初一下数学模拟卷共28题（初一下册数学期末模拟试卷及答案）

2022-2023学年八年级下学期数学

期末期末考试真题模拟卷

第Ⅰ卷

选择题（共10题，每小题3分，共30分）

1．（2023春•花山区校级期中）函数y的自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＞﹣1或x≠0 D．x≥﹣1且x≠0

【分析】直接利用二次根式和分式有意义的条件分析得出答案．

【解答】解：函数中，x的取值范围是：x 1≥0且x≠0，

解得：x≥﹣1且x≠0．

故选：D．

【点评】此题主要考查函数自变量的取值范围，正确把握定义是解题关键．

2．（2022秋•仪征市期末）下列各组数据，不能作为直角三角形三边长的是（　　）

A．1.5、2、2.5 B．6、8、10 C．5、6、7 D．、2、

【答案】C

【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．

【解答】解：A、1.52 22＝2.52，能构成直角三角形，故选项不符合题意；

B、62 82＝102，能构成直角三角形，故选项不符合题意；

C、52 62≠72，不能构成直角三角形，故选项符合题意；

D、（）2 22＝（）2，能构成直角三角形，故选项不符合题意．

故选：C．

【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据已知三角形ABC的三边满足a2 b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形解答．

3．如图，E是平行四边形ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（　　）

∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF

C．∠AEC＝∠CBD D．∠AEB＝∠BCD

【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故A正确；根据平行线的性质得到∠DEF＝∠CBF，根据全等三角形的性质得到EF＝BF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B正确；根据平行线的性质得到∠DEC ∠BCE＝∠EDB ∠DBC＝180°，推出∠BDE＝∠BCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故C正确．根据平行线的性质得到∠AEB＝∠CBF，求得∠CBF＝∠BCD，求得CF＝BF，同理，EF＝DF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故D错误．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，

∵∠ABD＝∠DCE，

∴∠DCE＝∠CDB，

∴BD∥CE，

∴BCED为平行四边形，故A正确；

∵DE∥BC，

∴∠DEF＝∠CBF，

在△DEF与△CBF中，

，

∴△DEF≌△CBF（AAS），

∴EF＝BF，

∵DF＝CF，

∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；

∵AE∥BC，

∴∠DEC ∠BCE＝∠EDB ∠DBC＝180°，

∵∠AEC＝∠CBD，

∴∠BDE＝∠BCE，

∴四边形BCED为平行四边形，故C正确，

∵AE∥BC，

∴∠AEB＝∠CBF，

∵∠AEB＝∠BCD，

∴∠CBF＝∠BCD，

∴CF＝BF，

同理，EF＝DF，

∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故D错误；

故选：D．

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．

4．（2023•雁塔区校级模拟）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝﹣kx 2k的图象所经过的象限是（　　）

A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四

【答案】C

【分析】根据正比例函数的性质可得出k＜0，再利用一次函数图象与系数的关系，即可得出结论．

【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，

∴k＜0，

∴﹣k＞0，

∴一次函数y＝﹣kx 2k的图象经过第一、三、四象限．

故选：C．

【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及正比例函数的性质，牢记“k＞0，b＜0⇔y＝kx b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．

5．（2022秋•驻马店期中）如图，点P（﹣2，3），以点O为圆心，以OP长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据勾股定理求出OP的长，由于OP＝OA，故得出OP的长，再根据点A在x轴的负半轴上即可得出结论．

【解答】解：∵点P坐标为（﹣2，3），

∴OP，

∵点A、P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，

∴OA＝OP，

∵点A在x轴的负半轴上，

∴点A的坐标为（，0），

故选：A．

【点评】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OP的长是解答此题的关键．

6．（2022秋•虹口区校级期中）已知a＜0，则二次根式化简后的结果为（　　）

A．a B．a C．﹣a D．﹣a

【分析】首先由ab＜0，﹣a2b≥0，即可判定a＞0，b＜0，然后利用二次根式的性质，即可将此二次根式化简．

【解答】解：∵a＜0，﹣a2b≥0，

∴a＜0，b≤0，

∴a．

故选：D．

【点评】此题考查了二次根式的化简．正确判定a与b的符号，根据二次根式的性质化简此题是关键．

7．（2023•渭城区模拟）在平面直角坐标系中，将一次函数y1＝3x m的图象向下平移4个单位长度后得到一个正比例函数的图象，若点A（﹣1，a）在一次函数y1＝3x m的图象上，则a的值为（　　）

A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．2

【答案】C

【分析】先根据平移原则得到m的值，再把点A（﹣1，a）代入y1＝3x m，则可求出a的值．

【解答】解：∵将一次函数y1＝3x m的图象向下平移4个单位长度后得到一个正比例函数的图象，

∴m﹣4＝0，

∴m＝4，

∴y1＝3x 4，

∵点A（﹣1，a）在一次函数y1＝3x m的图象上，

∴a＝3×（﹣1） 4＝1，

故选：C．

【点评】主要考查的是一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的在特征，根据平移的规律确定m的值解题的关键．

8．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC QD的最小值为（　　）

A．22 B．24 C．25 D．26

【答案】D

【分析】连接BP，则PC QD的最小值转化为PC PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝12，连接PE、CE，则PC QD＝PC PB＝PC PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．

【解答】解：如图，连接BP，

在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝10，

∵AP＝CQ，

∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，

∴DP＝QB，DP∥BQ，

∴四边形DPBQ是平行四边形，

∴PB∥DQ，PB＝DQ，

则PC QD＝PC PB，则PC QD的最小值转化为PC PB的最小值，

在BA的延长线上截取AE＝AB＝12，连接PE，

则BE＝2AB＝24，

∵PA⊥BE，

∴PA是BE的垂直平分线，

∴PB＝PE，

∴PC PB＝PC PE，

连接CE，则PC QD＝PC PB＝PC PE≥CE，

∴CE26，

∴PC PB的最小值为26，

即PC QD的最小值为26，

故选：D．

【点评】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC QD＝PC PB＝PC PE≥CE是解题的关键．

第Ⅱ卷

填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

9．（2023春•桥西区校级期中）已知M（﹣3，y1），N（2，y2）是直线y＝﹣3x 1上的两个点，则y1、y2的大小关系是．（用“＞”连接）

【答案】y1＞y2

【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据﹣3＜2即可得出结论．

【解答】解：∵直线y＝﹣3x 1，k＝﹣3＜0，

∴y随x的增大而减小，

又∵﹣3＜2，

∴y1＞y2．

故选：B．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的增减性，即正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．

10．（2022春•康县期末）若一个直角三角形的两边长为4和5，则第三边长为．

【答案】3或．

【分析】分5是直角边、5是斜边两种情况，再由勾股定理即可得出答案．

【解答】解：当5是直角边时，则第三边为：；

当5是斜边时，则第三边为：3，

综上所述，第三边的长为3或，

故答案为：3或．

【点评】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

11．某市号召居民节约用水，为了解居民用水情况，随机抽查了20户家庭某月的用水量，结果如下表：

户数	8	6	6
用水量（吨）	4	6	7

则这20户家庭的该月平均用水量为　　吨．

【分析】根据加权平均数的计算方法先求出所有数据的和，然后除以数据的总个数即可．

【解答】解：这20户家庭的该月平均用水量为5.5（吨），

故答案为：5.5．

【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是求出所有数的和．

12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则CE等于．

【答案】．

【分析】根据勾股定理求出BC＝4，根据线段垂直平分线性质求出AE＝BE，根据勾股定理求出CE即可．

【解答】解：连接AE，

在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC4，

从作法可知：DE是AB的垂直平分线，

根据性质得出AE＝BE，

在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC2 CE2＝AE2，

即32 CE2＝（4﹣CE）2，

解得：CE，

故答案为：．

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，能灵活运用勾股定理得出方程是解此题的关键．

13．（2022秋•武侯区校级期中）已知，则代数式x2﹣2x﹣6的值是．

【分析】求出x﹣1，再根据完全平方公式进行变形得出x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣7，再代入求出答案即可．

【解答】解：∵，

∴x﹣1，

∴x2﹣2x﹣6

＝（x﹣1）2﹣7

＝（）2﹣7

＝5﹣7

＝﹣2，

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能够整体代入是解此题的关键．

14．（2022秋•溧水区期末）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x 1和x轴上，则点B7的坐标是．

【答案】（127，64）

【分析】根据直线解析式先求出OA1＝1，得出B1 的纵坐标是1，再求出B2的纵坐标是2，B3的纵坐标是22，得出规律，即可得出结果．

【解答】解：如图，

∵直线y＝x 1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣1，

∴∠ODA1＝45°，即B1的纵坐标是1，B1的横坐标是1，

∴∠A2A1B1＝45°，

∴A2B1＝A1B1＝1，

∴A2C1＝2＝21，即B2的纵坐标是2，B2的横坐标是3，

同理得：A3C2＝4＝22，即B3 的纵坐标是22，B3的横坐标是23﹣1，……Bn的纵坐标是2n﹣1，Bn的横坐标是2n﹣1，

∴点B7的坐标是（27﹣1，26），即（127，64），

故答案为：（127，64）．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出B1、B2、B3 的纵坐标得出规律是解决问题的关键．

15．（2022春•招远市期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝2，∠COB＝60°，BF⊥AC，交AC于点M，交CD于点F，延长FO交AB于点E，连接DE．则下列结论：①OE＝FC；②四边形EBFD是菱形；③△DOF≌△CBF；④MB＝3．其中结论正确的序号是．

【答案】①②③④

【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定得出△OBC是等边三角形，进而判断①正确；根据ASA证明△AOE与△COF全等，进而判断②正确；根据全等三角形的性质判断③④正确即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，

∴OA＝OC＝OD＝OB，

∵∠COB＝60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，

∵BF⊥AC，

∴OM＝MC，

∴FM是OC的垂直平分线，

∴FO＝FC，

∵OB＝CB，FO＝FC，FB＝FB，

∴△OBF≌△CBF（SSS），

∴∠FOB＝∠FCB＝90°，

∵∠OBC＝60°，

∴∠ABO＝30°，

∴∠OBM＝∠CBM＝30°，

∴∠ABO＝∠OBF，

∵AB∥CD，

∴∠OCF＝∠OAE，

∵OA＝OC，∠AOE＝∠FOC，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE＝OF，

∴OE＝FC，故①正确；

∵OB⊥EF，

∴四边形EBFD是菱形，故②正确；

∵△DOF≌△OBE≌△OBF≌△CBF，

∴③正确；

∵BC＝AD＝2，FM⊥OC，∠CBM＝30°，

∴BM＝3，故④正确；

∴正确的序号是：①②③④．

故答案为：①②③④．

【点评】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答．

16．（2023•苏州模拟）如图1，点E为矩形ABCD中AD边的中点，点P从点A出发，沿A→E→B以2cm/s的速度运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm）2随时间t（s）变化的函数图象，则a的值为．

【答案】4

【分析】根据图象的三角形的面积可得AE长为2a，再利用矩形的性质和勾股定理列方程可求a．

【解答】解：∵矩形ABCD中，AD∥BC，

∴当点P在边AE上运动时，y的值不变，

∴AE＝2a，

∵点E为矩形ABCD中AD边的中点，

∴BC＝AD＝2AE＝4a，

4a•AB＝12a，

即AB＝6．

当点P在EB上运动时，y逐渐减小，

∴EB＝5×2＝10，

在Rt△ABE中，

AE2 AB2＝BE2，

∴（2a）2 62＝102，

解得a＝4．

故答案为：4．

【点评】本题考查动点问题函数图象，根据图象分析得出a的值是解题关键．

解答题（本大题共9小题，满分共72分）

17．（每小题4分，共8分）计算：

（1）；（2）（π﹣2023）0 |1|（）﹣2．

【答案】（1）5；（2）9﹣2．

【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则和平方差公式运算，然后化简二次根式后合并即可；

（2）先根据零指数幂、绝对值的意义和负整数指数幂的意义计算，然后把化简后合并即可．

【解答】解：（1）原式5﹣3

＝3 2

＝5；

（2）原式＝11﹣39

＝9﹣2．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和零指数幂、负整数指数幂的意义是解决问题的关键．

18．（8分）如图，在▱ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G．

（1）求证：BE＝DG；

（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若▱ABCD的周长为28，EF＝3，求△ABC的面积．

【答案】（1）证明见解析；

（2）21．

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，由角平分线的定义可得∠ADG＝∠CBE，利用ASA证明△ADG≌△CBE可得BE＝DG；

（2）过E点作EH⊥BC于H，由角平分线的性质可求解EH＝EF＝3，根据平行四边形的性质可求解AB BC＝14，再利用三角形的面积公式计算可求解．

【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，

∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，

∵BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，

∴∠ADG＝∠CBE，

在△ADG和△CBE中，

，

∴△ADG≌△CBE（ASA），

∴BE＝DG；

（2）解：过E点作EH⊥BC于H，

∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，

∴EH＝EF＝3，

∵▱ABCD的周长为28，

∴AB BC＝14，

∴S△ABC

＝21．

【点评】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义与性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．

19．（8分）已知：x1，y1，求下列各式的值：

（1）（x 2）（y﹣2）；（2）x2 y2 xy﹣2x﹣2y．

【答案】（1）1；

（2）7﹣4．

【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、乘法法则分别求出x y、x﹣y、xy，利用多项式乘多项式的运算法则把原式变形，代入计算即可；

（2）利用完全平方公式、提公因式法把原式变形，代入计算即可．

【解答】解：∵x1，y1，

∴x y＝（1）（1）＝2，x﹣y＝（1）﹣（1）＝﹣2，xy＝（1）（1）＝1，

（1）（x 2）（y﹣2）

＝xy﹣2x 2y﹣4

＝xy﹣2（x﹣y）﹣4

＝1﹣2×（﹣2）﹣4

＝1；

（2）x2 y2 xy﹣2x﹣2y

＝x2 y2 2xy﹣2x﹣2y﹣xy

＝（x y）2﹣2（x y）﹣xy

＝（x y）（x y﹣2）﹣xy

＝2（22）﹣1

＝8﹣41

＝7﹣4．

【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．

20．（8分）（2023•白云区二模）电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全，为提高大家的防范意识，某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识测试．七、八年级各有600名学生，现从这两个年级各随机抽取50名学生参加测试，为了解本次测试成绩的分布情况，将两个年级的测试成绩x按A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70四个评价等级进行整理，得到了不完整的统计图表．七年级成绩统计表：

评价等级	成绩x/分	频数	频率
A	90≤x≤100	20	0.4
B	80≤x＜90	b	0.22
C	70≤x＜80	15	0.3
D	60≤x＜70	4	0.08

八年级测试成绩评价等级为B的全部分数（单位分）如下：80，81，82，82，84，86，86，87，88，88，89，89，89．

（1）表格中，b＝　　；

（2）八年级测试成绩的中位数是　　；

（3）若测试成绩不低于80分，则认为该学生对防电信诈骗意识较强，请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？

【分析】（1）用总数乘B等级的频率可得b的值；

（2）根据中位数的定义解答即可；

（3）用样本估计总体即可．

【解答】解：（1）b＝50×0.22＝11，

故答案为：11；

（2）把八年级50名学生的测试成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是88，87，故中位数为87.5，

故答案为：87.5；

（3）600×（0.4 0.22） 600×（44% 26%）＝372 420＝792（人），

答：估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共约有792人．

【点评】本题考查了频数分布分布表、扇形统计图、用样本估计总体等知识，掌握数形结合的思想解答是关键．

21．（8分）（2022秋•内江期末）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．

（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？

（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？

【答案】（1）着火点C受洒水影响．理由见解析；

（2）着火点C能被扑灭．

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；

（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出飞机影响C持续的时间，即可做出判断．

【解答】解：（1）着火点C受洒水影响．

理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，

由题意知AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，

∵AC2 BC2＝6002 8002＝10002，AB2＝10002，

∴AC2 BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴S△ABCAC•BCCD•AB，

∴600×800＝1000CD，

∴CD＝480，

∵飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，

∴着火点C受洒水影响；

（2）当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C，

在Rt△CDE中，ED140（m），

∴EF＝280m，

∵飞机的速度为10m/s，

∴280÷10＝28（秒），

∵28秒＞13秒，

∴着火点C能被扑灭，

答：着火点C能被扑灭．

【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．

22．（10分）（2023春•天宁区校级期中）在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE．

（1）如图1，当点P在线段BD上时，连接CE，BP与CE的数量关系是　；CE与AD的位置关系是　　；

（2）当点P在线段BD的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明，若不成立，请说明理由；（请结合图2的情况予以证明或说理）

（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，若AB＝2，，请直接写出AP的长．

【答案】（1）BP＝CE，CE⊥AD；

（2）成立，理由见解答过程；

（3）．

【分析】（1）连接AC，延长CE交AD于H，证明△BAP≌△CAE，可得BP＝CE，再根据∠CAH ∠ACH＝90°，即可得出CE⊥AD；

（2）连接AC交BD于O，设CE交AD于H，证明△BAP≌△CAE，可得BP＝CE，再根据∠CAH ∠ACH＝90°，即可得出CE⊥AD；

（3）连接AC交BD于O，连接CE，利用菱形的性质求得AO＝1，，，利用勾股定理求得，从而求出，再利用勾股定理即可求解．

【解答】解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于H，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，

∴AB＝BC＝CD＝AD，，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AB＝AC，

∴∠ABD＝∠CBD＝30°，

∵△APE是等边三角形，

∴AP＝AE，∠PAE＝60°，

∵∠BAC＝∠PAE，

∴∠BAP＝∠CAE，

在△BAP和△CAE中，

，

∴△BAP≌△CAE（SAS），

∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，

∵∠CAH＝60°，

∴∠CAH ∠ACH＝90°，

∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD，

故答案为：BP＝CE，CE⊥AD；

（2）当点P在线段BD延长线上时，（1）中的结论还成立，理由如下：

如图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，

∴AB＝BC＝CD＝AD，，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，AB＝AC，

∴∠ABD＝∠CBD＝30°，

∵△APE是等边三角形，

∴AP＝AE，∠PAE＝60°，

∵∠BAP＝∠CAE，

在△BAP和△CAE中，

∴△BAP≌△CAE（SAS），

∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，

∵∠CAH＝60°，

∴∠CAH ∠ACH＝90°，

∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD；

（3）如图3，连接AC交BD于O，连接CE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BD平分∠ABC，

∴∠ABO＝30°，

∴AO＝1，，

∴，

由（2）知CE⊥AD，

∵AD∥BC，

∴CE⊥BC，

∵，BC＝AB＝2，

∴，

由（2）知，

∴，

∴．

【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定证明三角形全等是解题的关键．

23．（10分）（2023•兴化市一模）为落实“精准扶贫”，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜，若种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入36万元；若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜，共需投入34万元．

（1）种植A，B两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？

（2）经测算，种植A种蔬菜每亩可获利0.8万元，种植B种蔬菜每亩可获利1.2万元，村里把100万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜，总获利w万元，设种植A种蔬菜m亩．

①求w关于m的函数关系式；

②若A种蔬菜的种植面积是B种蔬菜种植面积的2倍，请你求出总获利．

【答案】（1）种植A，B两种蔬菜，每亩各需分别投入0.6，0.8万元；

（2）①w＝﹣0.1m 150（0≤m），

②当种A蔬菜100亩，B种蔬菜50亩时，获得最大利润为140万元．

【分析】（1）根据题意列二元一次方程组问题可解；

（2）①用m表示种植两种蔬菜的利润即可得到w与m之间函数关系式；

②根据A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍得到m的取值范围，讨论w最大值．

【解答】解：（1）设种植A，B两种蔬菜，每亩各需分别投入x，y万元

根据题意得，

解得，

答：种植A，B两种蔬菜，每亩各需分别投入0.6，0.8万元，

（2）①由题意得w＝0.8m 1.20.1m 150（0≤m），

②由（2）m≥2，

解得m≥100，

∵w＝﹣0.1m 150，

k＝﹣0.1＜0，

∴w随m的增大而减小，

∴当m＝100时，w最大＝140，

50，

∴当种A蔬菜100亩，B种蔬菜50亩时，获得最大利润为140万元．

【点评】本题为一次函数实际应用问题，考查了二元二次方程组、不等式组、列一次函数关系式和根据自变量取值范围讨论函数最值．

24.（12分）如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．

（1）请直接写出点C的坐标；

（2）如图2，AF平分∠BAC交BC于点F，求△ACF的面积；

（3）如图3，动点P（x，y）在第一象限，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出直线PD的解析式；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）C（8，6）；
（2）9；
（3）存在，y=﹣3x 26．

【分析】（1）由四边形OACB是矩形，OA＝8，OB＝6，得C（8，6）；

（2）过F点作FE⊥AB交AB于E，由BC＝8，AC＝6，得AB＝10，根据AF平分∠BAC，可证△ACF≌△AEF（AAS），即得AC＝AE＝6，CF＝EF，∠C＝∠AEF＝90°，由BF2＝EF2 EB2，得（8﹣CF）2＝CF2 16，解得CF＝3，故S△ACFAC•CF6×3＝9；

（3）设点P（a，2a﹣4）．①当点P在BC下方时，过点P作EF∥BC，交y轴于点E，交AC于点F，根据△BPD是等腰直角三角形，可得△BPE≌△PDF（AAS），即得PF＝BE＝10﹣2a，EP＝DF，由EF＝EP PE＝a （10﹣2a）＝8，解得a＝2，此时点P（2，0）不合题意舍去；