导数与概率压轴题：2021年高考数学新课程二卷新题型，三次函数与二次函数多参数问题的解决方法。
这个题目是导数与概率相综合的一道压轴题，它是2021年全国新高考二卷的一道试题，我们一起来分析一下，题目大意如下：
一种微生物群体，可以通过自身的繁殖不断生存下来，第一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖以后就是第一代，经过两次繁殖以后就是第二代，如果说这个微生物每代繁殖的个数都是相互独立，并且有相同的分布列，也就是说每一个微生物的分布列都是一样的。用X表示一个微生物的个体反应值下一代的个数，比如说X等于1表示繁殖下一代的个数为1个，X等于零，就是繁殖下一代的个数是零个，根据题意X=0,1,2,3，说明下一代最少0个，最多3个。
第一问：给出对应的概率，让我们求分布列的数学期望E(X)，代入公式就行了，得到E(X)=1，说明下一代平均1个。
第二问：设P表示该种微生物经过多代繁殖以后临近灭绝的概率，一定要看清楚，它是什么概率呢？是临近灭绝的概率，P是方程是关于X的一个三次方程，这个三次方程的一个最小正数根，让我们证明，如果期望小于等于一，P就等于一，如果期望大于一，P就小于一。
这个题考的是三次函数，我们借助导数为二次函数，借助二次函数图像的四步曲来看二次函数的符号，进而我们得到f（x）的单调性。我们画出草图来以后，就可以判断出最小的正实根是谁，它在哪里，满足什么条件，这是我们的第二问。
第三问，根据你的理解，说明第二问中结论的实际含义。你要清楚E(X)是什么，它表示每一个该微生物繁殖后代的平均数。如果小于等于一的时候，就是不超过一的时候，则若干代以后临近灭绝的概率是1，就是必然事件了，则若干代以后必然是灭绝的；如果平均数超过一，则若干代以后被灭绝的概率是小于1，因此，我们要理解它的含义，这样我们才能够写清楚。
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