初中数学，不管平时的检测试卷，期中期末试卷，还是中考数学试卷，几何最值问题，从来都是常见考题型，是一个重点与难点。
今天，方老师和大家一起，分享这份《最短路径问题，将军饮马模型，4种常考题型，25题专练突破》。大家可以收藏起来，打印下来，认真地做一做。
第一个，两个定点，一个动点，这个也是将军饮马的故事母题，经典求PA PB最小值。主要解决方法，就是做其中一个点关于河的对称点。
这个题型，这里选了10个课堂练习题，大多数都是中考数学的真题，希望同学们扎实练习，彻底弄懂解题原理，不仅要知其然，还要知其所以然。
第二种题型，就是在一个角的内部有一个固定的点，在角的两边各有一个动点，求三角形周长的最小值。
那么这一类题，怎么办呢？主要解决方法，就是往两边翻折，一样也是做轴对称。
第三种题型，就是两个定点，两个动点的题型。如图所示，求PN NM PQ的最小值。主要解决方法，依然还是往两边翻折。
第四种题型，就是在角内部，有一个固定点，角两边各有一个动点，如图所示，求PN MN的最小值。解决方法，翻折，三点共线且垂直时，满足最小值。
这4种将军饮马最值模型的常考题型，都已经讲完了。再选6道题，供大家小试牛刀，同步巩固。
又把这六道题做完，你是不是觉得，这题简直小菜一碟？如果大家觉得简单，那方老师的目的也就达到了。如果大家觉得，这题好难啊，那才有点尴尬呢。
下面是这25题的参考答案。
感谢大家，关注方老师数学课堂。
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