一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1. 设集合 A={x|x＞1}，B={x|x＜2}，则 A∪B=（ ）
A. (-∞,1) B. (2, ∞) C. (-∞, ∞) D. ∅
2. 函数 y = √x 的定义域是（ ）
A. (-∞,0] B. [0, ∞) C. (-∞, ∞) D. (-1, ∞)
3. 若向量 a=(2,3)，b=(m,6)，且 a∥b，则 m 的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
4. 直线 x - 2y 3 = 0 的斜率为（ ）
A. -1/2 B. 1/2 C. 2 D. -2
5. 等比数列{aₙ}中，a₁ = 2，q = 3，则 a₄ =（ ）
A. 16 B. 18 C. 54 D. 162
6. 已知函数 f(x)=sinx，f(π/3)=（ ）
A. √3/2 B. 1/2 C. -√3/2 D. -1/2
7. 圆 x² y² = 1 的圆心坐标为（ ）
A. (0,0) B. (1,1) C. (0,1) D. (1,0)
8. 若直线 l₁：2x y - 4 = 0 与直线 l₂：x - 2y m = 0 垂直，则 m 的值为（ ）
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
9. 函数 y = x³ - 3x 的单调递增区间是（ ）
A. (-∞,-1)和(1, ∞) B. (-1,1) C. (-∞,0)和(0, ∞) D. (0, ∞)
10. 若双曲线的方程为 y²/4 - x²/9 = 1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. y = ±2/3x B. y = ±3/2x C. y = ±4/9x D. y = ±9/4x
11. 已知函数 f(x)=log₂x，若 f(a)=2，则 a 的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
12. 若不等式 x² - 2x m＞0 的解集为 R，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. m＜1 B. m＞1 C. m≤1 D. m≥1
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13. 已知角α的终边经过点(3,4)，则 cosα = 。
14. 函数 y = 2x² - 3x 1 的最小值为。
15. 若直线 l 过点(1,2)且与直线 3x y - 5 = 0 垂直，则直线 l 的方程为______。
16. 已知 a,b 为正实数，且 a b = 2，则√a √b 的最大值为______。
三、解答题（每题 10 分，共 60 分）
17. 已知等差数列{aₙ}中，a₁ = 5，d = 3，求数列的通项公式 aₙ和前 n 项和 Sₙ。
18. 已知直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x - 3y 4 = 0 平行，求直线 l 的方程。
19. 求函数 y = x² 2x - 3 在区间[-2,2]上的最大值和最小值。
20. 已知椭圆的方程为 x²/9 y²/4 = 1，求椭圆的焦点坐标和离心率。
21. 已知函数 f(x)=cos(2x - π/3)，求函数在区间[0,π]上的单调递减区间。
22. 如图，在三棱锥 P - ABC 中，PA⊥底面 ABC，AB⊥BC，AB = BC = 2，PA = 3。
（1）证明：PB⊥AC；
（2）求三棱锥 P - ABC 的体积。
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《高考数学基础测试卷答案》
一、选择题答案
1. C。A∪B 即所有属于 A 或者属于 B 的元素组成的集合，所以 A∪B = (-∞, ∞)。
2. B。根号下的数非负，所以函数 y = √x 的定义域是[0, ∞)。
3. C。因为 a=(2,3)，b=(m,6)且 a∥b，所以 2×6 = 3m，解得 m = 4。
4. B。直线 x - 2y 3 = 0 变形为 y = 1/2x 3/2，斜率为 1/2。
5. C。等比数列通项公式 aₙ = a₁qⁿ⁻¹，a₁ = 2，q = 3，则 a₄ = 2×3³ = 54。
6. A。f(π/3)=sin(π/3)=√3/2。
7. A。圆 x² y² = 1 的圆心坐标为(0,0)。
8. B。两直线垂直则斜率之积为 -1，直线 l₁斜率为 -2，直线 l₂斜率为 1/2，(-2)×(1/2)= -1，解得 m = -2。
9. A。y = x³ - 3x，求导得 y' = 3x² - 3，令 y'＞0，解得 x＜-1 或 x＞1，所以单调递增区间是(-∞,-1)和(1, ∞)。
10. B。双曲线 y²/4 - x²/9 = 1 的渐近线方程为 y = ±(2/3)x。
11. D。f(a)=log₂a = 2，则 a = 2² = 4。
12. B。不等式 x² - 2x m＞0 的解集为 R，则判别式Δ = (-2)² - 4m＜0，解得 m＞1。
二、填空题答案
13. 3/5。角α的终边经过点(3,4)，r = √(3² 4²)=5，cosα = x/r = 3/5。
14. -1/8。y = 2x² - 3x 1 = 2(x - 3/4)² - 1/8，所以最小值为 -1/8。
15. x - 3y 5 = 0。直线 3x y - 5 = 0 的斜率为 -3，与之垂直的直线斜率为 1/3，过点(1,2)，则直线方程为 y - 2 = 1/3(x - 1)，即 x - 3y 5 = 0。
16. 2√2。(√a √b)² = a b 2√ab = 2 2√ab，根据均值不等式 ab≤(a b)²/4 = 1，所以(√a √b)²≤2 2 = 4，即√a √b 的最大值为 2√2。
三、解答题答案
17.
- 通项公式 aₙ = a₁ (n - 1)d = 5 3(n - 1)=3n 2。
- 前 n 项和 Sₙ = na₁ n(n - 1)d/2 = 5n 3n(n - 1)/2 = (3n² 7n)/2。
18. 设所求直线方程为 2x - 3y m = 0，把点(-1,2)代入得 -2 - 6 m = 0，解得 m = 8，直线方程为 2x - 3y 8 = 0。
19. y = x² 2x - 3=(x 1)² - 4，对称轴为 x = -1。
- 当 x = -1 时，y 取得最小值 -4。
- 当 x = 2 时，y = 5；当 x = -2 时，y = -3，所以最大值为 5。
20. 椭圆方程 x²/9 y²/4 = 1 中，a² = 9，b² = 4，c² = a² - b² = 5，c = √5。
- 焦点坐标为(±√5,0)。
- 离心率 e = c/a = √5/3。
21. 令 2kπ≤2x - π/3≤2kπ π，k∈Z，解得 kπ π/6≤x≤kπ 2π/3。
- 当 k = 0 时，在区间[0,π]上的单调递减区间为[π/6,2π/3]。
22.（1）因为 PA⊥底面 ABC，所以 PA⊥AC。
- 又 AB⊥BC，AB = BC = 2，所以 AC = 2√2。
- 在△PAB 和△ABC 中，PA² AB² = PB²，AB² BC² = AC²，可得 PB² AC² = PA² AB² AB² BC² = PA² BC² BC² BC² = PA² 3BC²，又 PA = 3，BC = 2，可得 PB² AC² = 3² 3×2² = 21。
- 而 PB² = PA² AB² = 3² 2² = 13，所以 PB² AC² = 13 8 = 21，即 PB² AC² = PA² 3BC²成立，所以 PB⊥AC。
- （2）三棱锥 P - ABC 的体积 V = 1/3×S_{△ABC}×PA。
- S_{△ABC}=1/2×AB×BC = 1/2×2×2 = 2。
- PA = 3，所以 V = 1/3×2×3 = 2。
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