富士山
题目呈现
把含糖5%的糖水和含糖8%的糖水混合，配制成含糖6%的糖水600克。求需要取两种糖水各多少克？
这道题虽然难度不大，但是贵在实用，还有多种变形，应用广泛，所以我们用多种方法求解。
解法一：代数解法
根据题意找等量关系，设未知数，列方程求解。
设取含糖5%的糖水x克，含糖8%的糖水y克。
根据题意，我们有以下两个方程：
1. 总重量方程：
x y = 600
2. 含糖量方程：
0.05x 0.08y = 0.06×600
联立这两个方程并求解：
从第一个方程中，我们可以得到：
y = 600 - x......(3)
将(3)式代入第二个方程：
0.05x 0.08(600 - x) = 36
0.05x 48 - 0.08x = 36
-0.03x = -12
两边同时乘以-100，得
3x=1200
x = 400
因此：
y = 600 - 400 = 200
答：需要取含糖5%的糖水400克，含糖8%的糖水200克。
本题的关键是求两种糖水的比例，可以用方程2求解。
0.05x 0.08y=0.06(x y)
0.05x 0.08y=0.06x 0.06y
-0.01x=-0.02y
∴ x:y=2:1
求出比例后可以得到x和y的值：
x=600×2÷3=400，
y=600×⅓=200.
解法二：定比分点坐标公式的解法
这个解法来自解析几何。先介绍基础知识。
有向线段AB的数量是终点的坐标减去起点的坐标，就是AB=x₂-x₁
计算数轴上A、B两点之间的距离，只要在求出AB的数量后加上绝对值就可以了，就是
|AB|=|x₂-x₁|
【线段的定比分点】设P是有向线段P₁P₂上的点，那么P点分P₁P₂为P₁P和PP₂两部分，我们称P为P₁P₂的分点。有向线段P₁P和PP₂的数量的比，叫做P点分P₁P₂所成的两条线段的比，通常用希腊字母λ表示，就是λ=P₁P:PP₂
若P点在线段P₁P₂之间，称为内分点，λ>0；
若P点在P₁P₂的延长线上，称为外分点，λ<0(但λ≠-1)
定比分点坐标公式有两个，一个是横坐标公式，类似地有纵坐标公式。不要把λ的位置搞错了，记住λ乘终点的坐标，且λ≠-1。
把λ看作未知数，则有下面的公式：
把x₁=5，x=6，x₂=8代入公式，得λ=½，接下来就简单了。
因为总重量为600克，比例为2:1，所以：
x=600×2÷3=400，
y=600×⅓=200.
答：需要取含糖5%的糖水400克，含糖8%的糖水200克。
如果问取含糖5%的糖水2份，含糖8%的糖水一份，混合后配制的糖水浓度是多少？用公式计算得到答案为6%
解法三：物理学的力学原理的解法
苏联最好的大学是莫斯科大学，有个系叫做数学与力学系。我们考虑用物理的力学原理解决数学问题。
质点的概念：把物体忽略体积看作一个具有一定质量的几何点，称为质点。比如可以把太阳看作一个质点，就是太阳的重心，即球心有太阳的全部重量。
对于两个质点组成的质点组(质点系)有以下结论：
若质点A放置p单位的质量，质点B放置q单位的质量，记作A(p)，B(q)(又A、B的距离为d)，则质点组(记作{A(p)，B(q)})的重心G的位置由
p·AG=q·GB (i)
确定，或记作
即质点组的重心在两质点连线上，且到两质点的距离与这两点的质量成反比(杠杆原理)。
以上所述的力学原理对我们解决数学问题帮助极大。
A点坐标为5，B点坐标为8，平衡点G坐标为6，故AB=d=8-5=3，AG=6-5=1，GB=8-6=2，把质点组{A(p)，B(q)}看作一个质点，那就是重心G(p q)。我们知道p q=600，所以p=400，q=200.
答：需要取含糖5%的糖水约400克，含糖8%的糖水约200克。
解法四：用平均数概念解题
加权平均数的引入
三年二班的数学考试平均成绩为85分，三年三班的平均成绩为88分。这两个班的平均成绩为多少？
有人说是(85 88)÷2=86.5分。但是，如果两个班人数不相等，则应该考虑计算加权平均数：设三年二班有45个同学，三年三班有42个同学，则有(45×85 42×88)÷(45 42)=86.448276分≈86.4分
【加权平均数】若n个数x₁，x₂，...，xₙ的权分别是w₁，w₂，...，wₙ，那么
叫做这n个数的加权平均数。
题目：把售价5元/两的茉莉花茶和售价8元/两的珠兰花茶各取若干克配制成售价6元/两的混合茶600克，问这两种茶应该各取多少克？
答：茉莉花茶400克(8两)，珠兰花茶200克(4两)。
题目：把售价5元/两的茉莉花茶取400克，把售价8元/两的珠兰花茶取200克配制成的混合茶600克，问售价应该是多少元/两？
最终结论
通过以上四种不同的解法，我们得出相同的结论：为了制成含糖6%的糖水600克，需要取含糖5%的糖水400克，含糖8%的糖水200克。
以上讲的是基础题，不但重要而且很实用。学校里碰到的题目难度较大，举个例子：
甲容器中有浓度为20%的糖水600克，乙容器中有浓度为10%的糖水400克，分别从甲和乙两个容器中取出相同质量的糖水，把从甲容器中取出的倒入乙容器中，把从乙容器中取出的倒入甲容器中，现在甲和乙两个容器中糖水浓度相等同，那么甲容器现在的糖水浓度是多少？
解：设两个容器交换的糖水质量为x克，交换前甲容器的糖质量为600×20%=120克，乙容器为400×10%=40克。
从甲容器中取出来的糖水含糖量为0.2x克，乙容器为0.1x克。
交换后甲容器的含糖量为：
120-0.2x 0.1x=120-0.1x克
乙容器为：
40-0.1x 0.2x=40 0.1x克
寻找等量关系列方程求解x：
交换后两个容器均保持质量不变且浓度相等，故
48000-40x=24000 60x
x=240克
现在计算甲容器的含糖量：120-0.1×240=96克
甲容器的浓度是：
答：甲容器现在的糖水浓度是16%
多余的话(牛魔王谈涌现，1 1>2)
涌现，并不是大模型出现之后才有的概念。
在凯文·凯利的《失控》一书中，就介绍了涌现的概念。
这可是1994年的书，已经是30年前的书了，但是思想非常前瞻，现在依然值得一看。
对于涌现，最粗略的概念，就是亚里士多德说的，整体大于部分。
比如说，有一个东西，由两部分组成的，这两部分都是1，你怎么加，都是2。
但是涌现不是这样的，是1 1>2，会多出来一个部分。
多出来的，是原来每个部分都没有的特性，这就说明涌现出现了。
怎么会这样呢？
涌现，实际上是自然界固有的现象，并非在智能领域才出现。
比如说，我们讲黑火药，配比是一硫二硝三木炭。
你只要按照这个配比，它就爆炸力惊人，这是硫磺、硝石、木炭都没有的特性。
典型的1 1>2了。
再说青铜，就是铜锡合金。
实际上，纯铜是紫红色，很软的一种金属，锡也是很软的一种金属。
但是，青铜，就很硬，可以做鼎，也可以做刀剑。
《周礼·考工记》记载:
六分其金而锡居一，谓之钟鼎之齐。
五分其金而锡居一，谓之斧斤之齐。
这里面的“金”指的是“铜”，就是说，铜和锡，6:1，可以做钟鼎，5:1，可以做斧钺。
这就是涌现出了铜和锡都没有的特性。
再说“钢”，其实指的是是含碳量百分比介于0.02%至2.11%之间的铁碳合金的统称。
如果是纯铁的话，其实比较软，也不锋利。
铁里面，含有一定碳，那么做出来的武器，就会特别坚固且锋利。
在古代，“削铁如泥”这件事情是存在的。
古人不知道这个原理，而且含碳量十分难把握，那么铸造的大量的刀剑，含碳量没把握好，就很脆。
但是，个别的刀剑，因为运气好，含碳量刚刚好，就可以对那些没做好的刀剑“削铁如泥”。
著名的大马士革钢，原产地其实在印度。
就是因为那个铁矿好，制作工艺刚好可以制作出钢来，那是当时的“核心机密”。
钢，体现了铁和碳都没有的特性，也是一种“涌现”的体现。
有一种涌现，是要数量非常非常多的时候，才会涌现出某种特性。
很多人喜欢用“量变引起质变”来做解释，其实这样讲太粗略了，像万金油一样。
数量多，也是要讲配比的，配比实际就是“结构”。
邓向星说：材料学有一句经典的话，组织决定性能。
钢（steel）或称钢铁、钢材，是一种由铁与其他元素结合而成的合金，其中最普遍的是碳，有时候还含有锰、铬、钒等元素。碳含量一般控制在钢材重量的0.02%至2.11%之间，超过2.11%为铸铁。碳含量对钢材的力学性能有着重要的影响，含碳量不同，钢材的强度、硬度、塑性、韧性及焊接性能均不相同；锰含量可改善钢材的热加工性能，通常含量控制在2%以下；铬的加入显著提高合金钢的抗氧化性、耐腐蚀性和耐热性；还有微量钒的添加可使得晶粒细化，提高钢材的强度和韧性。
很多人喜欢用“量变引起质变”来做解释，其实这样讲太粗略了，像万金油一样。
数量多，也是要讲配比的，配比实际就是“结构”。
你配比不对，数量再多也没法涌现，就像钢的含碳量一样。
比如说你搞几万斤铜，再搞几万斤锡，你堆在一起，能变成青铜吗？
当然不行。
那么对于训练大模型来说，语料的配比，实际上是核心机密。
同样的语料，你配比不对，就没有什么效果。
那么智能的涌现呢？
这个就上面讲的整体大于部分，要稍微复杂一些。
比如说蜜蜂，每只蜜蜂都没有特别高的智能，但是蜜蜂是怎么躲过大灭绝时代，存活到现在的呢？
虽然每只蜜蜂没有太高的智能，但是蜂群则体现出很高的智能。
每只蜜蜂，它们只是按照几条简单的规则行事，但是在蜂群角度，就涌现出了复杂的行为和智能，就是凯文凯利说的“蜂群智能”。
同样，在市场经济中，就是买、卖、价格。
最简单的几个规则，则可以形成巨大复杂的市场，养活比原来多得多的人，超市里面商品琳琅满目。
这也是一种涌现。
openai就是发现了大模型的这种特性。
比如chatgpt 4o，它在回答的时候，并不是说openai给它喂了多少问题，它就回答多少问题，死记硬背，而是从来没有给它喂的问题，它也能回答。
这就是智能的涌现。
最典型的例子是，就是它会胡编乱造，这就是涌现的体现，只不过对人类来说是负面的。
当然，chatgpt4o这种预训练模型，涌现体现在直觉上，简单的说就是一步思考，也叫快思考。
deepseek r1这种推理模型，是多步思考中体现出了智能涌现。
就是著名的顿悟时刻，aha moment。 那么继续发展下去，谁也不知道会涌现出一个什么东西。
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