圆中的手拉手模型——2020年秋西陵区九年级数学期末第23题解析
手拉手模型是常见的全等三角形构图，其特点是一对可通过旋转变换得到的全等三角形，在题目条件中出现等腰三角形时，一般可考虑利用其两腰构造它。我们将等腰三角形两腰看作是一条边绕其顶点旋转得到另一条，于是一腰所在三角形也顺势旋转得到另一个，缺哪条边就补哪条边。
题目
已知：圆O是△ABC的外接圆，且弧AB=弧BC，∠ABC=60°，D为圆O上一点.
(1)如图1，若点D是弧AB的中点，求∠DBA的度数；
(2)过点B作直线AD的垂线，垂足为点E.
①如图2，若点D在弧AB上，求证：CD=DE AE；
②若点D在弧AC上，当它从点C运动且满足CD=DE AE时，求∠ABD的最大值.
解析：
(1)分析题目条件可知，△ABC是等边三角形，于是每个内角都是60°，并且这些内角在圆中，均为圆周角，从这个角度来思考本小题，会相当容易；
点D是弧AB的中点，所以弧AD=弧BD，它们所对的圆周角也相等，所以∠ACD=1/2∠ACB=30°，∠DBA所对的弧恰好也是弧AD，因此∠DBA=30°；
(2)本小题需要先作图，①中已经根据描述给出了图，观察CD、DE和AE的位置，一般情况下，证明一条线段等于另外两条线段的和，采用的方法是截长补短，此处我们采用截长法，即将CD分成两部分，使其中一部分等于DE，证明剩下的部分等于AE；
由于四边形ACBD是圆内接四边形，所以∠ADB ∠ACB=180°，可求出∠BDE=60°，同时∠BDC所对的弧是弧BC，这条弧所对的圆周角∠BAC=60°，所以∠BDE=∠BDC=60°，第一对全等三角形呼之欲出，过点B作BF⊥CD于点F，如下图：
∠BDE=∠BDC，∠E=∠BFD=90°，BD=BD，可证△BDE≌△BDF，于是DE=DF，我们成功地将CD分成了两部分，且其中一部分等于DE，目标达成了一半；
剩下的CF是否等于AE呢？不妨观察它们所在的三角形，如下图：
此时利用等边△ABC中的AB=CB，前一次全等得到的BE=BF，以及一对直角，可证明△ABE≌△CBF，从而得到AE=CF，目标实现了！所以CD=DE AE；
②中点D位置发生了改变，并且只有参考图，所以作图非常有必要，注意垂足E在直线AD上这个细节，这意味着它可能在线段AD上，也可能在其延长线上，我们先作其中一种情况来探究，如下图：
沿着上一小问的思路，我们继续过点B作BF⊥CD于点F，同样可找到两对全等三角形，如下图：
证明△BDE≌△BDF和△ABE≌△CBF，思路与上一小问完全相同，不再赘述，此时满足CD=DE AE；
继续改变点D在弧AC上的位置，我们发现，垂足E可能从DA延长线上，转移到线段AD上，如下图：
重复前面的探索过程，仍然存在两对全等三角形，如下图：
我们发现此时CD、DE、AE三条线段的关系为CD=DE-AE，不满足CD=DE AE，究竟是从何时开始不满足的呢？
答案是当点E与点A重合时.
∠ABD是圆周角，它所对的弧是弧AD，因此我们只要将注意力集中到探索弧AD何时最长即可，点D在弧AC上，当点D到达弧AC中点时，由第1小题结论，此时弧AD最长，再往点C方向移动，不再满足CD=DE AE了；
此时∠ABD=30°.
解题反思
本题作为区期末考试倒数第二题的几何综合，难度适合，涉及到的都是基本模型，对学生亲和力较强，基本上都能上手，只要平时用了心，这道题拿满分不难。
在题目叙述上，其实可以一句话概括，圆O是等边△ABC的接圆.图中的点D，无论出现在哪段弧上，总会出现全等三角形，说明此图的构建背后，是模型，对于学生来讲，认真完成了第2小题第1小问，后面所有的困难都能解决；同时在圆中求角度的最值，特别是圆周角的最值，通常有迹可寻，毕竟圆内这些角，可通过同弧关联，这也是需要让学生养成的习惯，看圆周角或圆心角，一定记得顺便看它们所对的弧，建立起二者的深度关联，这对解决圆内角的转换非常重要。
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