作者 | 段学复
来源 | 原载《人民教育》1963 年第 期
数学是中小学最重要的课程之一, 它的教授时数之多仅次于语文课, 课外作业之多也与语文课相仿佛, 因此提高中小学数学教学质量对于提高整个中小学教学质量关系很大。数学的知识和训练, 由浅入深, 由易而难, 系统性连贯性很强, 不学好初等数学而学好高等数学的可能性, 可以说是没有的。由于高等数学是自然科学、技术科学和国防科学等数学和研究工作的重要基础和有力工具, 而且在最近的发展中间，尤其是在电子计算机发明以后，数学的应用日益广泛并且深入到生产自动化、国民经济、生物学、生理学、语言、思维等科学领域里, 因此提高中小学数学教学质量, 对于高等学校里首先是但也并不限于理工科系专业的教学和研究工作, 以至于对于把我国建设成为一个具有现代农业、现代工业、现代国防、现代科学技术的社会主义虽国的伟大事业, 也有意义。在本文里, 我仅从高等学校的角度对于中学数学教学谈一些意见。
首先, 关于中学数学教学内容的范围问题，解放以后，我国中学在数量上有很大的发展, 总体上讲在知识质量上也有很大的提高, 只是数学的水平在 1953 年以后却有所降低。我们 12 年制中小学数学课只讲苏联 10 年制中小学数学课的内容, 即只包括算术、代数、几何、三角, 削弱了过去的高中大代数, 取消了过去的高中解析几何。加以小学入学年龄限定为 7 足岁, 这样就既降低了大学新生的数学水平, 又提高了大学新生的入学年龄, 对于高等学校尤其理工科的教学是很不利的。
目前算术已下放到小学, 只在某些地方, 初中一年级上学期还用一些时间对小学算术再作一些必要的复习和巩固。这样中学数学教学时间比起过去几年, 就相对地增加了几乎一学年。看来, 小代数和平面几何基本上可在初中三年内教完, 比起过去也提前了差不多一学年的时间。到高中后, 就只剩下三角、立体几何和大代数。
高中余下来的一学年的数学教学时间, 如何使用呢? 首先可以用小部分附间来充实和增加大代数的一些重要内容, 如高次方程论 (某些部分)、行列式论 (某些部分)、部分分式、数学归纳法、概率论初步等。这里的高次方程论与行列式论对于已经学习过的方程解法可以起着总结和提高的作用, 作为它们的一个应用的部分分式，在以后学习微积分中有用，数学归纳法则是一种重要的数学论证方法, 而概率论初步, 一方面可以作为排列、组合的应用, 另一方面文是近代数学中一门应用最广泛的数学的启蒙。
此外, 就应以一学期或者更多的时间来讲授平面解析几何, 或者再学一些立体解析几何大意。至于微积分初步, 首先由于对于师资的要求更高, 而且也要在教学计划里从别方面挤出时间, 可能还牵涉到高中文理分科的问题, 再者理论基础要求到什么样地步合适，这些都要更加仔细地进行研究, 在解析几何的教学质量初步稳定以后再考虑为妥。增添解析几何的意义，还不仅在于增添了一些用处比较广的内容。事实上, 高等数学是由初等数学 (即算术、代数、几何、三角) 随着变量和几何变换的引入这一个转折点而发展的, 这样也就在数学中引入了辩证法, 并且使得我们不只能用数学来表示物体的形态, 而且能用数学来研究物体的变化和运动, 解析几何和微积分的产生及其所以重要的原因就在这里。在中学添加解所几何, 以及将来可能时增加微积分初步, 这也就加强了函数的概念——近代数学中最重要的概念之一——及函数图象的训练, 从而系统地提高了孕育和渗透在算术、代数、几何尤其三角中的函数思想和具体实例, 而不是取消了这些特例的积累过程; 体现了数形结合, 而不是以数代形; 实现了中学数学内容的部分现代化, 而不是削弱了算术、代数、几何、三角等方面的基本知识和基本训练。解析几何与微积分正是综合运用已学过的算术、代数、几何、三角等内容的最好场所。
其次，关于中学数学教学中的基本训练问题, 在中学数学教学里, 当然要着重训练学生的计算能力,在基本运算方面要能够达到熟练而正确的地步。各种学习中的基本训练的重要性，大家已经谈过不少，有如“画蛋”、“学射”等科班基本工。由于数学知识和训练的系统性连贯性, 也由于它的准确性, 这点可能更加突出。“差之毫厘, 失之千里”, 数学计算中间误写一个数字、一个符号, 结果迥然不同, 在与实际开题有关的计算中, 这样的错误甚至导致工作中的重大损失。因此中小学的数学计算基本训练必须要求严格, 不可马虎，算式也要要求整齐清楚, 这样可以少出错误，而且即使发生错误也易检查纠正。从小要求，养成习惯, 坚持下去, 并不困难; 而相反马虎的习惯一旦形成, 纠正起来就很不容易了。各种计算工具及电子计算机的发明利没有降低数学计算基本训练的重要性, 这个道理就同在有了现代交通工具的今天，人们总还是要用两条腿作为走路的最基本方法是一样的。
另外, 也要相应地训练学生的逻辑思维能力, 要按照切合中学水平而不是过高过低的要求来训绕学生, 要能确切地表达数学概念和严格地进行数学证明。过去几年一度把几何尤其它的公理体系和逻辑证明看成是陈腐落后和脱离实际的内容, 削弱过甚。事实上, 正确的抽象, 正是客观现实更深刻的反咉。而为时虽久但仍起作用的东西, 也不能就都看成落后的，我们要反对的，首先是，追求几何中一些弄“技巧”耍“绝招”的过分人为的难题。实际上, 有些几何题能否得到解法的关键就在于会不会添出十分隐晦的辅助线, “得之则生, 失之则死”。我以为这样的题目对于一般学生来讲, 没有多少好处。与此相反, 有如对称、折叠、转动、平移、放大、缩小等等一些想法, 却颇可以开阔学生的思路。我们要反对的，还有把几何亦即欧氏几何公理体系不是看成一种必要的基础知识和训练学生逻辑思维能力的一种有效工具 (即所谓“思想的体操”, 这种作用绝非“逻辑”课能代替的), 而还看成有着很大发展前途的一门数学学科，并引导学生在里面去创造一些意义不大的新定理，甚至反而搞得限制了学生逻辑思维能力的发展, 那就颇有害处了。在若干年前, 所谓“近世几何学”中包括着比像“九点圆”还要复杂得多的很多几何定理, 不过这些都很难说还有什么意义。但是过分削弱几何, 以数代形, 以测量代证明,不但削弱了学生对于几何图形也就是物体形体的一般以及较深入的认识, 而且削弱了对学生的逻辑思维尤其是论证能力的训练, 其影响在有些大学新生中间还是较大的, 增加了学生学习高等数学课程的困难。像高等数学中经常出现的正定理和逆定理, 充分条件和必要条件等, 如果不在中学数学里, 尤其是几何课里像“等腰三角形的两底角必相等”、“两底角相等的三角形必等腰”等定理以及作图、轨迹方面得到例证，那么在学习高等数学中如极限概念时, 就会感到非常困难。这种偏向虽然为时不久而且已经纠正, 但还是值得记取的教训。
与此相类，算术中四则应用问题用代数来解一般要简单得多, 过去有些四则应用问题分析起来过于艰深, 甚至于有的是把代数解的过程隐藏起来而硬翻译成为人为的难题, 这当然很难说有什么好处。但是也不能够一概否认，在算术中解四则应用问题要进行一些分析, 这些分析往往也就是深入到问题的实质，数量适当而难易也适当的题目是可以训练学生在这个阶段的逻辑思维能力的。(在代数解法中出现有关这种分析的计算的过程，但是那里却不需要进行分析。) 过分强调与过分低估, 都不正确。有些几何问题, 用解析几何的方法去解是可以按照一定的程序来做, 但部算较繁复, 而用综合的方法来做却较简单。当然也有相反情况，用综合的方法需要过分的技巧, 而用解析几何的方法却只要谨慎地做代数计算就能做出来。总之, 要对不同课程及有关的训练, 在不同学习阶段中所起的作用, 给与恰当的估计, 要有发展阶段和不断发展的观点。
要训练学生熟练的基本运算能力和正确的基本论证能力, 自然要做足够数目的基本计算题和证明题。相当于“画蛋”一类的基本题要有, 在低年级还要更多一些。有些中学数学中如一元二次方程的求根公式与三角方面的一些基本公式, 就要要求学生像掌握“九九乘法表”一样, 熟练到刚睡醒来也不至于说不地来的地步。但是也要在做某些题前对于某些概念有初步的了解, 并且通过做题对于这些概念有进一步的了解, 形成概念了解与计算熟练互相推进的情况。例如, 像对数和反三角函数等内容, 不要只能够形式地进行大量复杂的计算, 而对于它们的基本含义手不清楚。中学生进到大学后, 对于先复习讲授的内容, 然后再动手做题或上习题课, 最初往往很不习惯, 因为在中学里不是那样做的, 而是照着例题做习题的。
为了使得学生在熟练掌握基本计算、证明的基础上，能够开动脑筋或者灵活运用，尤其在高中后期, 不应该所有的题目都是模仿性的, 套公式的, 或“照猫画虎”的（即把问题分成类型, 每个类型问题都有成法来解), 还要有意识地培养“熟能生巧”，要有一些哪怕是很少量的以至于个别的灵活些的, 综合些的, 难一些的题目，不只用到公式，也用到些概念, 不只用到当堂讲的, 也用到些前面讲的, 不只用到几何讲的, 也用到点代数或者三角讲的, 这样启发学生的钻研。如果布置到全班学生有困难, 也可作为一些学习优良而有余力的学生课外数学小组活动的内容。
数学中当然也有一些需要背诵记住的定义、数据、公式、定理。像小孩子学习乘法都要极纯熟地背诵“九九乘法表”，并且在不断地使用中间记得更加牢固。像“先乘除, 后加减”(我觉得比说几级运算好), 本来是一种约定, 接受它, 记住它，并大量地用它。在这些情况甚至不妨利用口诀。不过一般来讲应该比较少地通过“死记硬背”，而应该更多地通过“初慬”、“初记”、“初用”逐渐提高到“懂透”、“记牢”、“善用”的地步。举些浅显的例子: 在小学六年级学习分数, 教给学生“用一个分数去除另一个数等于用它的倒数去乘那另一个数”, 一般不加什么解释就让学生记住这一个事, 但若加些形像性的解释, 相信学生会记得更牢固些。又譬如说，“三角形三内角之和等于二直角”这一个定理的印在脑中，并在用时涌到心头，与“通过它的一个顶点画一条直线平行于对边”的证明总是“联翩”在一起的。一元二次方程的求根公式与配方解法也是一样。当然这里的意思不是说, 要把牵涉到高等数学的一些道理都讲给中学学生, 任某种意义下的所谓“反刍”的内容还是有的, 但是切不可把数学教成为定义、数据、公式和定理等的背诵!
最后, 提高数学数学质量的关键, 还在于在党和行政的领导下数学教师的工作热情和较高的业务水本。教高中数学的教师应该学习过一些近代的高等数学, 尤其是解析几何、高等代数和微积分等基础课程, 这样才能有更宽的眼界、更高的观点和更好的训练, 这也才能知道哪一些内容和哪一些训练对于高等学校来说要为基本和更为重要。对于一些已在教学工作实践中间取得一些教学经验而业务水平有待提高的教师, 应进一步地采取有效措施, 尽可能在进修的时间上予以保证。当然, 中小学数学教学法的研究也应该注意。在这方面有经验的老教师可以起很好的作用。由于现代数学本身的蓬勃发展, 尤其电子计算机发明后科学技术对于现代数学提出来的日益增多和提高的要求, 很多国家, 包括社会主义国家以及资本主义国家，都对中学数学数学习容以及训练进行研究或已采取一些变动。我国当前应该修订和稳定中学的教学计划、数学课的科目与时数、教学大纲、教材、基本习题要求，切实按照这些规定的内容和要求, 扎扎实实地进行基本知识的教学和基本技能的训练, 使学生牢固、准确、熟练地掌握所学的知识和所受的训练; 同时也应该组织力量, 注意总结自己的经验, 学习外国的有益经验, 进行深入细致的具体研究, 并慎重地做些较小规模但较长时期的试验, 逐步推广成功的经验。在数学教学这方面进行改革是要很惨重的, 因为优点是否得到巩固以及缺点是否会发展, 这些后效或者后果, 不像生产物品那样, 可能短时期内确定不了。在特别强的领导、教师和学生情况之下所取得的经验对于一般情况有指导意义，但是却不可不问条件来生搬硬套。不过这并不是说较长时期内也不要进行任何变动, 因为数学本身和社会主义建设对于数学的要求, 都是不断发展的, 只是需要慎重从事罢了! 在党的正确领导下, 通过教师们的努力, 我国中小学数学的数学质量定将不断地得到提高。
1963.2.18
