数学概念。
说说关于数学概念的问题！
1. 这里是帮你扫清数学概念的煜神学长。前些天学弟问了我这样的一个概念问题：函数在(0，+∞)内有界且可导，导数的极限为 0 能不能推出此时函数极限存在？这个问题我看了一下比较典型且非常容易错，所以做了这期视频分享一下。有兴趣的小伙伴可以先思考看它是对的还是错的，如果是错的反例是什么？
2. 现在公布答案，这个命题是错的。反例是什么？这个是比较难想的，其实很多概念之所以判断不出来就是因为反例难找，所以正好我想借用这道题来给大家演示一下找反例的一般思路是什么？简单来说就是找主体、找关系、去构造。首先找出这个概念研究的主体是谁，很明显是导数与函数。然后找出这两个主体之间的关系，导数和函数之间有什么关系？其实在我看来有点像离婚不离家，它们俩虽然能够通过这两个等式紧密的联系在一起，但是由于这里有 dx 和 DartaX，所以导致函数的变化量与导数值的关系并没有那么明显。可以在函数变化量不变的情况下通过改变得 x 的尺度使得 f 的值发生变化，得上 x 越大这个线的斜率越小，也就是导数越小。如果得上 x 区间于无穷，那么自然这里的导数值是取决于 0 的，这就是它们之间的关系。
3. 最后根据这个关系来构造反例，这道题的反例无非就是要说明导数极限存在时函数的极限不存在，函数极限不存在在有界的情况下就只剩下振荡的这种情况。一看到这种振荡的就想到谁，是不是三角函数 sinx？但是 sinx 导数 cosx，它的极限也是振荡的，不满足此时反例的要求怎么办？这时就要利用上一步找到的导数和函数之间的关系，通过逐步拉伸德尔塔 x 使得下引震荡一次所需要的长度逐步拉长，直至趋近于无穷，此时导数值也就趋近于 0，是存在的了。如何做到？知道 sin 从高到低或者从低到高，震荡一次所需要的长度是 pi。如果想让震荡一次需要的 x 逐渐增加，只需要找到一个内层函数，使得这个函数变化一个 pi，所需要的 x 越来越大，直至为无穷就可以了。通过图就可以发现，此时的内层函数 gx 要满足两个条件。第一个就是 gx 单调递增且无界，这个是为了保证无论 x 有多么大，都能够使得 gx 变化一个 pi，进而保证 singx 可以震荡。第二个条件是内层函数的导数要是单调递减且趋近于 0，这个是为了保证当 x 足够大的时候，每当 gx 向上变化一个 pi，所需要的 dertax 都是逐渐拉长，直至为无穷。也就是满足 singx 振荡一次所需要的 x 逐渐增加，直至为无穷。这样导数极限就为 0，满足反例的要求。而满足这两个条件的内层函数一想就出来了，为 lnx，因此内层函数就为它。这道题的反例就是 sinlnx，验证一下，确实如此。
4. 这期视频到此结束。
