前2问不成问题，本题共17分，得其中的10分以上不成问题；3、本题充分显示出选拔人才的功效。

【解析】：

（1）因为a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆成等差数列，所以，其中任意连续的4项也是等差数列。

于是，直观上可以确定，去掉前2项或最末2项，均可得到（i，j）—— a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆可分数列；

其次，去掉首项a₁和末项a₆，也可得到（i，j）——a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆——可分数列；

因此，使a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆是（i，j）——a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆可分数列的数对（i，j）有（1，2），（1，6），（5，6）。

（2）由于a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，a₁₀，a₁₁，a₁₂，a₁₃，a₁₄是a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₄ₘ₊₁，a₄ₘ₊₂（m≥3）的前14项，

所以，若（i，j）——a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，a₁₀，a₁₁，a₁₂，a₁₃，a₁₄可分数列

，则（i，j）——a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₄ₘ₊₁，a₄ₘ₊₂可分数列（m≥3）（只须将第14项a₁₄以后各项按原顺序每4项一组分开即可）

因此，要证明m≥3时，（2，13）——a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₄ₘ₊₁，a₄ₘ₊₂可分数列，只需要证明（2，13）——a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，a₁₀，a₁₁，a₁₂，a₁₃，a₁₄可分数列即可；

而要证明，（2，13）——a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，a₁₀，a₁₁，a₁₂，a₁₃，a₁₄可分数列，只需要证明数列a₁，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，a₁₀，a₁₁，a₁₂，a₁₄能分成3组等差数列即可。

事实上，a₁，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，a₁₀，a₁₁，a₁₂，a₁₄可分成a₁，a₄，a₇，a₁₀；a₃，a₆，a₉，a₁₂；a₅，a₈，a₁₁，a₁₄三组，每组皆为等数列。

因此，当m≥3时，a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₄ₘ₊₁，a₄ₘ₊₂是（2，13）—— a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₄ₘ₊₁，a₄ₘ₊₂可分数列。

（3）要求Pₘ的概率，依古典概型，需要知道样本点总数和事件含有的样本点数。在此题里，样本点总数为C₄ₘ₊₂²=(4m 2)(4m 1)/2=(16m² 12m 2)/2=8m² 6m 1。所以还必须求出事件所含的样本点数，在本题是（i，j）——a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₄ₘ₊2可分数列的数量，在此不妨用Aₘ表示。下面就来解析如何求Aₘ？

由于数列a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₄ₘ-₁，a₄ₘ-₂是数列的前4m-2项，

所以，若（i，j）——a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₄ₘ-₃，a₄ₘ-₂可分数列，则（i，j）——a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₄ₘ₊₁，a₄ₘ₊₂可分数列（因为，只需要将a₄ₘ-₁,a₄ₘ，a₄ₘ₊₁，a₄ₘ₊₂作为一组即可）。

为说话方便，可以把等差数列a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₄ₘ₊₁，a₄ₘ₊₂看作是一条“线段”，其中前2项及最末2项看作是线段的2个端点（首项a₁和末项a₄ₘ₊₂看作是外端点，a₂和a₄ₘ₊₁看作是内端点），对于其余i和 j均看作是对线段的截点，而把(i, j)看作是对线段的分割点（aᵢ，aⱼ）。我们可以通过下述方法获得（i，j）分割点：

第一步，首先截取端点即得分割点（a₁，a₂），（a₄ₘ₊₁，a₄ₘ₊₂）

第二步，将原数列按原顺序每4项一组，分成组m组，用每组的首项分别与原数列的最末一项a₄ₘ₊₂相配，组成分割点（a₁，a₄ₘ₊₂），（a₅，a₄ₘ₊₂），（a₉，a₄ₘ₊₂）……，（a₄ₘ-₃，a₄ₘ₊₂）;

第三步，用最末2项结合，组成分割点（a₄ₘ₊₁，a₄ₘ₊₂）；

第四步，用每组的第2项即第2项a₂，第6项a₆，第10项a₁₀……，第4m-2项的a₄ₘ-₂，分别与原数列的第4m 1项a₄ₘ₊₁相配，组成分割点（2，a₄ₘ₊₁），（a₆，a₄ₘ₊₁）……（a₄ₘ-₂，a₄ₘ₊₁）（m>1)

按此方法，先从特殊的、具体的数列入手

m=1时，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆是（i，j）——可分数列，其分割点（aᵢ，aⱼ）对应的（i，j）（下同）和数量分别是：

（1，2），（1，6）竖列个数1 1 1

（5，6）

m=2时，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，a₁₀是（i，j）——可分数列，其分割点和个数分别是：

（1，2），（1，6），（1，10）竖列个数 2 1 （2，9）竖列个数1

（5，6），（5，10）

（9，10）