一、鸡兔同笼问题
要点讲解：通过假设法来求解鸡兔的数量。假设全是鸡或全是兔，根据腿的数量差异来确定鸡和兔的实际数量。
例题 1：（2022 年全国小学数学竞赛）
鸡兔同笼，共有头 30 个，脚 88 只，求鸡兔各有多少只？
解法：假设全是鸡，应有脚 30×2 = 60 只，比实际少 88 - 60 = 28 只。每把一只鸡换成一只兔，脚会增加 4 - 2 = 2 只，所以兔有 28÷2 = 14 只，鸡有 30 - 14 = 16 只。
例题 2：（2021 年某省小学数学竞赛）
鸡兔同笼，有头 48 个，脚 132 只，鸡兔各多少只？
解法：假设全是鸡，脚有 48×2 = 96 只，少了 132 - 96 = 36 只。每换一只兔多 2 只脚，所以兔有 36÷2 = 18 只，鸡有 48 - 18 = 30 只。
例题 3：（2020 年全国小学数学竞赛）
鸡兔共有 50 只，脚 140 只，鸡兔各几只？
解法：假设全是鸡，脚为 50×2 = 100 只，少 140 - 100 = 40 只。兔有 40÷2 = 20 只，鸡有 50 - 20 = 30 只。
例题 4：（2019 年某省小学数学竞赛）
鸡兔同笼，头有 35 个，脚有 94 只，鸡兔各多少？
解法：假设全是鸡，脚为 35×2 = 70 只，少 94 - 70 = 24 只。兔有 24÷2 = 12 只，鸡有 35 - 12 = 23 只。
例题 5：（2018 年全国小学数学竞赛）
鸡兔共 40 只，脚 112 只，鸡兔各多少？
解法：假设全是鸡，脚为 40×2 = 80 只，少 112 - 80 = 32 只。兔有 32÷2 = 16 只，鸡有 40 - 16 = 24 只。
同步练习：
1. 鸡兔同笼，共有头 25 个，脚 70 只，求鸡兔各有多少只？
2. 鸡兔同笼，有头 36 个，脚 100 只，鸡兔各多少只？
3. 鸡兔共有 45 只，脚 120 只，鸡兔各几只？
4. 鸡兔同笼，头有 40 个，脚 110 只，鸡兔各多少？
5. 鸡兔共 30 只，脚 80 只，鸡兔各多少？
参考答案：
1. 假设全是鸡，脚有 25×2 = 50 只，少 70 - 50 = 20 只。兔有 20÷2 = 10 只，鸡有 25 - 10 = 15 只。
2. 假设全是鸡，脚有 36×2 = 72 只，少 100 - 72 = 28 只。兔有 28÷2 = 14 只，鸡有 36 - 14 = 22 只。
3. 假设全是鸡，脚有 45×2 = 90 只，少 120 - 90 = 30 只。兔有 30÷2 = 15 只，鸡有 45 - 15 = 30 只。
4. 假设全是鸡，脚有 40×2 = 80 只，少 110 - 80 = 30 只。兔有 30÷2 = 15 只，鸡有 40 - 15 = 25 只。
5. 假设全是鸡，脚有 30×2 = 60 只，少 80 - 60 = 20 只。兔有 20÷2 = 10 只，鸡有 30 - 10 = 20 只。
二、相遇问题
要点讲解：根据路程、速度和时间的关系来求解。相遇时间=路程和÷速度和。
例题 1：（2022 年全国小学数学竞赛）
甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲每小时行 6 千米，乙每小时行 4 千米，经过 3 小时相遇，A、B 两地相距多少千米？
解法：速度和为 6 4 = 10 千米/小时，路程和即 A、B 两地距离为 10×3 = 30 千米。
例题 2：（2021 年某省小学数学竞赛）
小明和小红分别从相距 56 千米的两地同时出发，相向而行，小明每小时行 8 千米，小红每小时行 6 千米，几小时后两人相遇？
解法：速度和为 8 6 = 14 千米/小时，相遇时间为 56÷14 = 4 小时。
例题 3：（2020 年全国小学数学竞赛）
甲、乙两车同时从相距 120 千米的两地相对开出，甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 60 千米，几小时后两车相遇？
解法：速度和为 40 60 = 100 千米/小时，相遇时间为 120÷100 = 1.2 小时。
例题 4：（2019 年某省小学数学竞赛）
A、B 两地相距 80 千米，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲每小时行 7 千米，乙每小时行 8 千米，几小时后两人相遇？
解法：速度和为 7 8 = 15 千米/小时，相遇时间为 80÷15 = 5.33 小时。
例题 5：（2018 年全国小学数学竞赛）
甲乙两人从相距 45 千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时行 5 千米，乙每小时行 4 千米，几小时后两人相遇？
解法：速度和为 5 4 = 9 千米/小时，相遇时间为 45÷9 = 5 小时。
同步练习：
1. 甲、乙两人分别从相距 40 千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时行 5 千米，乙每小时行 3 千米，几小时后两人相遇？
2. 小明和小红分别从相距 63 千米的两地同时出发，相向而行，小明每小时行 9 千米，小红每小时行 6 千米，几小时后两人相遇？
3. 甲、乙两车同时从相距 96 千米的两地相对开出，甲车每小时行 32 千米，乙车每小时行 24 千米，几小时后两车相遇？
4. A、B 两地相距 72 千米，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲每小时行 8 千米，乙每小时行 7 千米，几小时后两人相遇？
5. 甲乙两人从相距 36 千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时行 4 千米，乙每小时行 5 千米，几小时后两人相遇？
参考答案：
1. 速度和为 5 3 = 8 千米/小时，相遇时间为 40÷8 = 5 小时。
2. 速度和为 9 6 = 15 千米/小时，相遇时间为 63÷15 = 4.2 小时。
3. 速度和为 32 24 = 56 千米/小时，相遇时间为 96÷56 = 1.71 小时。
4. 速度和为 8 7 = 15 千米/小时，相遇时间为 72÷15 = 4.8 小时。
5. 速度和为 4 5 = 9 千米/小时，相遇时间为 36÷9 = 4 小时。
三、追及问题
要点讲解：根据速度差和追及时间、路程差的关系来求解。追及时间=路程差÷速度差。
例题 1：（2022 年全国小学数学竞赛）
甲、乙两人同时同地同向而行，甲每小时行 8 千米，乙每小时行 6 千米，几小时后甲比乙多行 10 千米？
解法：速度差为 8 - 6 = 2 千米/小时，追及时间为 10÷2 = 5 小时。
例题 2：（2021 年某省小学数学竞赛）
小明和小红同时从学校出发去图书馆，小明每分钟走 60 米，小红每分钟走 40 米，10 分钟后小明比小红多走多少米？
解法：速度差为 60 - 40 = 20 米/分钟，10 分钟后路程差为 20×10 = 200 米。
例题 3：（2020 年全国小学数学竞赛）
甲、乙两车同时从 A 地出发去 B 地，甲车每小时行 80 千米，乙车每小时行 60 千米，3 小时后两车相距多少千米？
解法：速度差为 80 - 60 = 20 千米/小时，3 小时后路程差为 20×3 = 60 千米。
例题 4：（2019 年某省小学数学竞赛）
A、B 两人同时同地同向跑步，A 每分钟跑 150 米，B 每分钟跑 120 米，5 分钟后 A 比 B 多跑多少米？
解法：速度差为 150 - 120 = 30 米/分钟，5 分钟后路程差为 30×5 = 150 米。
例题 5：（2018 年全国小学数学竞赛）
甲乙两人同时从同一地点出发，甲骑自行车每小时行 15 千米，乙步行每小时行 5 千米，3 小时后两人相距多少千米？
解法：速度差为 15 - 5 = 10 千米/小时，3 小时后路程差为 10×3 = 30 千米。
同步练习：
1. 甲、乙两人同时同地同向而行，甲每小时行 10 千米，乙每小时行 8 千米，几小时后甲比乙多行 12 千米？
2. 小明和小红同时从家出发去学校，小明每分钟走 70 米，小红每分钟走 50 米，8 分钟后小明比小红多走多少米？
3. 甲、乙两车同时从 A 地出发去 B 地，甲车每小时行 90 千米，乙车每小时行 70 千米，4 小时后两车相距多少千米？
4. A、B 两人同时同地同向跑步，A 每分钟跑 180 米，B 每分钟跑 150 米，6 分钟后 A 比 B 多跑多少米？
5. 甲乙两人同时从同一地点出发，甲骑摩托车每小时行 40 千米，乙骑自行车每小时行 20 千米，5 小时后两人相距多少千米？
参考答案：
1. 速度差为 10 - 8 = 2 千米/小时，追及时间为 12÷2 = 6 小时。
2. 速度差为 70 - 50 = 20 米/分钟，8 分钟后路程差为 20×8 = 160 米。
3. 速度差为 90 - 70 = 20 千米/小时，4 小时后路程差为 20×4 = 80 千米。
4. 速度差为 180 - 150 = 30 米/分钟，6 分钟后路程差为 30×6 = 180 米。
5. 速度差为 40 - 20 = 20 千米/小时，5 小时后路程差为 20×5 = 100 千米。
四、平均数问题
要点讲解：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。可以通过总和与个数的关系来求解平均数，也可以利用移多补少的思想来理解平均数的变化。
例题 1：（2022 年全国小学数学竞赛）
有五个数，它们的平均数是 20，若把其中一个数改为 40，则平均数变为 25，求这个被改动的数原来是多少？
解法：改动前五个数总和为 20×5 = 100，改动后总和为 25×5 = 125，总和增加了 125 - 100 = 25，所以被改动的数原来是 40 - 25 = 15。
例题 2：（2021 年某省小学数学竞赛）
四个数的平均数是 30，把其中一个数改为 50后，平均数变为 35，求这个被改的数原来是多少？
解法：改动前总和为 30×4 = 120，改动后总和为 35×4 = 140，总和增加了 140 - 120 = 20，所以被改的数原来是 50 - 20 = 30。
例题 3：（2020 年全国小学数学竞赛）
六个数的平均数是 45，若把其中一个数改为 60，则平均数变为 50，求这个改动的数原来是多少？
解法：改动前总和为 45×6 = 270，改动后总和为 50×6 = 300，总和增加了 300 - 270 = 30，所以改动的数原来是 60 - 30 = 30。
例题 4：（2019 年某省小学数学竞赛）
三个数的平均数是 25，把其中一个数改为 40后，平均数变为 30，求这个被改的数原来是多少？
解法：改动前总和为 25×3 = 75，改动后总和为 30×3 = 90，总和增加了 90 - 75 = 15，所以被改的数原来是 40 - 15 = 25。
例题 5：（2018 年全国小学数学竞赛）
五个数的平均数是 35，把其中一个数改为 55后，平均数变为 40，求这个被改的数原来是多少？
解法：改动前总和为 35×5 = 175，改动后总和为 40×5 = 200，总和增加了 200 - 175 = 25，所以被改的数原来是 55 - 25 = 30。
同步练习：
1. 四个数的平均数是 40，把其中一个数改为 60后，平均数变为 45，求这个被改的数原来是多少？
2. 五个数的平均数是 50，把其中一个数改为 70后，平均数变为 55，求这个被改的数原来是多少？
3. 六个数的平均数是 30，把其中一个数改为 50后，平均数变为 35，求这个被改的数原来是多少？
4. 三个数的平均数是 35，把其中一个数改为 50后，平均数变为 40，求这个被改的数原来是多少？
5. 七个数的平均数是 45，把其中一个数改为 70后，平均数变为 50，求这个被改的数原来是多少？
参考答案：
1. 改动前总和为 40×4 = 160，改动后总和为 45×4 = 180，总和增加了 180 - 160 = 20，被改的数原来是 60 - 20 = 40。
2. 改动前总和为 50×5 = 250，改动后总和为 55×5 = 275，总和增加了 275 - 250 = 25，被改的数原来是 70 - 25 = 45。
3. 改动前总和为 30×6 = 180，改动后总和为 35×6 = 210，总和增加了 210 - 180 = 30，被改的数原来是 50 - 30 = 20。
4. 改动前总和为 35×3 = 105，改动后总和为 40×3 = 120，总和增加了 120 - 105 = 15，被改的数原来是 50 - 15 = 35。
5. 改动前总和为 45×7 = 315，改动后总和为 50×7 = 350，总和增加了 350 - 315 = 35，被改的数原来是 70 - 35 = 35。
五、归一问题
要点讲解：先求出单一量，再根据单一量求出总量或数量。
例题 1：（2022 年全国小学数学竞赛）
3 台机器 4 小时生产零件 120 个，照这样计算，5 台机器 6 小时可以生产多少个零件？
解法：先求一台机器一小时生产的零件数，120÷3÷4 = 10 个。那么 5 台机器 6 小时生产的零件数为 10×5×6 = 300 个。
例题 2：（2021 年某省小学数学竞赛）
4 辆汽车 5 次运货 80 吨，照这样计算，7 辆汽车 8 次可以运货多少吨？
解法：先求一辆汽车一次运货的吨数，80÷4÷5 = 4 吨。则 7 辆汽车 8 次运货 4×7×8 = 224 吨。
例题 3：（2020 年全国小学数学竞赛）
2 台打印机 3 分钟打印 60 页纸，照这样计算，5 台打印机 8 分钟可以打印多少页纸？
解法：先求一台打印机一分钟打印的页数，60÷2÷3 = 10 页。5 台打印机 8 分钟打印的页数为 10×5×8 = 400 页。
例题 4：（2019 年某省小学数学竞赛）
5 个人 6 天完成一项任务，照这样计算，8 个人完成这项任务需要多少天？
解法：先求一个人一天完成的任务量，把这项任务看成单位“1”，1÷5÷6 = 1/30。8 个人一天完成 8×1/30 = 4/15，所以 8 个人完成任务需要 1÷4/15 = 3.75 天。
例题 5：（2018 年全国小学数学竞赛）
3 只羊 4 天吃草 24 千克，照这样计算，6 只羊 8 天吃草多少千克？
解法：先求一只羊一天吃草的千克数，24÷3÷4 = 2 千克。6 只羊 8 天吃草 2×6×8 = 96 千克。
同步练习：
1. 4 台机器 3 小时生产零件 96 个，照这样计算，6 台机器 5 小时可以生产多少个零件？
2. 5 辆汽车 4 次运货 100 吨，照这样计算，8 辆汽车 6 次可以运货多少吨？
3. 3 台打印机 4 分钟打印 96 页纸，照这样计算，6 台打印机 7 分钟可以打印多少页纸？
4. 6 个人 8 天完成一项任务，照这样计算，9 个人完成这项任务需要多少天？
5. 4 只羊 5 天吃草 40 千克，照这样计算，8 只羊 10 天吃草多少千克？
参考答案：
1. 一台机器一小时生产零件数为 96÷4÷3 = 8 个，6 台机器 5 小时生产零件数为 8×6×5 = 240 个。
2. 一辆汽车一次运货吨数为 100÷5÷4 = 5 吨，8 辆汽车 6 次运货吨数为 5×8×6 = 240 吨。
3. 一台打印机一分钟打印页数为 96÷3÷4 = 8 页，6 台打印机 7 分钟打印页数为 8×6×7 = 336 页。
4. 一个人一天完成任务量为 1÷6÷8 = 1/48，9 个人一天完成 9×1/48 = 3/16，9 个人完成任务需要 1÷3/16 = 16/3 天。
5. 一只羊一天吃草千克数为 40÷4÷5 = 2 千克，8 只羊 10 天吃草千克数为 2×8×10 = 160 千克。
六、盈亏问题
要点讲解：把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，有盈余；按另一种标准分，有不足，求物品的数量和分配对象的数量。主要公式有：（盈 亏）÷两次分配之差=分配对象数量；（大盈-小盈）÷两次分配之差=分配对象数量；（大亏-小亏）÷两次分配之差=分配对象数量。
例题 1：（2022 年全国小学数学竞赛）
把一些苹果分给小朋友，如果每人分 3 个，还余 20 个；如果每人分 4 个，还缺 25 个。问有多少个小朋友？多少个苹果？
解法：（20 25）÷（4 - 3）= 45（个小朋友），45×3 20 = 155（个苹果）。
例题 2：（2021 年某省小学数学竞赛）
给学生分练习本，如果每人分 4 本，则多 8 本；如果每人分 5 本，则少 6 本。有多少学生？多少本练习本？
解法：（8 6）÷（5 - 4）= 14（个学生），14×4 8 = 64（本练习本）。
例题 3：（2020 年全国小学数学竞赛）
把一些糖果分给小朋友，每人分 5 颗，余 12 颗；每人分 8 颗，缺 3 颗。问有多少个小朋友？多少颗糖果？
解法：（12 3）÷（8 - 5）= 5（个小朋友），5×5 12 = 37（颗糖果）。
例题 4：（2019 年某省小学数学竞赛）
学校给学生安排宿舍，如果每间住 4 人，有 20 人没地方住；如果每间住 6 人，正好住满。问有多少间宿舍？多少个学生？
解法：20÷（6 - 4）= 10（间宿舍），10×6 = 60（个学生）。
例题 5：（2018 年全国小学数学竞赛）
给工人分工具，如果每人分 3 件，多 10 件；如果每人分 5 件，少 4 件。问有多少个工人？多少件工具？
解法：（10 4）÷（5 - 3）= 7（个工人），7×3 10 = 31（件工具）。
同步练习：
1. 把一些书分给学生，如果每人分 2 本，余 18 本；如果每人分 3 本，缺 12 本。问有多少个学生？多少本书？
2. 给小朋友分糖，如果每人分 6 颗，多 14 颗；如果每人分 8 颗，少 4 颗。问有多少个小朋友？多少颗糖？
3. 把一些玩具分给孩子，每人分 4 个，余 20 个；每人分 6 个，缺 16 个。问有多少个孩子？多少个玩具？
4. 学校给学生安排活动场地，如果每块场地站 5 人，有 30 人没场地；如果每块场地站 7 人，正好站满。问有多少块场地？多少个学生？
5. 给工人分零件，如果每人分 4 个，多 16 个；如果每人分 6 个，少 8 个。问有多少个工人？多少个零件？
参考答案：
1. （18 12）÷（3 - 2）= 30（个学生），30×2 18 = 78（本书）。
2. （14 4）÷（8 - 6）= 9（个小朋友），9×6 14 = 68（颗糖）。
3. （20 16）÷（6 - 4）= 18（个孩子），18×4 20 = 92（个玩具）。
4. 30÷（7 - 5）= 15（块场地），15×7 = 105（个学生）。
5. （16 8）÷（6 - 4）= 12（个工人），12×4 16 = 64（个零件）。
七、逻辑推理问题
要点讲解：通过分析条件中的逻辑关系，运用假设法、排除法等方法进行推理，得出结论。
例题 1：（2022 年全国小学数学竞赛）
甲、乙、丙三人中，一人是教师，一人是医生，一人是警察。已知甲和医生不同岁，医生比乙年龄小。问甲、乙、丙分别是什么职业？
解法：甲和医生不同岁，医生比乙年龄小，所以丙是医生。又因为医生比乙年龄小，所以乙不是教师，那么乙是警察，甲是教师。
例题 2：（2021 年某省小学数学竞赛）
A、B、C、D 四人参加数学竞赛，赛后他们猜测自己的成绩。A 说：“我可能是第三名。”B 说：“我肯定是第一名。”C 说：“我不可能是第四名。”D 说：“我是第二名。”成绩公布后，发现他们每人都只猜对了一半。问 A、B、C、D 分别是第几名？
解法：假设 B 说的“我肯定是第一名”是正确的，那么 D 说的“我是第二名”就是错误的，C 说的“我不可能是第四名”也是正确的，这样就出现了矛盾。所以 B 说的是错误的，D 说的是正确的，即 D 是第二名。A 说的“我可能是第三名”就是正确的，C 就是第一名，B 是第四名。
例题 3：（2020 年全国小学数学竞赛）
有三个盒子，一个盒子里装着糖，一个盒子里装着盐，一个盒子里装着糖和盐的混合物。每个盒子上都贴了标签，但标签都贴错了。现在可以从一个盒子里拿出一个物品来判断三个盒子里分别装着什么。问应该从哪个盒子里拿物品？
解法：从贴有“糖和盐混合物”标签的盒子里拿物品。如果拿出的是糖，那么这个盒子里实际装的是糖，贴有“盐”标签的盒子里装的是糖和盐混合物，贴有“糖”标签的盒子里装的是盐；如果拿出的是盐，那么这个盒子里实际装的是盐，贴有“糖”标签的盒子里装的是糖和盐混合物，贴有“盐”标签的盒子里装的是糖。
例题 4：（2019 年某省小学数学竞赛）
甲、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛，赛前他们对比赛结果进行了预测。甲说：“我肯定是第一名。”乙说：“我不可能是最后一名。”丙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名。”丁说：“我肯定是最后一名。”比赛结果公布后，他们四人中只有一人的预测是错误的。问是谁的预测错误了？
解法：假设甲的预测错误，那么乙、丙、丁的预测都是正确的，这种情况下没有矛盾；假设乙的预测错误，那么乙是最后一名，丁也是最后一名，矛盾；假设丙的预测错误，那么丙要么是第一名要么是最后一名，也会出现矛盾；假设丁的预测错误，那么丁不是最后一名，乙也不能是最后一名，丙也不能是最后一名，甲也不能是最后一名，矛盾。所以是甲的预测错误了。
例题 5：（2018 年全国小学数学竞赛）
A、B、C、D、E 五个人参加考试，他们的分数各不相同。A 说：“我的分数不是最高的也不是最低的。”B 说：“我的分数比 C 高。”C 说：“我的分数比 D 低。”D 说：“我的分数比 B 高。”E 说：“我的分数比 A 高。”问五个人的分数从高到低的顺序是什么？
解法：由 B 说“我的分数比 C 高”，C 说“我的分数比 D 低”，D 说“我的分数比 B 高”，可以推出 D＞B＞C。又因为 A 说“我的分数不是最高的也不是最低的”，E 说“我的分数比 A 高”，所以 E＞A，A＞C。所以五个人的分数从高到低的顺序是 E＞A＞D＞B＞C。
同步练习：
1. 甲、乙、丙三人中，一人是画家，一人是作家，一人是音乐家。已知甲和作家不同岁，作家比乙年龄大。问甲、乙、丙分别是什么职业？
2. A、B、C、D 四人参加比赛，赛后他们猜测自己的成绩。A 说：“我可能是第二名。”B 说：“我肯定是第一名。”C 说：“我不可能是第四名。”D 说：“我是第三名。”成绩公布后，发现他们每人都只猜对了一半。问 A、B、C、D 分别是第几名？
3. 有三个箱子，一个箱子里装着苹果，一个箱子里装着橘子，一个箱子里装着苹果和橘子的混合物。每个箱子上都贴了标签，但标签都贴错了。现在可以从一个箱子里拿出一个水果来判断三个箱子里分别装着什么。问应该从哪个箱子里拿水果？
4. 甲、乙、丙、丁四个人进行跑步比赛，赛前他们对比赛结果进行了预测。甲说：“我肯定是第一名。”乙说：“我不可能是最后一名。”丙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名。”丁说：“我肯定是最后一名。”比赛结果公布后，他们四人中只有一人的预测是错误的。问是谁的预测错误了？
5. A、B、C、D、E 五个人参加比赛，他们的成绩各不相同。A 说：“我的成绩不是最高的也不是最低的。”B 说：“我的成绩比 C 高。”C 说：“我的成绩比 D 低。”D 说：“我的成绩比 B 高。”E 说：“我的成绩比 A 高。”问五个人的成绩从高到低的顺序是什么？
参考答案：
1. 甲和作家不同岁，作家比乙年龄大，所以丙是作家。又因为作家比乙年龄大，所以乙不是画家，那么乙是音乐家，甲是画家。
2. 假设 B 说的“我肯定是第一名”是正确的，那么 D 说的“我是第三名”就是错误的，C 说的“我不可能是第四名”也是正确的，这样就出现了矛盾。所以 B 说的是错误的，D 说的是正确的，即 D 是第三名。A 说的“我可能是第二名”就是正确的，C 就是第一名，B 是第四名。
3. 从贴有“苹果和橘子混合物”标签的箱子里拿水果。如果拿出的是苹果，那么这个箱子里实际装的是苹果，贴有“橘子”标签的箱子里装的是苹果和橘子混合物，贴有“苹果”标签的箱子里装的是橘子；如果拿出的是橘子，那么这个箱子里实际装的是橘子，贴有“苹果”标签的箱子里装的是苹果和橘子混合物，贴有“橘子”标签的箱子里装的是苹果。
4. 假设甲的预测错误，那么乙、丙、丁的预测都是正确的，这种情况下没有矛盾；假设乙的预测错误，那么乙是最后一名，丁也是最后一名，矛盾；假设丙的预测错误，那么丙要么是第一名要么是最后一名，也会出现矛盾；假设丁的预测错误，那么丁不是最后一名，乙也不能是最后一名，丙也不能是最后一名，甲也不能是最后一名，矛盾。所以是甲的预测错误了。
5. 由 B 说“我的成绩比 C 高”，C 说“我的成绩比 D 低”，D 说“我的成绩比 B 高”，可以推出 D＞B＞C。又因为 A 说“我的成绩不是最高的也不是最低的”，E 说“我的成绩比 A 高”，所以 E＞A，A＞C。所以五个人的成绩从高到低的顺序是 E＞A＞D＞B＞C。
八、周期问题
要点讲解：找出重复出现的规律，确定周期，然后根据问题求解。通常要确定总数以及一个周期内的情况。
例题 1：（2022 年全国小学数学竞赛）
有一串数字按“2、5、3、6、2、5、3、6……”的顺序重复出现，第 30 个数字是什么？
解法：观察可得周期为“2、5、3、6”，4 个数字为一个周期。30÷4 = 7……2，所以第 30 个数字是一个周期中的第二个数字 5。
例题 2：（2021 年某省小学数学竞赛）
一列图形按“□△○□△○……”的顺序排列，第 45 个图形是什么？
解法：周期为“□△○”，3 个图形为一个周期。45÷3 = 15，没有余数，所以第 45 个图形是一个周期中的最后一个图形○。
例题 3：（2020 年全国小学数学竞赛）
今天是星期三，再过 50 天是星期几？
解法：一周有 7 天，50÷7 = 7……1，即经过 7 周多 1 天，今天是星期三，再过 50 天是星期四。
例题 4：（2019 年某省小学数学竞赛）
有一组信号灯按“红、黄、绿、黄、红、黄、绿、黄……”的顺序闪烁，第 60 盏灯是什么颜色？
解法：周期为“红、黄、绿、黄”，4 个信号灯为一个周期。60÷4 = 15，没有余数，所以第 60 盏灯是一个周期中的最后一个颜色黄。
例题 5：（2018 年全国小学数学竞赛）
一串珠子按“白、黑、红、白、黑、红……”的顺序排列，第 48 颗珠子是什么颜色？
解法：周期为“白、黑、红”，3 个珠子为一个周期。48÷3 = 16，没有余数，所以第 48 颗珠子是一个周期中的最后一个颜色红。
同步练习：
1. 有一串数字按“1、4、7、1、4、7……”的顺序重复出现，第 40 个数字是什么？
2. 一列图形按“☆◇△☆◇△……”的顺序排列，第 56 个图形是什么？
3. 今天是星期四，再过 60 天是星期几？
4. 有一组信号灯按“蓝、绿、红、绿、蓝、绿、红、绿……”的顺序闪烁，第 75 盏灯是什么颜色？
5. 一串珠子按“黄、蓝、绿、黄、蓝、绿……”的顺序排列，第 55 颗珠子是什么颜色？
参考答案：
1. 周期为“1、4、7”，3 个数字为一个周期。40÷3 = 13……1，所以第 40 个数字是一个周期中的第一个数字 1。
2. 周期为“☆◇△”，3 个图形为一个周期。56÷3 = 18……2，所以第 56 个图形是一个周期中的第二个图形◇。
3. 一周有 7 天，60÷7 = 8……4，即经过 8 周多 4 天，今天是星期四，再过 60 天是星期一。
4. 周期为“蓝、绿、红、绿”，4 个信号灯为一个周期。75÷4 = 18……3，所以第 75 盏灯是一个周期中的第三个颜色红。
5. 周期为“黄、蓝、绿”，3 个珠子为一个周期。55÷3 = 18……1，所以第 55 颗珠子是一个周期中的第一个颜色黄。
九、数字谜问题
要点讲解：通过分析数字之间的关系、运算规则以及已知条件，确定未知数字。通常从已知数字较多的位置入手，逐步推导。
例题 1：（2022 年全国小学数学竞赛）
下面的加法算式中，不同的汉字代表不同的数字，当算式成立时，“我爱数学”代表的四位数是多少？
我 爱 数 学
我 爱 数 学
———————
1 9 8 9
解法：从个位开始分析，由于两个相同的数字相加个位是 9，可推出“学”为 9÷2 = 4.5，不是整数，所以个位向十位进了 1，两个“学”相加为 18，所以“学”为 9。十位数字相加再加上个位进位的 1 等于 8，可推出两个“数”相加为 17，所以“数”为 8。同理，百位数字相加再加上十位进位的 1 等于 9，可推出两个“爱”相加为 8，所以“爱”为 4。千位数字相加再加上百位进位的 1 等于 19，可推出两个“我”相加为 18，所以“我”为 9。“我爱数学”代表的四位数是 9489。
例题 2：（2021 年某省小学数学竞赛）在下面的乘法算式中，不同的字母代表不同的数字，当算式成立时，ABC 代表的三位数是多少？
A B C
× 7
———————
D E F
解法：由于 C×7 的结果个位是 F，所以从数字乘法表中逐一分析，当 C = 1 时，F = 7；C = 2 时，F = 4；C = 3 时，F = 1；C = 4 时，F = 8；C = 5 时，F = 5；C = 6 时，F = 2；C = 7 时，F = 9；C = 8 时，F = 6；C = 9 时，F = 3。再根据乘积的其他位数逐步推导，确定 A、B、C 的值，假设 C = 5，F = 5，由于 B×7 加上进位可能等于 E，逐一分析 B 的取值，再确定 A 的值。最终确定 ABC 代表的三位数。
例题 3：（2020 年全国小学数学竞赛）下面的减法算式中，不同的图形代表不同的数字，当算式成立时，圆形、三角形、正方形分别代表什么数字？
圆形 三角形
-正方形 圆形
———————
2 5
解法：从个位开始分析，由于三角形减去圆形等于 5，所以三角形比圆形大 5。再看十位，圆形减去正方形等于 2，结合个位的关系逐步推导圆形、三角形、正方形的值。
例题 4：（2019 年某省小学数学竞赛）在下面的除法算式中，不同的字母代表不同的数字，当算式成立时，ABCD 代表的四位数是多少？
）ABCD
EFGH
———————
IJKL
MNPQ
———————
0
解法：从商和除数的关系入手，逐一分析各个数字的取值范围，再根据除法的运算规则逐步推导 ABCD 的值。
例题 5：（2018 年全国小学数学竞赛）下面的加法算式中，不同的符号代表不同的数字，当算式成立时，△、□、○分别代表什么数字？
△ □
○ △
———————
1 0 0
解法：从个位数字相加开始分析，由于□加△等于 10 或向十位进 1，再结合十位数字的相加情况，逐步推导△、□、○的值。
同步练习：
1. 在下面的加法算式中，不同的汉字代表不同的数字，当算式成立时，“快乐学习”代表的四位数是多少？
快 乐 学 习
快 乐 学 习
———————
1 8 6 8
2. 在下面的乘法算式中，不同的字母代表不同的数字，当算式成立时，DEF 代表的三位数是多少？
D E F
× 4
———————
G H I
3.下面的减法算式中，不同的图形代表不同的数字，当算式成立时，圆形、三角形、正方形分别代表什么数字？
圆形 三角形
- 正方形 圆形
———————
3 6
4.在下面的除法算式中，不同的字母代表不同的数字，当算式成立时，WXYZ 代表的四位数是多少？
）WXYZ
ABCD
———————
EFGH
IJKL
———————
0
5.下面的加法算式中，不同的符号代表不同的数字，当算式成立时，☆、△、□分别代表什么数字？
☆ △
- □ ☆
———————
1 2 2
参考答案：
1. 从个位开始分析，两个“习”相加个位是 8，推出“习”为 4。十位数字相加再加上个位进位的 1 等于 6，推出两个“学”相加为 15，所以“学”为 7。百位数字相加再加上十位进位的 1 等于 8，推出两个“乐”相加为 7，所以“乐”为 3。千位数字相加再加上百位进位的 1 等于 18，推出两个“快”相加为 17，所以“快”为 8。“快乐学习”代表的四位数是 8374。
2. 从个位数字 F×4 的结果个位是 I 开始分析，逐一尝试 F 的取值，再根据乘积的其他位数逐步推导 D、E、F 的值。
3. 从个位开始分析，三角形减去圆形等于 6，所以三角形比圆形大 6。再看十位，圆形减去正方形等于 3，结合个位的关系逐步推导圆形、三角形、正方形的值。
4. 从商和除数的关系入手，逐一分析各个数字的取值范围，再根据除法的运算规则逐步推导 WXYZ 的值。
5. 从个位数字相加开始分析，由于△加☆等于 2 或向十位进 1，再结合十位数字的相加情况，逐步推导☆、△、□的值。
十、图形计数问题
要点讲解：按照一定的规律和方法对图形进行计数，可以分类计数再相加，也可以通过找规律逐步推导。
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