2019 全国 3 卷 4 题，很好用！
1. 18 年全国 3 卷的第 5 题：x 平方加上 x 分之二的五次幂的展开式中，x 四次幂的系数为？很显然，这是一个二项式，这是一个五次幂的二项式。可以写出二项式的通项公式，它的 tk+1 项，这里 k 是从零开始的，k 等于零时是 t1 项，k 等于 1 时候是第二项。它的通项公式，tk+1 项就等于 C5k 乘以 x 平方的 5-k 次幂，再乘以 x 分之二的 k 次幂。已化简就可以得出，通项公式等于 2 的 k 次幂乘以 C5k 乘以 x 的 10-2k 次幂，再乘以 x 的-k 次幂。最后整理得出，等于 2 的 k 次幂乘以 C5k 乘以 x 的 10-3k 次幂。为什么写这个通项公式？要求的是展开式当中 x 四次幂，x 四次幂要求 x 四次幂的系数。写出通项公式以后，就可以令通项公式当中的 x 的 10-3k 次幂的 10-3k 等于 4，就可以求出 k 等于 2，求出了 k 等于 2，它的系数就可以得出来。t2+1 相当于是第三项，它就是 2 的平方乘以 C52 乘以 x4 次方，就等于 40 倍的 x4 次幂。很显然，这里 x4 次幂的系数就等于 40。
2. 再看 19 年全国 3 卷的第四题：一加二的 x 平方乘以一加 x 的四次幂的展开式中，x3 次幂的系数。在这个式子当中，它的二项式是一加 x 的四次幂。同样写出它的通项公式，等于 C4 乘以 1 的 4-k 次幂再乘以 x 的 k 次幂就等于 C4k 乘以 x 的 k 次幂。再乘以一加二 x 平方，得出它的通项公式是 C4k 乘以 x 的 k 次幂再加上二倍的 C4k 乘以 x 的 k+2 次幂。题目要求的是求 x 的三次幂的系数，这里在通项公式里有几个 x 项，有两个 x 项，一个是 x 的 k 次幂，另一个是 x 的 k+2 次幂。可以先令 k+2 等于 3，得出 k 等于 1。这时候可以得出它的 x3 次幂的系数为二乘以 C1。接着再定 x 的 k 次幂，x 的 k 次幂等于 x3。相当于这时候 k，就等于 3。这时候就可以得出 t3+1 项，也就是 t4 项，它的系数为 C43x 三次幂。后面还有一个 x 五次幂跟这道题没关系，所以将 k 等于 1 和 k 等于 3 的时候，两个的 x 三次幂的系数的和就是 12，也就说这道题的答案。
