请想象这样一位数学家，她手持标配的无比锋利的小刀和一个完美的球。她疯狂地切割这个球，并将其分成无数个小块，分别装进无限多个盒子里。然后她将这些小块重新组合成五个精确的部分，轻轻移动和旋转这些部分。不可思议的，她将它们重新组合成两个完全相同、完美无缺的球。这就是数学中的巴拿赫塔斯基悖论。
这里的悖论并不在于逻辑或证明，因为它们和球一样完美无缺，而是在数学与我们对现实世界的体验之间的紧张关系中。正是在这种紧张关系中，存在着一些关于数学的美丽和基本的真理。我们稍后会回到这个话题。
但首先，我们需要审视每个数学系统的基础。公理每个数学系统都是通过使用逻辑得出新结论来构建和发展的。但逻辑不能凭空应用，我们必须从一些基本陈述开始，这些陈述称为公理。我们声明它们为真，并从那里进行推理。通常这些公理符合我们对世界运作方式的直觉。例如加0对一个数没有影响，就是一个公理。
如果数学的目标是建造一座房子，那么公理就是其基础，是首先铺设的东西，支持着其他所有内容。有趣的是，通过铺设稍微不同的基础，你可以得到一个截然不同，但同样合理的结构。例如，当欧几里德为几何学奠定基础时，他的一个公理暗示，给定一条直线和直线外的一点，只有一条平行线通过该点。
但后来的一些数学家想看看几何学在没有这个公理的情况下是否仍然可行，结果产生了球面几何和双曲几何。他们各自有效，逻辑上可靠，并在不同的背景下有用。
现代数学中，常见的一个公理是选择公理，它通常在需要从集合中选择元素的证明中出现。我们可以粗略的简化为，从盒子里选弹珠。为了使我们的选择有效，他们需要一致。这意味着，如果我们走进一个盒子，选一颗弹珠，然后回到过去再次选择，我们会知道如何找到同一颗弹珠。
如果我们有有限个盒子，这很容易。即使有无限个盒子，如果每个盒子里的弹珠都可以轻易区分，这也很简单。问题在于，当有无限个盒子，且里面的弹珠无法区分时，我们就遇到了麻烦。但在这些情况下选择公理允许召唤一个神秘的全知选择者，他总是能选择相同的弹珠，而我们无需知道这些选择是如何做出的。
我们的疯狂数学家在根据巴纳赫和塔斯基的证明构建5个部分时会到达一个有无限多个盒子，装满了无法区分的部分的步骤，因此他需要选择公理来使构建成为可能。如果选择公理会导致如此违反直觉的结果，我们应该拒绝他吗？
今天的数学家们说不，因为他支撑了许多重要的数学结果，像测度论和泛函分析这样的领域，他们对于统计学和物理学至关重要，都是建立在选择公理之上的。虽然选择公理会导致一些不切实际的结果，但它也带来了非常实用的结果。
幸运的是就像欧几里得几何与双曲几何共存一样，带有选择公理的数学与不带选择公理的数学共存。对许多数学家来说问题不在于选择公理或任何特定公理是否正确，而在于它是否适用于你要做的事情。
巴纳赫塔斯基悖论的命运就在于这个选择，这是数学赋予我们的自由，它不仅是一种使用我们从日常经验中直觉的出的公理来模拟物理宇宙的方法，也是一种进入抽象数学宇宙探索永远无法体验的神秘几何和法则的方法。
如果我们遇到外星人，那些对我们来说荒谬且难以理解的公理可能对他们来说就是日常常识。为了调查这一点，我们可能会先递给他们一把无比锋利的小刀和一个完美的球，看看他们会怎么做。
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