试卷数学分析的措施与建议学生（试卷数学分析存在问题及改进措施）

如何教好, 又如何让学生学好数学分析呢？

“数学分析”是数学及其相关专业的一门非常重要的主干基础课程, 近260 个总学时, 延续3 个学期(课堂教学时长和跨度是所有课程中最多、最长的, 没有之一), 这足以说明该课程的重要性.

通过该课程的学习, 学生不仅掌握后续专业课程所需要的理论基础知识、解决专业问题的理论工具, 更重要的是掌握解决问题的数学思想和方法, 培养学生的数学素养.

但是, 学习这门课程又是很难的, 一方面, 整个课程内容丰富, 理论体系庞大, 延续时间长, 内容之间的联系非常密切, 章节模块之间关联度非常高, 累积效应非常强, 这些都给课程的学习带来很大的困难; 另一方面, 数学课程自身的特点, 如理论性强、内容枯燥、高度的抽象性、应用的广泛性等, 更加使得学生在学习过程中感到困难.

但是, 这门课程的学习又是十分重要和必要的, 因此, 如何教好, 又如何让学生学好这门课, 是长期从事该课程教学的教师们面临的亟待解决的重大问题.

乘大学教育转型和教学改革的东风, 我们利用大学和理学院对基础教学的极度重视和大力支持, 在教学改革项目的资助下, 我们对该课程的教与学的过程进行了研究, 从教学内容、教学方法和手段、课堂的教学组织与实施、辅助教学过程到考核评价方式、考试形式与内容等进行了广泛的探索与实践, 这次出版的教材正是我们研究成果的集中体现.

总的说来, 本教材有如下特点：

(1) 本教材整体体现了基于本原性问题驱动的课程设计的教学理念.

本原性问题驱动理论就是基于HPM 的数学教育思想, 抽象形成的数学教育理论, 指在数学教育中, 还原历史发展的环境, 阐述当时历史视角下人类认知发展规律、理论形成、发展的过程, 重点解决数学理论为何产生, 如何产生, 如何构建, 如何进一步应用形成的理论解决实际问题, 如何在整个理论的教育和学习过程中实现数学能力的培养？

其关注的核心内容是：在数学教育中, 如何从数学理论、理论产生的历史背景问题、学生的认知规律的三个维度出发, 进行高质量的数学教育.

我们知道, 数学理论本身的产生与发展就是源于人类在认识自然和改造自然的过程中, 对所遇到的实际问题进行的探索与求解以及由此对所形成的解决问题的思想、方法的高度抽象和高度的完善而形成的完美严谨的理论体系.

数学分析的核心内容——微积分理论, 正是为解决当时历史发展进程中亟待解决的工程技术和应用领域(物理、天文、航海等) 中大量的实际问题而形成的, 可以说, 课程教学内容的本身就体现了问题驱动的特性. 而这一特性紧紧与教学改革的能力培养的时代要求相吻合.

我们培养的学生, 将来走上工作岗位后要面对的还是一个个技术问题或实际问题的解决, 虽然这些问题与数学问题的形式不一样, 但是, 整个问题的求解过程, 从思路分析、方法的形成, 到技术路线的确立等环节中所隐藏的思想方法是一样的, 这些解决问题的思想方法正是能力的具体体现, 因此, 在传授知识的同时, 还原该理论的本原性问题的产生环境, 按当时的认知规律模拟问题解决的思想形成过程, 通过关注过程, 关注如何从现实问题实现当时条件下的问题求解, 让学生感受过程, 感受思想, 感受能力而不仅仅是理论本身, 达到能力培养的目标.

基于本原性问题驱动的课程设计贯穿于整个教材的始终, 从课程的绪论——正是以微积分的本原性问题解决为线索, 开始介绍微积分理论的主要内容、解决问题的思想方法, 以及贯穿于课程始终的数学思想, 后续每章内容的引入, 都是以历史发展过程中的本原性问题为出发点, 通过还原理论产生的背景, 解决的过程,揭示数学理论中所隐藏的解决实际问题的数学思想和方法.

(2) 结构分析法和形式统一法的解决问题的数学思想贯穿于整个教材.

结构分析法和形式统一法是我们在教学过程中总结提炼出来的解决实际问题的一般性研究方法, 是科学研究理论在教学中的具体应用.

任何问题的解决都要经历两个阶段：解题思想的形成阶段与具体方法和路线的设计阶段. 第一个阶段确立问题解决的方向, 解决“用什么”的问题, 即利用哪个已知的理论解决问题,由此确立解决问题的思路; 第二个阶段确立具体的方法, 解决“怎么用”的问题,即设计具体的技术路线, 如何利用已知理论解决问题, 确立解决问题的具体方法.数学理论的结论(定理) 很多, 学生记住这些结论并不难, 难在如何用这些定理结论解决一个个具体的问题, 这是教学过程中的突出问题和难题, 针对于此, 我们经过深入的研究与实践, 提炼出了行之有效的结构分析法和形式统一法.

数学定理很多, 但是, 每个定理都有自己的结构特征, 有自己的作用对象, 要想掌握定理的使用, 必须掌握定理的结构特点, 即定理处理的题型结构是什么, 只有如此, 当我们面对解决的问题时, 先对问题的结构作分析, 找到结构特点, 与已知的定理的处理对象的结构特点作类比, 由此确定使用什么定理和结论. 而在具体的求解过程中, 求解的核心思想是建立已知和未知的联系, 我们类比在思路确立中确定的已知定理, 分析应用过程中要解决的重点和难点, 先从形式上入手, 将待求解的问题从形式上转化为已经确立使用的已知定理或结论的形式, 或建立已知和未知的联系, 使待求解的未知和要使用解决问题的已知在形式上进行统一, 进一步形成解决问题的具体方法.

这就是结构分析法和形式统一法的核心内容. 可以将这种方法总结为24 字方针：分析结构, 挖掘特点, 类比已知, 确立思路, 形式统一, 设计方法.

在教材中, 对大部分题目都给出了分析过程, 在分析过程中, 利用结构分析法和形式统一法给出解题的思路和具体的方法设计. 我们不厌其烦地从始至终使用这种方式, 不怕重复, 目的就是对学生进行数学思维训练的一遍遍的冲击, 养成良好的数学解决问题的方式和习惯, 培养坚实的数学素养.

(3) 在内容体系上有所变化.

在引入实数系基本定理时, 大多教材都是以确界存在定理为公理, 建立实数系的其他基本定理. 确界存在定理较抽象, 此结论的成立并不明显, 以此为公理有些突兀. 我们采Dedekind 分割定理为公理, 建立实数系基本定理. Dedekind 分割定理就是对实数轴的一个具体的分割, 形式简单直观, 很容易理解.为了分散极限定义的难度, 我们在介绍集合的有界性时, 就引入确界的定义,从而, 可以使学生更早接触极限定义中非常重要又非常难以理解和掌握的量——“ε”, 这是极限定义的灵魂, 这样, 学生对这个量的认识过程相对较长, 把极限的难度进行了分解, 也使学生对极限内涵的理解更加深刻.

在教学内容的其他部分上也进行了内容丰富, 其中, 个别地方还加入了笔者自己的研究心得和体会, 如在介绍一致连续时, 增加了对一致连续函数特征的更深入的刻画; 在级数理论中, 给出了一个新的结果, 使得对复杂结构的级数的敛散性的判断进行简单化; 对贯穿教材始终的Cauchy 收敛准则进行的强化和深入的训练, 这是体现极限思想的重要成果之一, 学生必须掌握; 这样的变化在教材中还有很多.

(4) 在教材的编排形式上有所变化, 将数学思维和数学素养的培养、解决问题的实际能力的培养融入教材, 体现学案式的教材设计理念.

现有的通用教材强调理论体系的较多, 以教为主的多, 以理论知识的传授为主的多, 我们一直想变一变, 转变理念, 将理论知识的传授与能力的培养、数学思维和素养的熏陶相结合, 突出以学为主, 为学生提供一套“学案”, 而不仅仅是教师所用的教材或教案, 我们希望这套教材也可以称之为这样的学案. 这样的设计思想和理念体现在我们对教学内容的编排设计和对整个教材的设计上.

在内容的编排上, 我们突出了分析和总结过程, 体现对能力培养的设计思想;这样的编排是希望学生从模仿开始, 直到可以独立地进行对教学内容的分析和总结, 对数学思想的归纳和提炼, 对解题方法的分析和理解, 从理解给出的问题开始,到独立地去发现问题、分析问题和解决问题, 这是一个循序渐进的过程, 我们的教材设计体现这个过程.

(5) 教材中还引入了一些新词汇.

这些词汇有些源于现代分析学, 如挖洞法、扰动法、降维法等, 有些是借用,如坏点、聚点、可控性、定性分析、定量分析等; 也引入了一些新的表示方法, 如表示双侧曲面侧的有侧(向) 曲面、有侧投影, 表示双侧曲面的表示方法，第二类曲面积分的表示方法如区分平面区域上的二重积分等.

教材还有其他的一些特点, 如在课后习题的设计上增加了难度, 引入了一些考研题目, 作者在教学过程中自己设计了一些题目, 增加了结构分析的题型, 学生可以通过学习逐渐去领会.

这套教材是我们辛苦工作的成果, 虽然几年前就已经成型, 一遍遍地试用, 总想让它十分完美, 当然, 这是不可能的, 因为每次使用后总感觉还有新的感悟, 需要增加新的东西, 需要在表达的准确性、逻辑性上做进一步的精雕细琢, 这就是所谓的精益求精吧; 这个过程是无止境的, 任何事物总是在发展, 在前进, 没有终结篇, 我们只能给出阶段性的成果; 我们也希望通过阶段性成果的公开出版, 接受同行、学生的检验和批判, 以改进我们的工作. 因此, 不当之处敬请批评指正, 不胜感激.

本文节选自《数学分析（一二三）（第二版）》（科学出版社，2024）前言.

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