一、选择题（每题 4 分，共 24 分）
已知二次函数y = ax^{2} bx c（a\neq0）的图象如图所示，对称轴为直线x = 1，则下列结论中正确的是（ ）
A. ac\gt0
B. b^{2}-4ac\lt0
C. 2a b = 0
D. a - b c\gt0
如图，在Rt\triangle ABC中，\angle C = 90^{\circ}，AC = 6，BC = 8，点F在边AC上，并且CF = 2，点E为边BC上的动点，将\triangle CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（ ）
A. 1.5
B. 1.2
C. 2
D. 2.4
已知关于x的方程\frac{2x m}{x - 2}=3的解是正数，则m的取值范围为（ ）
A. m\gt - 6且m\neq - 2
B. m\lt6
C. m\gt - 6且m\neq - 4
D. m\lt6且m\neq - 2
如图，在平面直角坐标系中，\odot P的圆心坐标是(3,a)（a\gt3），半径为3，函数y = x的图象被\odot P截得的弦AB的长为4\sqrt{2}，则a的值是（ ）
A. 4
B. 3 \sqrt{2}
C. 3\sqrt{2}
D. 3 \sqrt{3}
已知x_1，x_2是一元二次方程x^{2}-2x - 1 = 0的两实数根，则\frac{1}{2x_1 1} \frac{1}{2x_2 1}的值是（ ）
A. -1
B. 1
C. -\frac{1}{6}
D. \frac{1}{6}
如图，在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 6，点E为BC的中点，将\triangle ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A. \frac{9}{5}
B. \frac{12}{5}
C. \frac{16}{5}
D. \frac{18}{5}
二、填空题（每题 4 分，共 24 分）
已知a，b是方程x^{2} 3x - 5 = 0的两个实数根，则a^{2}-3b 2020的值是______。
如图，在\triangle ABC中，\angle BAC = 30^{\circ}，AB = AC = 6，M为BC边上一动点（不与B，C重合），将\triangle ABM沿直线AM翻折得到\triangle ADM，连接CD，则\triangle ACD面积的最大值为______。
已知二次函数y = x^{2} bx c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x_1，x_2，一元二次方程x^{2} b^{2}x 20 = 0的两实根为x_3，x_4，且x_2 - x_3 = x_1 - x_4 = 3，则二次函数的顶点坐标为______。
如图，在\triangle ABC中，\angle C = 90^{\circ}，AC = BC = 4，D是AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动（点E不与点A，C重合），且保持AE = CF，连接DE，DF，EF。在此运动变化的过程中，有下列结论：
①\triangle DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为\sqrt{2}。
其中正确结论的序号是______。
若关于x的不等式组\begin{cases}x - m\lt0\\7 - 2x\leqslant1\end{cases}的整数解共有4个，则m的取值范围是______。
如图，在平面直角坐标系中，A，B两点分别在x轴和y轴上，OA = 1，OB=\sqrt{3}，连接AB，过AB中点C分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别是点A_1，B_1，连接A_1B_1，再过A_1B_1中点C_1作x轴和y轴的垂线，照此规律依次作下去，则点C_{2023}的坐标为______。
三、解答题（共 52 分）
（10 分）先化简，再求值：(\frac{x 2}{x^{2}-2x}-\frac{x - 1}{x^{2}-4x 4})\div\frac{x - 4}{x}，其中x是不等式组\begin{cases}2x - 1\geqslant3\\2x 9\gt3x\end{cases}的整数解。
（10 分）如图，在\triangle ABC中，\angle C = 90^{\circ}，AD平分\angle BAC交BC于点D，过点D作DE\parallel AC交AB于点E，以AE为直径作\odot O。
（1）求证：BC是\odot O的切线；
（2）若AC = 6，BC = 8，求\odot O的半径。
（10 分）某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天（1\leqslant x\leqslant30且x为整数）的销售量为y件。
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？
（10 分）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y = -x 3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD\perp x轴于点D。
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若S_{\triangle ACD}=\frac{4}{3}，求点C的坐标；
（3）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与\triangle OBA相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（12 分）如图 1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF\perp CE于点G，交AD于点F。
（1）求证：\triangle ABF\cong\triangle BCE；
（2）如图 2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC = DG；
（3）如图 3，在（2）的条件下，过点C作CM\perp DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求\frac{MN}{NH}的值。
参考答案与解析
一、选择题
答案：C
- 解析：由二次函数图象开口向下，可得a\lt0，又因为图象与y轴交于正半轴，所以c\gt0，则ac\lt0，A 错误；图象与x轴有两个交点，所以b^{2}-4ac\gt0，B 错误；对称轴为直线x = 1，即-\frac{b}{2a}=1，可得2a b = 0，C 正确；当x = - 1时，y = a - b c，由图象可知此时y\lt0，即a - b c\lt0，D 错误。
答案：B
- 解析：过点P作PD\perp AB于点D，连接PF。当E、P、D共线时，点P到AB的距离最小。在Rt\triangle ABC中，AB=\sqrt{6^{2} 8^{2}} = 10。由\triangle AEF\sim\triangle ABC，可得\frac{EF}{AB}=\frac{CF}{AC}，即\frac{EF}{10}=\frac{2}{6}，解得EF=\frac{10}{3}。由折叠可知PF = CF = 2。\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}。设PD = h，在Rt\triangle ADP中，AD=\frac{3}{4}h，在Rt\triangle FDP中，FD=\sqrt{4 - h^{2}}。因为AF = AC - CF = 4，所以\frac{3}{4}h \sqrt{4 - h^{2}} = 4，解得h = 1.2。
答案：C
- 解析：解方程\frac{2x m}{x - 2}=3得2x m = 3(x - 2)，2x m = 3x - 6，x = m 6。因为解是正数，所以m 6\gt0，即m\gt - 6。又因为x - 2\neq0，即m 6 - 2\neq0，m\neq - 4，所以m的取值范围是m\gt - 6且m\neq - 4。
答案：B
- 解析：过点P作PC\perp AB于点C，连接PA。因为PA = 3，AB = 4\sqrt{2}，所以AC=\frac{1}{2}AB = 2\sqrt{2}。在Rt\triangle PAC中，PC=\sqrt{3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}} = 1。因为点P的横坐标是3，直线y = x的斜率为1，所以a = 3 \sqrt{2}。
答案：B
- 解析：由韦达定理得x_1 x_2 = 2，x_1x_2 = - 1。将\frac{1}{2x_1 1} \frac{1}{2x_2 1}通分得到\frac{(2x_2 1) (2x_1 1)}{(2x_1 1)(2x_2 1)}=\frac{2(x_1 x_2) 2}{4x_1x_2 2(x_1 x_2) 1}，把x_1 x_2 = 2，x_1x_2 = - 1代入得\frac{2\times2 2}{4\times(-1) 2\times2 1}=1。
答案：D
- 解析：连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF。在Rt\triangle ABE中，AB = 4，BE = 3，根据勾股定理可得AE = 5。设BF与AE交于点O，由面积法可得BO=\frac{AB\times BE}{AE}=\frac{4\times3}{5}=\frac{12}{5}，则BF=\frac{24}{5}。因为E是BC中点，BC = 6，所以EC = 3。由\triangle BCF与\triangle ABE相似，可得\frac{CF}{BE}=\frac{BF}{AE}，即\frac{CF}{3}=\frac{\frac{24}{5}}{5}，解得CF=\frac{18}{5}。
二、填空题
答案：2034
- 解析：因为a是方程x^{2} 3x - 5 = 0的根，所以
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