----数学思想
林钰量
2024年2月21日
数学作为人类思维的表达形式，它反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。
自己学数学的时候，虽然用了许多时间，总感觉没有开窍，只是满足于，用数学解决一些具体问题的计算。
一，100—7
偶然看到有志愿者在给一位老人做测试题。
问：100—7=？答：93。
问：93—7=？答：86。
问：86—7=？答：79。
接着老人说：我是力学学院的教授，这种题目就不要再测了。
偶然看到高龄的钱学森也被问过100—7=？93—7=？86—7=？
钱学森对测试员说：请问知道我是学什么的吗？
当时就觉得这个减法题其中有些学问，自己就接着做起来了，100被7减14次之后，余下2。
结果正确吗？中间过程是否出会出错吗？如何验算？总不能再从100—7开始，再重复减一遍吧！
那就用加法，7连续加10次就是70，余下30，7再连续加4次是28，余下2。所以7连续加14次是98，再加上2，就是100。用加法验证结果是正确的。
为探个究竟，就把减数扩展一下，10～7～1，看看会有什么结果。
从100—10开始，
100被10减10次，余下0。
100被9减11次，余下1。
100被8减12次，余下4。
100被7减14次，余下2。
100被6减16次，余下4。
100被5减20次，余下0。
……
发现100—7是最复杂、最能考验心算能力的测试题。
后来才知道，是被用来测试认知是否有障碍的测试题之一。
仔细想想，这样的计算事关进退位的加减法。有数位的概念，需要正确理解“十位”和“个位”上数字所代表的含义。
学数学，是逐步从“具象”走向“抽象”的，利用数形结合是解决从“具象”逐步到“抽象”的方法之一。
数形结合
画出一个有100个点的图。每行10个点，每列10个点，共计100个点。
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题目： 100被7减多少次之后，余下2。
100第一次被减7，可以在第一横行上用彩色笔标记7个点。如上图所示。后面余下3个点先放着。
第二次被减7，接着在第二行上用彩色笔标记7个点。后面余下3个点放着。
这样连续减10次。就是70个点。余下右边的30点。
100被7减11次时，就在第八列用红笔点出7个点，如下图所示。
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当100被减13次之后，在图右下角留着9个点。再从余下的9个点中画出7个点，最后余下2个点。
这样100被7减14次，余下2。就可以用下图表清楚达出来了。
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如此，还可以用图表示出100被3减33次余下1。
事后思考，乘法以及除法也可以用数形结合的方法来加以解答。
这就是数形结合方法的优点。
方程与函数
100—（7被加14次）—2=0
这就是一个方程式。
一元方程式可以写成：
aX c=0
想研究余数的规律可以这样写：2=100—（7被加14次）
二元一次函数式可以写成：
y=aX c
然后可以利用垂直坐标系作图了。
学数学需要自己有兴趣，会思考辩析，喜欢追问，还要自己想办法回答自己的追问，当然也需要导师的开导。这样读数学书，才能从书中读懂他人解决问题思考的方向，怎样选择解决问题的方法，结论又是怎样得出来的。自己是否会想出新的方向和办法来。解体之后，常问自己，关键在哪里？主要困难是什么？怎样做更好？等等。也会有所启发。
二，小学生的双差题
1，题目：哥哥买一只球差5元，弟弟买这只球差4元，哥哥弟弟合起来买还差1元。球多少钱一只，哥哥弟弟各自有多少钱？
设：哥哥具有的钱为a，
弟弟具有的钱为b
球的价格为c
哥弟合起来买球的差为d
根据题意有如下关系：
c=a 5……（1）
c=b 4…… (2)
c=a b d……(3)
d=1……(4)
这是多元一次关系式。
解法1：
用带入法，逐步求解。
可得出，a=3
b=4
c=8
可知哥具有3元，弟具有4元比哥多1元，球的价格是8元。
解法2：
具体问题具体分析，前三个关系式，是从不同角度测量了球的价格。所以球的价格应该与4，5，1，三个数有关系。
可以用消元法，先求出球的价格c。
把（1）（2）（3）式加起来得
3c=a 5 b 4 a b d……(5)
整理后可得：
3c=2(a b d) 4 5—d……(8)
根据（3）（4）两式得
c=4 5—1=8……（9）
带入（1）（2）两式得
a=3
b=4
c=8
也可以得到相同的答案。
这样（9）式就把球的价格，与测量三次所得的4，5，1，三个数据之间的关系表达清楚了。
2，如果接着问，d=2球的价格又是多少？
可以直接用（8）式
3c=2(a b d) 9—d 可得
c=7
a=2
b=3
如何理解，应为哥弟合起来买所差的钱d增加了，而哥弟各自买球的差买（4及5）没有变化，哥弟各自的钱变少了，球的价格也会下降。
3，再问d最大值是多少？
根据（8）式得
d=9—c……（9）
又根据（1）式，当哥具有的钱为0元时，c=5，这时球的价格为最低，而d为最大值。
根据（9）式
d=9—5=4……为最大值。
则有：
a=0
b=1
c=5
d=4
4，一差二余
哥一人买球差5元，弟一人买球差4元，哥弟合买多余1元。球的价格是多少钱？哥弟各有多少钱？
解：所设如上题，关系如下：
c=a 5……(1)
c=b 4……(2)
c=a b—d……(3)
d=1……(4)
（1） （2） （3）可得
3c=2(a b—d) d 9……(5)
c=d 9……（10）可得
c=10
a=5
b=6
如何理解，应为哥弟合买球有多余了，即哥弟合起来的钱比球的价格高了。球的价格就会高，哥弟各自的钱也变多了。
5，在一差二余这种情况下，多余的d有最大值吗？
根据（10）式
可得d=c—9 ……（11）
c=10时有d=1为最小值。
当c>10时，
d的值无上限。
6，两余题
哥一人买球多余5元，弟一人买球多余4元，哥弟合买多余100元。球的价格是多少钱？哥弟各有多少钱？
解：根据题意可得关系式：
c=a—5……（1）
c=b—4……（2）
c=a b—d……(4)
d=100……(5)
（1） （2） （3）得
3c=2(a b—d) d—9
化简后得
c=d—9 （d>10）
得
c=100—9=91
a=91 5=96
b=91 4=95
这是因为哥弟各自买球都多有余的钱了，也就是各自的钱都比球的价格高了，又哥弟合起来买球多余了100元，所以，球的价格也高了。
因为哥弟各自买球都是有余，所以余款多的哥哥本有的钱就比弟弟多了1元。
经过一题多解，再扩展思考范围，可以提高自己的逻辑思维能力。这样就找到了，学数学的感觉，数学不仅需要计算，然而数学的本质是数学思维。
回想过去学数学时没有找到这种感觉，数学没有开窍。
学数学，读数学书，先要把书读厚，从最基本的公理、定理，开始推导演算和思辨，对于书中的结论，就好像是自己推导出来的那样，而不是死记硬背。才能学到其中的数学思维，用数学大师的思维方式学习数学，读出灵感，才会开窍，激发出自己的数学潜能。
学数学思考的方向比方法重要，选择比努力重要。
数学是结构（存在数量）和关系（存在变化）的描述，以及验证（结构和关系）的方法和过程。
数学作为人类思维表达形式，它反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。
三，自己设计一题
有一条环形车道，用两辆定速智能车测试其长度，已知，红车的车速是10米/秒，绿车跑一圈所用时间比红车多了480秒，当红车绿车相对而行，从起点到再次相遇，用时100秒。问这条环形车道长度是多少米？
提示：在定速运动中，
路程=车速*时间。
据了解，有几位数学竞赛金牌得主，他们特别擅长举一反三，平时他们并不用做那么多普通的练习题，而是在每次做完一道难题后，他们都会要求自己再设计出一个类似的题目，从而获得一个上帝的视角，也就是老师是怎么想出这个题目的。自己设计了一道类似的难题后，解题思路就会比以前清晰许多，数学思维比以前提升了一个维度。这样自己也就会扩展应用了。
做完难题之后，自己即时地再设计一道题，是升维数学思维的好方法，也是开窍的方法之一。
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