初二数学经典题型
1．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．
证明如下。
首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。
在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ， 连接PQ， 则
∠PDQ=60° 15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA中，
∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=AB，
显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°，
PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC是正三角形。
2.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．
证明:连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.
又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM=∠DEM;(1)
同理:GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN=∠CFN;(2)
又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN.
3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．
证明：分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N，
在梯形MEFN中，WE平行NF
因为P为EF中点，PQ平行于两底
所以PQ为梯形MEFN中位线，
所以PQ＝（ME＋NF）/2
又因为，角0CB＋角OBC＝90°＝角NBF＋角CBO
所以角OCB=角NBF
而角C0B＝角Rt＝角BNF
CB=BF
所以△OCB全等于△NBF
△MEA全等于△OAC（同理）
所以EM＝AO，0B＝NF
所以PQ=AB/2.
4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．
过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E；连接BE
因为DP//AE，AD//PE
所以，四边形AEPD为平行四边形
所以，∠PDA=∠AEP
已知，∠PDA=∠PBA
所以，∠PBA=∠AEP
所以，A、E、B、P四点共圆
所以，∠PAB=∠PEB
因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE//AD，且PE=AD
而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC
所以，PE//BC，且PE=BC
即，四边形EBCP也是平行四边形
所以，∠PEB=∠PCB
所以，∠PAB=∠PCB
5.P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长．
解：将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ
因为△BAP≌△BCQ
所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC
因为四边形DCBA是正方形
所以∠CBA＝90°，所以∠ABP＋∠CBP＝90°，所以∠CBQ＋∠CBP＝90°
即∠PBQ＝90°，所以△BPQ是等腰直角三角形
所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45
因为PA=a，PB=2a，PC=3a
所以PQ＝2√2a，CQ＝a，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2
所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°
所以∠BQC＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA＝∠BQC＝135°
作BM⊥PQ
则△BPM是等腰直角三角形
所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a
所以根据勾股定理得：
AB^2＝AM^2＋BM^2
＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2
＝[5＋2√2]a^2
所以AB＝[√(5＋2√2)]a
6.一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。
解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。
由题意得：
解之得：
经检验得：是原方程解。
∴小口径水管速度为，大口径水管速度为。
7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，），且P（，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
解：（1）设正比例函数解析式为，将点M（，）坐标代入得，所以正比例函数解析式为
同样可得，反比例函数解析式为
（2）当点Q在直线DO上运动时，
设点Q的坐标为，
于是，
而，
所以有，，解得
所以点Q的坐标为和
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，
而点P（，）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为，
由勾股定理可得，
所以当即时，有最小值4，
又因为OQ为正值，所以OQ与同时取得最小值，
所以OQ有最小值2．
由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是
8.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
解：（1）证法一：
① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.
∵ PC=PC，
∴ △PBC≌△PDC （SAS）.
∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC.
又∵ PB= PE ，
∴ PE=PD.
② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，
∵ PB=PE，
∴ ∠PBE=∠PEB，
∴ ∠PEB=∠PDC，
∴ ∠PEB ∠PEC=∠PDC ∠PEC=180°，
∴ ∠DPE=360°-(∠BCD ∠PDC ∠PEC)=90°，
∴ PE⊥PD. ）
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.
（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.
∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴ ∠DPE=∠DCE=90°，
∴ PE⊥PD.
综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD.
（2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.
∵ AP=x，AC=，
∴ PC=- x，PF=FC=.
BF=FE=1-FC=1-()=.
∴ S△PBE=BF·PF=().
即 (0＜x＜).
② .
∵ ＜0，
∴ 当时，y最大值.
（1）证法二：① 过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.
又∵ PB=PE，
∴ BF=FE，
∴ GP=FE，
∴ △EFP≌△PGD （SAS）.
∴ PE=PD.
② ∴ ∠1=∠2.
∴ ∠1 ∠3=∠2 ∠3=90°.
∴ ∠DPE=90°.
∴ PE⊥PD.
（2）①∵ AP=x，
∴ BF=PG=，PF=1-.
∴ S△PBE=BF·PF=().
即 (0＜x＜).
② .
∵ ＜0，
∴ 当时，y最大值.
9、如图，直线y=k1x b与反比例函数 y=k2x的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．
（1）求k1、k2的值．
（2）直接写出 k1x b-k2x＞0时x的取值范围；
（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．
10、如图12，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．
（1）求的值；
（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；
（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．
,
