【原题呈现】
图1——研究的原题。
【试题破解】
图2和图3——点到直线的距离公式的使用。根据题中代数式的结构特征——含有绝对值符号和x,y的线性表达式，其几何意义是点到直线的距离公式的变形，再结合求两个距离和的最小值，显然利用圆上两点到直线的距离求解问题。(方法1和方法2的思路)
图4——方法3，可以联想到三角换元思维，通过圆的方程的参数方法及其应用,借助三角换元思维与应用，合理代入对应的代数式，并基于三角函数的三角代换与应用，结合三角函数的图象与性质来解决相应的最值(或取值范围)等问题,是解决此类问题中一类比较基本的技巧与方法,三角换元法适用于方便进行三角换元的代数式的最值(或取值范围)的求解问题.
【试题变式】
图5-图8——变式.结合不同手法予以变式，或设问方式，或变换应用场景.
【规律总结】
1.合理交汇,巧妙应用
圆的综合应用问题,其巧妙之处就是融合了“数”与“形”这两种不同属性与特征.在实际解题过程中,借助“数”的思维视角进行合理的数学运算，或借助“形”的思维视角进行合理的逻辑推理,还可以“数”“形”结合加以综合应用.在解题中，在“数”与“形”的基础,合理结合“动”与“静”的思维视角与应用，借助点、曲线等“动”与“静”的结合来分析与解决问题,合理加以交汇与综合应用,从而有效落实数学知识的“四基”与数学思维的“四能”,从而合理加以拓展与应用.
2. 变式拓展,“一题多变”
基于以上圆的综合应用问题,以及相应的变式拓展,其实质在于合理依托问题的本质与内涵，合理交汇与融合数学基础知识与基本思维,进而借助“一题多解”方式,从而加以合理的“一题多思”“一题多变”“多题一解”等方面的深入探究与创新应用,达到“一题多得”的目的.
特别,基于典型数学问题的综合应用,合理挖掘内涵与实质，从而对问题加以合理的变式与拓展，实现问题的深入学习与应用,从而“一题多变”,实现“一题多得”,在此基础上合理提升数学关键能力,养成良好的数学思维习惯等，
