题目
第一问太简单
略
第二问分析
我们先根据题意补全图形
第一小问是求∠AEC=?
这一问并不难，
以前的也出现过很多次类似的题目。
思路关键点是发现
△BAE是等腰△
△BEC是等腰△
再分别用α表示出
∠BEA与∠BEC，
作差后可得出
∠AEC=45°.
因为不难，
请同学们自己写出过程，
我们着重分析第二小问。
既然第一小问告诉我们
∠AEC=45°，
它一定是对第二小问有帮助的。
我们要思考从45°能推理出哪些信息。
∵BF平分∠EBC,
又∵△BEC是等腰△，
∴BG⊥FC（三线合一）。
∴∠EFG=45°。
∵BF=BF,
∠EBF=∠CBF,
BE=BC.
∴△BEF≌△BCF（SAS）
∴∠EFG=∠CFG=45°,
∴∠EFC=90°。
方法1 旋转思路
可以看到出现了多个直角
四边形ABCF是对角互补的四边形。
∴∠BAF ∠BCF=180°。
这暗示了我们可以利用旋转解决问题。
我们可以将△BAE绕点B顺时针旋转90°，得到△BCH。
∠BAF ∠BCF=180°
保证了F、C、H是共线的。
有些地区不建议用旋转来作辅助线，
同样的辅助线可以如下描述。
延长FC至点H，使得CH=AF，联结BH。
∵AB=BC,
∠BAF=∠BCH，
AF=CH.
∴△BAF≌△BCF（SAS）
∴BF=BH,∠ABF=∠CBH.
∴△FBH是等腰直角△。
∴√2BF=FH=FC CH
=FC AF
∵AF=FC-AE
∴√2BF=FC AF
=FC FC-AE
=2FC-AE.
∴√2BF=2FC-AE.
方法2 四点共圆
根据两个直角，或者
对角互补的四边形ABCF.
可知，A、B、C、F四点共圆。
利用托勒密定理,可知
AC·BF=AF·BC AB·FC，
∴√2BC·BF=AF·BC BC·FC，
消去BC
∴√2BF=AF FC，
∴√2BF=FC-AE FC，
∴√2BF=2FC-AE.
方法3 弦图
过点A作BF的垂线，交BF于点H。
易证△BAH≌△CBG（AAS）
∴BG=AH.
∵AF=√2AH,
∴AF=√2BG,
∴BF=BG GF
=√2/2AF √2/2FC
=√2/2(FC-AE) √2/2FC
=√2FC-√2/2AE.
∴BF=√2FC-√2/2AE,
∴√2BF=2FC-AE.
方法4 相似
∵∠BGC=∠AFC=90°。
从第一小问，易知
∠GBC=∠FAC=45° α/2，
∴△BGC∽△AFC.
∵AC=√2BC,
∴AF=√2BG.
∴BF=BG GF
=√2/2AF √2/2FC
=√2/2(FC-AE) √2/2FC
=√2FC-√2/2AE.
∴BF=√2FC-√2/2AE,
∴√2BF=2FC-AE.
以上所有思路看似不同，实则本质是相同的。
初始的三条线段是这样的位置关系，
直接观察不能得出答案。
我们要将这三条线段等量转移来思考。
（这里的等量转移包含1:1，1：√2，1：√3）
易知FC=FE，
由此知晓FC与AE的关系
FC-AE=AF.
接下来思考请AF与BF的关系就可以。
再双减以前
题目不会太为难我们
多看看条件，就能找到AF与BF的关系。
但双减后，这一步难度提升了。
同学们思维要灵活，
AF与BF的关系不好找的话。
可以思考AF与BF的一部分之间的关系。
明显BF被自然的分为BG与GF这两部分。
GF与FC的关系是容易发现的。
因此我们思考清AF与BG的关系就可以了。
现在请同学们再返回去看看这四种思路，
是不是变得容易些了？
注：以上是分析过程，请同学自己写答题过程。
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