2021年广东省汕头市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|﹣5≤x≤1}，集合B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A∩B＝（ ）
A．{﹣5，﹣4，0，1} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}
C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}
2．（5分）已知复数z，则“z＝3 4i”是“|z|＝5”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（﹣1，1）上是增函数的是（ ）
A．y B．y＝tanx C．y＝﹣sinx D．y＝cosx
5．（5分）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m⊂α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若α∩β＝n，m∥n，则m∥β D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
6．（5分）中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习，则他恰好不选草书体的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）某学校为了了解新高考背景下学生的选科情况，从本校选择“物理、化学、生物”、“物理、化学、地理、物理、生物、政治”三种组合共600名学生中，采用分层抽样的方法选取20名学生作为样本．已知选“物理、化学、生物”组合的学生有240人．且选“物理、生物、政治”组合的人数是选“物理、化学、地理”组合的，那么样本中选“物理、化学、生物”组合的学生比选“物理、生物、政治”组合的学生多（ ）
A．4人 B．5人 C．6人 D．7人
8．（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．8π B．12π C．20π D．24π
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，则下列说法正确的是（ ）
A．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则
B．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则
C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差
D．甲成绩比乙成绩稳定
10．（5分）若将函数f（x）＝cos（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．g（x）的最小正周期为π
B．g（x）在区间[0，]上单调递减
C．x不是函数g（x）图象的对称轴
D．g（x）在[，]上的最小值为
11．（5分）已知a，b均为正实数，且a b＝1，则（ ）
A．a2 b2的最小值为 B．ab的最小值为2
C．的最大值为 D．的最大值为4
12．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（ ）
A．三棱锥A﹣D1PC的体积不变
B．直线AP与平面ACD1所成角的大小不变
C．直线AP与直线A1D所成角的大小不变
D．二面角P﹣AD1﹣C的大小不变
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分、满分20分.
13．（5分）已知f（x），则f（9）＝ ．
14．（5分）已知sin（α），则cos（α）＝ ．
15．（5分）已知向量，的夹角为120°，||＝2，||＝1，若（3）⊥（2λ），则λ＝ ．
16．（5分）已知（2，3），（﹣1，k）．若|||，则k＝ ；若，的夹角为钝角，则k的范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数f（x）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并写出证明过程；
（2）直接写出f（x）的单调区间（不必写证明过程），并指出在每一单调区间上的单调性．
18．（12分）已知平面向量（sinx，﹣2sinx），（2cosx，sinx）函数f（x）•．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）求函数f（x）的零点的集合．
19．（12分）在①2asinA＝（2sinC﹣sinB）c （2sinB﹣sinC）b；②2asinCc＝0，这两个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答．
已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且______．
（1）求A；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．
20．（12分）2020年，面对突如其来的新冠肺炎疫情，在党中央领导下，各地区各部门统筹疫情防控和分配医疗救护资源，指挥各医院妥善收治发热病人．某市医院为了解病人对医院防疫举措的满意度情况，从当日收治的3000名病人中，随机访问了100名病人，根据其对医院满意度的评分，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值及该样本的第50百分位数；
（2）规定：病人对医院满意度的评分高于80分为“满意”，试估计该医院当日3000名病人中“满意”的人数．
21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ACB＝90°，PA⊥底面ABC．
（1）求证：BC⊥面PAC；
（2）若AC＝BC＝PA＝2，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．
22．（12分）定义函数y＝h（x）﹣mx的零点x0为h（x）关于参数m的平衡点．已知函数f（x）＝ax2 （b 1）x b﹣1（a≠0）．
（1）当a＝1，b＝﹣3时，求f（x）关于参数﹣5的平衡点；
（2）若∀b∈R，函数f（x）恒有关于参数1的两个平衡点，求a的取值范围．
试题解析
1．解：∵集合A＝{x∈Z|﹣5≤x≤1}＝{﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，
集合B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1}．
故选：C．
2．解：①若z＝3 4i，则|z|5，∴充分性成立，
②若z＝﹣3 4i，则|z|5，∴必要性不成立，
∴z＝3 4i是|z|＝5的充分不必要条件，
故选：A．
3．解：在△BCD中，．
故选：C．
4．解：因为区间（﹣1，1）关于原点对称，且f（﹣x）＝tan（﹣x）＝﹣tanx＝﹣f（x），所以y＝f（x）＝tanx是（﹣1，1）上的奇函数，
又y＝tanx在（﹣1，1）上是递增函数，
故选：B．
5．解：若m⊂α，n∥α，则m与n可能平行也可能异面，故A为假命题；
若m∥α，m∥β，则α与β也可能相交，故B为假命题；
若α∩β＝n，m∥n则m可能在平面β上，故C为假命题；
在D中，此命题正确．因为垂直于同一直线的两个平面互相平行；
故选：D．
6．解：从五种书体中任意选两种进行研习的可能结果有10种，
则他恰好不选草书体的共有6种，
故他恰好不选草书体的概率为P．
故选：A．
7．解：设选“物理、化学、地理”组合的人数为x，
则选“物理、生物、政治”组合的人数是x，
根据题意得x360，
解得：x＝270，∴x＝90，
选择“物理、化学、生物”、“物理、化学、地理”、“物理、生物、政治”
三种组合人数比是240：270：90＝8：9：3，
∴采用分层抽样的方法选取20名学生作为样本，三种组合分别抽取人数为：8，9，3，
∴样本中选“物理、化学、生物”组合的学生比选“物理、生物、政治”组合的学生多8﹣3＝5（人）．
故选：B．
8．解：由题意，PC为球O的直径，PC2，
∴球O的半径为，
∴球O的表面积为4π•5＝20π，
故选：C．
9．解：由折线图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，
其他次考试成绩都高于乙同学，所以，故选项A正确；
由折线图的变化趋势可知，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，
所以，故选项B错误，选项D正确；
极差为数据样本的最大值与最小值得差，
所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差，故选项C错误．
故选：AD．
10．解：∵将函数f（x）＝cos（2x）的图象向左平移个单位长度，
得到函数g（x）＝cos（2x）＝cos（2x）的图象，
故g（x）的最小正周期为π，故A正确；
在区间[0，]上，2x∈[，]，函数g（x）没有单调性，故B错误；
当x时，g（x）＝0，故x不是函数g（x）图象的对称轴，故C正确；
在[，]上，2x∈[0，]，函数g（x）的最小值为g（），故D正确，
故选：ACD．
11．解：因为a，b均为正实数，且a b＝1，
由（）2可得，a2 b2，当且故A正确；
由ab，当且仅当a＝b时取等号，
所以ab在（0，]上单调递减，当ab时取得最小值，B错误；
（）2＝a b 21 22，
故即a＝b时取等号，C正确；
24，
当且仅当即a＝b时取等号，
即的最小值为4，D错误．
故选：AC．
12．解：对于A，因为BC1∥平面AD，所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，所以体积不变，故选项A正确；
对于B，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AC1所成的角和直线AC1与平面AC1所成的角不相等，故选项B错误；
对于C，因为A1D⊥平面ABC1D1，所以点P在直线BC1上运动时，直线AP与直线A1D所成的角的大小不变，故选项C正确；
对于D，当点P在直线BC1上运动时，AP的轨迹是平面PAD1，即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故选项D正确．
故选：ACD．
13．解：根据题意，f（x），
则f（9）＝f（5）＝f（1）＝log31﹣1＝0﹣1＝﹣1；
故答案为：﹣1．
14．解：sin（α），
则cos（α）＝sin（（α））＝sin（α），
故答案为：．
15．解：∵向量，的夹角为120°，||＝2，||＝1，若（3）⊥（2λ），
则 （3）•（2λ）＝2（λ 6）3λ2×4 （λ 6）×2×1×cos120° 3λ＝0，
λ＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．解：∵已知（2，3），（﹣1，k），若|||，则 4 9＝1 k2，求得k＝±2．
若，的夹角为钝角，则0，且 与 不平行，
即﹣2 3k＜0，且，求得k，且k，
故答案为：k＝±2，k，且k．
17．解：（1）根据题意，函数f（x），有2x﹣1≠0，解可得x≠0，即函数的定义域为{x|x≠0}，
有f（﹣x）f（x），函数f（x）为奇函数；
（2）根据题意，f（x）＝1，
其单调递减区间为（﹣∞，0），（0， ∞）．
18．解：（1）∵f（x）•sinx×2cosx﹣2sinx×sinxsin2x﹣（1﹣cos2x）＝2sin（2x）﹣1，
∴f（x）的最大值为2×1﹣1＝1．
（2）令f（x）＝0，∴sin（2x），
∴2x2kπ，k∈Z，或2x2kπ，k∈Z，
解得x＝kπ或xkπ，k∈Z，
∴f（x）的零点的集合为{x|x＝kπ或xkπ，k∈Z}．
19．解：（1）选条件①时，2asinA＝（2sinC﹣sinB）c （2sinB﹣sinC）b；
利用正弦定理：2a2＝（2c﹣b）c （2b﹣c）b，
整理得：a2＝b2 c2﹣bc，
所以cosA，
由于0＜A＜π，
所以A．
选条件②时，2asinCc＝0，
利用正弦定理：，
由于0＜A、C＜π，
故，
故锐角A．
（2）a＝2，△ABC的面积为，
所以，
整理得：bc＝4，
则b2 c2＝8，
所以（b﹣c）2＝b2 c2﹣2bc＝8﹣8＝0，
故b＝c＝2．
20．解：（1）∵（0.005 a 0.015 0.030 0.040）×10＝1，
∴a＝0.010．
∵前3组频率之和为（0.005 0.010 0.015）×10＝0.3＜0.5，
前4组频率之和为（0.005 0.010 0.015 0.040）×10＝0.7＞0.5，
∴第50百分位数为：8010＝85．
（2）由频率分布直方图的样本中“满意”的频率为：
（0.04 0.03）×10＝0.7，
∴由样本估计总体，3000名病人中“满意”的人数大约为：
3000×0.7＝2100人．
21．（1）证明：∵PA⊥底面ABC，∴BC⊥PA．
∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．
∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，
（2）解：取PC中点D，连接AD．
∵AC＝PA，∴AD⊥PC，
∵由（1）可得平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，
∴AD⊥平面PBC，
连接DM，则∠AMD就是AM与平面PBC所成角．
∵AC＝BC＝PA＝2，则AD，AM，∴DM＝1，
∴tan∠AMD，
∴AM与平面PBC所成角的正切值是．
22．解：（1）当a＝1，b＝﹣3时，f（x）＝x2﹣2x﹣4
令f（x） 5x＝0，可得x2 3x﹣4＝0，解得x＝﹣4或x＝1，
所以当a＝1，b＝﹣3时，f（x）关于﹣5的平衡点为1和﹣4．
（2）依题意，可知∀b∈R，关于x的方程ax2 bx b﹣1＝0都有两个不等实数根，
从而有a≠0且对∀b∈R都成立，
即关于b的不等式b2﹣4ab 4a＞0对∀b∈R都成立
故有，解得0＜a＜1，
所以a的取值范围为（0，1）．
,
