上一期我们通过观察分析将所有三角形填数六个数的题型（即结构）归纳为两种情形：（1）完全等差；（2）不完全等差。如下：
（1）1、2、3、4、5、6
（2）2、3、4、7、8、9
本期我们就从这两方面运用排列组合筛选的方法，进行科学论证，深入探讨三角形填数的方法。
一、完全等差填数的方法
（一）填数方法的筛选
先以完全等差的1、2、3、4、5、6为例，对六个数进行排列组合，筛选出填数方法。
从六个数中每次任意取出三个填入三角形顶点，将剩余的三个数填在中间，会有几种取法？
从6个数中任意选3个的组合数是20个，计算公式是：
C（6，3）=(6×5×4×3×2×1)/[(3×2×1)(3×2×1)]=20
现用依次推进法对六个数进行排列、组合、填数，并计算出每条边三个数的和，按先后罗列如下：
1.123，456—9/9/9
2.124，356—9/9/10
3.125，346—9/10/10
4.126，345—8/11/11
5.134，256—10/9/10
6.135，246—10/10/10
7.136，245—9/11/11
8.145，236—11/11/9
9.146，235—10/12/10
10.156，234—10/13/10
11.234，156—11/8/11
12.235，146—11/9/11
13.236，145—10/10/12
14.245，136—12/10/10
15.246，135—11/11/11
16.256，134—11/12/11
17.345，126—13/10/10
18.346，125—12/11/11
19.356，124—12/12/11
20.456，123—12/12/12
从上面可以看到，只有红色带下划线的四种填法才能使三角形三条边的数的和都相等。将这四种填法筛选出来作进一步研究：
（1）123，456—9/9/9
（2）456，123—12/12/12
（3）135，246—10/10/10
（4）246，135—11/11/11
我们看到，（1）（2）可以看作把123456六个数从中间分成两个组，123为小数组，456为大数组。我们描述一下它们的填法：
（1）小数组123填顶点—→大数组456填中间—→三条边的和都等于9。
（2）大数组456填顶点—→小数组123填中间—→三条边的和都等于12。
同样可以看到，（3）（4）可以看作把123457六个数的第1、第3、第5的数135分为小数组，第2、第4、第6的数246分为大数组。
（3）小数组135填顶角—→大数组246填中间—→三条边的和都等于10。
（4）大数组246填顶点—→小数组135填中间—→三条边的和都等于11。
（二）填数方法的论证结论
经过上面的筛选得出科学论证结论：
完全等差的六个数，使三角形三条边的数的和都相等的填写方法有两类4种。具体填法是：
第一类是先把六个数从中间分成两组：第1种填法是用小数组填顶点，大数组填中间；第2种填法是用大数组填顶点，小数组填中间（两种填法不分先后）。
第二类是先把六个数的第1、第3、第5的数分成小数组，把第2、第4、第6的数分成大数组：第3种填法是用小数组填顶点，大数组填中间；第4种填法是用大数组填顶点，小数组填中间（两种填法不分先后）。
二、不完全等差填数方法
不完全等差的2、3、4、7、8、9六个数，运用上面排列组合的方法筛选能使三条边的数的和相等的排列只有两个，如下（其他18个排列略）：
（1）234，789—14/14/14
（2）789，234—19/19/19
不完全等差（中间两数的差不等于其它相邻两数的差）的六个数填数方法的科学论证结论：
不完全等差的六个数，使三角形三条边的数的和都相等的填法只有两种。具体填法是：
先把六个数从中间分成小数组、大数组，再先后分别将小数组、大数组填入顶点，同时分别将大数组、小数组填入中间。
三、三角形填数口诀
三角形填数口诀可以综合归纳为（更适合中高年级）：
“小数大数分两边。
小数占顶点，大数走中间。
与和不等时，大小两组换。
如果还不等，组按135编。
小对小，大对大，
剩下一个很好填，
中间填数莫走偏。”
注：“小对小”指填写中间的数时，将填顶点剩下的三个数中最小的数填在顶点最小的数的对边中间。
在理解原理、熟练掌握填数方法后，运用口诀直接填数，减少很多计算、筛选环节，在考场节约了大量宝贵时间，是个正确、全面、巧妙、高效的好办法。
理解三角形填数所有的方法以及来龙去脉，对我们辅导孩子（特别是中高年级的孩子）解答此类题目、解决实际问题、提高逻辑思维能力和答题效率是非常重要的。
（下接之三——填数方法的应用）
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