2020-2021学年天津市和平区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．若
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣3
2．下列计算正确的是（ ）
A．
＝
B．
＝1 C．3
﹣
＝2 D．3
＝3
3．在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝15，b＝8，c＝17 B．a＝13，b＝14，c＝15
C．a＝30，b＝40，c＝50 D．a＝1，b＝
，c＝2
4．已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的面积是（ ）
A．48 B．30 C．24 D．20
5．在“争创美丽校园”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分情况如表所示：
评分（分） | 80 | 85 | 90 | 95 |
评委人数 | 1 | 2 | 5 | 2 |
则这10位评委评分的平均数是（ ）
A．85 B．87.5 C．89 D．90
6．有四组数据：
第一组6 6 6 6 6 6 6
第二组5 5 6 6 6 7 7
第三组3 3 4 6 8 9 9
第四组3 3 3 6 9 9 9
这四组数据的平均数都是6，方差分别是0，
，
，
，则这四组数据中波动较大的是（ ）
A．第一组 B．第二组 C．第三组 D．第四组
7．已知直线y＝
x 3，则（ ）
A．该直线与x轴的交点坐标为（﹣6，0），与y轴的交点坐标为（0，3）
B．该直线与x轴的交点坐标为（﹣
，0），与y轴的交点坐标为（0，3）
C．该直线与x轴的交点坐标为（0，3），与y轴的交点坐标为（﹣6，0）
D．该直线与x轴的交点坐标为（0，3），与y轴的交点坐标为（﹣
，0）
8．一次函数y＝x 2的图象不经过的象限是（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
9．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形
B．如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形
C．如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
D．如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形
10．已知点A（﹣1，0），B（0，﹣3），点C（2，﹣2），过点C作x轴的平行线交直线AB于点D，则线段CD的长为（ ）
A．
B．2 C．
D．11
11．均匀地向图中的容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．某市政府决定实施供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲队每天挖100米
B．乙队开挖两天后，每天挖50米
C．甲队比乙队提前2天完成任务
D．当x＝3时，甲、乙两队所挖管道长度相同
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)13．计算：（
）（
﹣
）的结果等于 ．
14．如图，点D，E分别是△ABC的BC，AC边的中点，若AB＝4，则DE的长等于 ．
15．某校规定学生的学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分、90分和85分，则他本学期数学学期综合成绩是 分．
16．若正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数值y随着x的增大而增大，则k的值可以是 ．（写出一个即可）
17．如图，∠MON＝90°，正方形OABC的边长为5，点B到ON的距离是4，则：
（1）正方形OABC的对角线的长＝ ；
（2）点B到OM的距离＝ ；
（3）点A到OM的距离＝ ．
18在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B在格点上，请用无刻度的直尺，按下列要求画图．
（1）在图①画出一个以AB为一边的正方形ABCD；
（2）在图②画出一个以AB为一边的菱形ABC′D′（ABC′D′不是正方形）；
（3）如图③，点E，F在格点上，AB与EF交于点G，在图③中画出一个以AG为一边的矩形AGG′A′．
19计算：
（1）
；
（2）2
．
20在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中a的值为 ；
（2）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.75m的运动员能否进入复赛．
21如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3
，D为BC边上一点，且∠DAC＝15°．
（1）∠ADB的大小＝ （度）；
（2）斜边BC的长＝ ；
（3）斜边BC上的中线的长＝ ；
（4）求AD的长．
22已知，在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC．
（1）如图①，求证：AD∥BC；
（2）如图②，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，求证：四边形ABCD是菱形．
23在抗洪抢险救灾中，某地粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到没有受洪水威胁的A，B两个仓库，已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为60吨，B库的容量为120吨
（1）填空：
若从甲库运往A库粮食50吨，
①从甲库运往B库粮食 吨；
②从乙库运往A库粮食 吨；
③从乙库运往B库粮食 吨；
（2）填空：
若从甲库运往A库粮食x吨，
①从甲库运往B库粮食 吨；
②从乙库运往A库粮食 吨；
③从乙库运往B库粮食 吨；
（3）从甲、乙两库到A，B两库的路程和运费如表：（表中“元/吨•千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）．
路程（千米） | 运费（元/吨•千米） | |||
甲库 | 乙库 | 甲库 | 乙库 | |
A库 | 20 | 15 | 12 | 12 |
B库 | 25 | 20 | 10 | 8 |
写出将甲、乙两库粮食运往A，B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式，并求出当从甲、乙两库各运往A，B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
24已知正方形ABCD的边长为8，点E是对角线AC上的一点．
（1）如图①，若点E到AD的距离为6，则点E到AB的距离为 ；
（2）连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F；
①如图②，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．求证：矩形DEFG是正方形；
②如图③，在①的条件下，连接AG，求AG AE的值；
③若F恰为AB的中点，连接DF交AC于点H，则HE的长＝ ．
25如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（4，2），点A关于x轴的对称点为A′．
（1）点A′的坐标为 ；
（2）已知一次函数的图象经过点A′与B，求这个一次函数的解析式；
（3）点P（x，0）是x轴上的一个动点，当x＝ 时，△PAB的周长最小；
（4）点C（t，0），D（t 2，0）是x轴上的两个动点，当t＝ 时，ACDB的周长最小；
（5）点M（m，0），点N（0，n）分别是x轴和y轴上的动点，当四边形ANMB的周长最小时，m n＝ ，此时四边形ANMB的面积为 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．若
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣3
【分析】二次根式中的被开方数是非负数．直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：若
在实数范围内有意义，则
3 x≥0，
解得：x≥﹣3，
故选：C．
2．下列计算正确的是（ ）
A．
＝
B．
＝1 C．3
﹣
＝2 D．3
＝3
【分析】利用二次根式的加减法对A、C、D进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断．
【解答】解：A、原式＝
2，所以A选项不符合题意；
B、原式＝
﹣
＝3﹣2＝1，所以B选项符合题意；
C、原式＝2
，所以C选项不符合题意；
D、3与
不能合并，所以D选项不符合题意．
故选：B．
3．在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝15，b＝8，c＝17 B．a＝13，b＝14，c＝15
C．a＝30，b＝40，c＝50 D．a＝1，b＝
，c＝2
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【解答】解：A、82 152＝172，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、132 142≠152，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
C、302 402＝502，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、12 （
）2＝22，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的面积是（ ）
A．48 B．30 C．24 D．20
【分析】根据菱形的面积等于两条对角线积的一半计算即可．
【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别是6和8，
∴这个菱形的面积为
×6×8＝24，
故选：C．
5．在“争创美丽校园”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分情况如表所示：
评分（分） | 80 | 85 | 90 | 95 |
评委人数 | 1 | 2 | 5 | 2 |
则这10位评委评分的平均数是（ ）
A．85 B．87.5 C．89 D．90
【分析】根据加权平均数的计算方法列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：这10位评委评分的平均数是：
＝89（分）．
故选：C．
6．有四组数据：
第一组6 6 6 6 6 6 6
第二组5 5 6 6 6 7 7
第三组3 3 4 6 8 9 9
第四组3 3 3 6 9 9 9
这四组数据的平均数都是6，方差分别是0，
，
，
，则这四组数据中波动较大的是（ ）
A．第一组 B．第二组 C．第三组 D．第四组
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵这四组数据的平均数都是6，方差分别是0，
，
，
，
∴0＜
＜
＜
，
∴波动较大的一组数据是第四组；
故选：D．
7．已知直线y＝
x 3，则（ ）
A．该直线与x轴的交点坐标为（﹣6，0），与y轴的交点坐标为（0，3）
B．该直线与x轴的交点坐标为（﹣
，0），与y轴的交点坐标为（0，3）
C．该直线与x轴的交点坐标为（0，3），与y轴的交点坐标为（﹣6，0）
D．该直线与x轴的交点坐标为（0，3），与y轴的交点坐标为（﹣
，0）
【分析】令x＝0求出y的值，即可求得直线与y轴的交点，令y＝0求出x的值即可得出直线与x轴的交点．
【解答】解：∵令x＝0，则y＝3；令y＝0，则x＝﹣6，
∴直线y＝
x 3与x轴的交点坐标为（﹣6，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
故选：A．
8．一次函数y＝x 2的图象不经过的象限是（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】根据k，b的符号确定一次函数y＝x 2的图象经过的象限．
【解答】解：∵k＝1＞0，b＝2＞0，
∴直线y＝x 2经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
9．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形
B．如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形
C．如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
D．如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形
【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，并对错误的举出反例即可．
【解答】解：如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是不一定是平行四边形，如等腰梯形，故选项A不符合题意；
如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是矩形，如等腰梯形中的对角线可能相等且垂直，故选项B不符合题意；
如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是菱形，如直角梯形，故选项C不符合题意；
如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形，故选项D符合题意；
故选：D．
10．已知点A（﹣1，0），B（0，﹣3），点C（2，﹣2），过点C作x轴的平行线交直线AB于点D，则线段CD的长为（ ）
A．
B．2 C．
D．11
【分析】首先利用待定系数法确定直线AB解析式，然后将y＝﹣2代入该函数解析式，求得点D的坐标；最后利用两点间的距离公式求解．
【解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx b，
把A（﹣1，0），B（0，﹣3）分别代入，得
．
解得
．
故直线AB的解析式为：y＝﹣3x﹣3．
∵点C（2，﹣2）且CD∥x轴，
∴当y＝﹣2时，﹣2＝﹣3x﹣3．
解得x＝﹣
．
则线段CD的长度为：2﹣（﹣
）＝
．
故选：C．
11．均匀地向图中的容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由于容器的三部分的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．
【解答】解：容器底部较粗，中部最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，上部最细，水面高度h随时间t的增大而增长最快，
故选：A．
12．某市政府决定实施供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲队每天挖100米
B．乙队开挖两天后，每天挖50米
C．甲队比乙队提前2天完成任务
D．当x＝3时，甲、乙两队所挖管道长度相同
【分析】根据函数图象得到甲工作6天开挖了600米，所以甲的工作效率＝
＝100（米/天）；根据函数图象得到乙2天挖了300米，接着4天挖了200米，则乙队开挖两天后，每天挖
米；由于后300米，乙需要
＝6天挖完，则乙队共需开挖8天完成，所以甲队比乙队提前2天完成任务；当x＝3时，可计算甲队所挖管道长度为300米，乙队所挖管道长度＝300 （3﹣2）×50＝350米，所以当x＝3时，甲、乙两队所挖管道长度不相同．
【解答】解：A、甲的工作效率＝
＝100（米/天），所以A选项的说法正确；
B、乙队开挖两天后，4天开挖了（500﹣300）＝200米，则乙的工作效率＝
＝50（米/天），所以B选项的说法正确；
C、
＝6，则乙队开挖2 6＝8天完成，而甲对只需6天完成，所以甲队比乙队提前2天完成任务，所以C选项的说法正确；
D、当x＝3时，甲队所挖管道长度＝3×100＝300米，乙队所挖管道长度＝300 （3﹣2）×50＝350米，所以D选项的说法错误．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
13．计算：（
）（
﹣
）的结果等于 3 ．
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝5﹣2
＝3．
故答案为3．
14．如图，点D，E分别是△ABC的BC，AC边的中点，若AB＝4，则DE的长等于 2 ．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
【解答】解：∵点D，E分别是△ABC的BC，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝
AB＝
×4＝2．
故答案为：2．
15．某校规定学生的学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分、90分和85分，则他本学期数学学期综合成绩是 88 分．
【分析】按3：3：4的比例算出本学期数学学期综合成绩即可．
【解答】解：本学期数学学期综合成绩＝90×30% 90×30% 85×40%＝88（分）．
故答案为：88．
16．若正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数值y随着x的增大而增大，则k的值可以是 1（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【分析】根据正比例函数的性质可得k＞0，写一个符合条件的数即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数值y随着x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k＝1符合题意．
故答案为：1（答案不唯一）．
17．如图，∠MON＝90°，正方形OABC的边长为5，点B到ON的距离是4，则：
（1）正方形OABC的对角线的长＝ 5
；
（2）点B到OM的距离＝
；
（3）点A到OM的距离＝
﹣2 ．
【分析】（1）正方形中用勾股定理直接可求对角线长；
（2）过点A作EF⊥OM交MO的延长线于F点，过点B作BE⊥ON，EF与BE交于点E，证明△ABE≌△OAF（AAS），则BE＝AF，EA＝OF，则可得AF＝4 OF，在Rt△AOF中，52＝OF2 （4 OF）2，求出OF＝﹣2
，则点B到OM的距离＝4 2OF＝
；
（3）由（2）可知，点A到OM的距离＝AF＝4 OF＝2
．
【解答】解：（1）∵正方形OABC的边长为5，
∴BO＝
＝5
，
故答案为5
；
（2）过点A作EF⊥OM交MO的延长线于F点，过点B作BE⊥ON，EF与BE交于点E，
∵∠BAO＝90°，
∴∠EAB ∠OAF＝90°，
∵∠BAE ∠EBA＝90°，
∴∠EBA＝∠OAF，
∵∠E＝∠F＝90°，AB＝AO，
∴△ABE≌△OAF（AAS），
∴BE＝AF，EA＝OF，
∵点B到ON的距离是4，
∴AF＝4 OF，
在Rt△AOF中，52＝OF2 （4 OF）2，
∴OF＝﹣2
，
∴点B到OM的距离＝AF AE＝4 OF OF＝
，
故答案为
；
（3）点A到OM的距离＝AF＝4 OF＝2
，
故答案为2
．
18在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B在格点上，请用无刻度的直尺，按下列要求画图．
（1）在图①画出一个以AB为一边的正方形ABCD；
（2）在图②画出一个以AB为一边的菱形ABC′D′（ABC′D′不是正方形）；
（3）如图③，点E，F在格点上，AB与EF交于点G，在图③中画出一个以AG为一边的矩形AGG′A′．
【考点】菱形的判定与性质；矩形的判定；正方形的判定与性质；作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（2）（3）作图见解析部分．
【分析】（1）根据正方形的定义画出图形即可．
（2）根据菱形的定义画出图形即可．
（3）取格点A′，B′，E′，F′，连接A′B′，E′F′交于点G′，连接GG′，四边形AA′G′G即为所求．
【解答】解：（1）如图①中，正方形ABCD即为所求．
（2）如图②中，菱形ABC′D′即为所求．
（3）如图③中，矩形AGG′A′即为所求．
19计算：
（1）
；
（2）2
．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）0；
（2）
．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据二次根式的乘除法则运算．
【解答】解：（1）原式＝3
﹣4
＝0；
（2）原式＝2×
×
×
＝
．
20在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中a的值为 ；
（2）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.75m的运动员能否进入复赛．
【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】（1）25；
（2）1.71，1.75，1.70；
（3）能，理由见解答．
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据可以求得a的值；
（2）根据条形统计图中的数据可以得到该组数据的众数、中位数和平均数；
（3）根据条形统计图中的数据可以解答本题．
【解答】解：（1）a%＝1﹣10%﹣20%﹣30%﹣15%＝25%，
即a的值是25．
故答案为：25，
（2）由条形统计图可知，
这组平均数是：
＝1.71（m），
在这组数据中，1.75出现了6次，出现的次数最多，
则这组数据的众数是1.75m，
把这些数从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是1.70，
则中位数是
＝1.70（m），
（3）初赛成绩为1.75m的运动员能进入复赛，
理由：由条形统计图可知前9名的成绩，最低是1.75m，故初赛成绩为1.75m的运动员能进入复赛．
21如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3
，D为BC边上一点，且∠DAC＝15°．
（1）∠ADB的大小＝ （度）；
（2）斜边BC的长＝ ；
（3）斜边BC上的中线的长＝ ；
（4）求AD的长．
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；等腰直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）60；
（2）6；
（3）3；
（4）2
．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求出∠ACB的度数，进而求出∠ADB的度数；
（2）根据勾股定理即可求；
（3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求；
（4）
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠DAC＝15°，
∴∠ADB＝∠DAC ∠ACB＝60°，
故答案为：60；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3
，
∴BC＝
＝6，
故答案为：6；
（3）∵∠BAC＝90°，BC＝6，
∴斜边BC上的中线的长为3，
故答案为：3；
（4）过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC，
∴BE＝EC，
∵∠BAC＝90°，
∴AE＝
BC＝
×6＝3，
在Rt△ADE中，由（1）得∠ADB＝60°，
∴∠EAD＝30°，
∴DE＝
AD，
由勾股定理得，DE2 AE2＝AD2，
∴（
AD）2 32＝AD2，
∴AD＝2
．
22已知，在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC．
（1）如图①，求证：AD∥BC；
（2）如图②，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，求证：四边形ABCD是菱形．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）先征得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得到AD∥BC；
（2）由平行线的性质及角平分线的定义推出∠BAC＝∠ACB，由等腰三角形的性质得到AB＝BC，又由（1）知四边形ABCD是平行四边形，可得▱ABCD是菱形．
【解答】证明：（1）∵AD＝BC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC；
（2）∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
又由（1）得四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是菱形．
23在抗洪抢险救灾中，某地粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到没有受洪水威胁的A，B两个仓库，已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为60吨，B库的容量为120吨
（1）填空：
若从甲库运往A库粮食50吨，
①从甲库运往B库粮食 吨；
②从乙库运往A库粮食 吨；
③从乙库运往B库粮食 吨；
（2）填空：
若从甲库运往A库粮食x吨，
①从甲库运往B库粮食 吨；
②从乙库运往A库粮食 吨；
③从乙库运往B库粮食 吨；
（3）从甲、乙两库到A，B两库的路程和运费如表：（表中“元/吨•千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）．
路程（千米） | 运费（元/吨•千米） | |||
甲库 | 乙库 | 甲库 | 乙库 | |
A库 | 20 | 15 | 12 | 12 |
B库 | 25 | 20 | 10 | 8 |
写出将甲、乙两库粮食运往A，B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式，并求出当从甲、乙两库各运往A，B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）50，10，70．（2）（100﹣x）；（60﹣x）；（20 x）；（3）从甲库运往A库60吨粮食，从甲库运往B库40吨粮食，从乙库运往B库80吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是37200元．
【分析】（1）根据题意解答即可；
（2）根据题意解答即可；
（3）弄清调动方向，再依据路程和运费列出y（元）与x（吨）的函数关系式，最后可以利用一次函数的增减性确定“最省的总运费”．
【解答】解：（1）①从甲库运往B库粮食：100﹣50＝50吨，
②从乙库运往A库粮食60﹣50＝10吨，
③从乙库运往B库粮食120﹣50＝70吨．
（2）①从甲库运往B库粮食（100﹣x）吨；
故答案为：（100﹣x）；
②从乙库运往A库粮食（60﹣x）吨；
故答案为：（60﹣x）；
③从乙库运往B库粮食（20 x）吨；
故答案为：（20 x）；
（3）依题意有：若甲库运往A库粮食x吨，则甲库运到B库（100﹣x）吨，乙库运往A库（60﹣x）吨，乙库运到B库（20 x）吨，
则
，
解得：0≤x≤60，
从甲库运往A库粮食x吨时，总运费为：
y＝12×20x 10×25（100﹣x） 12×15（60﹣x） 8×20×[120﹣（100﹣x）]＝﹣30x 39000；
∵从乙库运往A库粮食（60﹣x）吨，
∴0≤x≤60，
此时100﹣x＞0，
∴y＝﹣30x 39000（0≤x≤60），
∵﹣30＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝60时，y取最小值，﹣30×60 39000＝37200，最小值是37200，
答：从甲库运往A库60吨粮食，从甲库运往B库40吨粮食，从乙库运往B库80吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是37200元．
24已知正方形ABCD的边长为8，点E是对角线AC上的一点．
（1）如图①，若点E到AD的距离为6，则点E到AB的距离为 ；
（2）连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F；
①如图②，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．求证：矩形DEFG是正方形；
②如图③，在①的条件下，连接AG，求AG AE的值；
③若F恰为AB的中点，连接DF交AC于点H，则HE的长＝ ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）6．
（2）①证明见解析部分．
②8
．
③
．
【分析】（1）如图1中，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，利用角平分线的性质定理解决问题即可．
（2）①如图②中，连接EB．证明DE＝EB，EF＝EB，可得结论．
②证明△GDA≌△EDC（SAS），推出AG＝EC，可得结论．
③如图④中，作EM⊥DF于M．求出EM，HM，再利用勾股定理求出EH即可．
【解答】（1）解：如图1中，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAM＝∠EAN＝45°，
∵EM⊥AM，EN⊥AN，
∴EM＝EN＝6，
∴点E到AB的距离为6，
故答案为：6．
（2）①证明：如图②中，连接EB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE＝45°，
在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴DE＝EB，∠CDE＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝∠ADE，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝∠DAF＝90°，
∴∠ADE ∠AFE＝180°，
∵∠AFE ∠EFB＝180°，
∴∠ADE＝∠EFB，
∴∠EFB＝∠EBF，
∴EF＝EB，
∴DE＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
②解：如图③中，
∵四边形DEFG，四边形ABCD都是正方形，
∴∠ADC＝∠GDE＝90°，DA＝DC，DG＝DE，
∴∠GDA＝∠EDC，
在△GDA和△EDC中，
，
∴△GDA≌△EDC（SAS），
∴AG＝EC，
∴AG AE＝AE EC＝AC＝
AD＝8
．
③解：如图④中，作EM⊥DF于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝8，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB＝4
∴DF＝
＝
＝4
，
∵△DEF是等腰直角三角形，EM⊥AD，
∴DM＝MF，
∴EM＝FM＝
DF＝2
，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FH：HD＝1：2，
∴FH＝
，
∴HM＝MF﹣FH＝
，
在Rt△EHM中，EH＝
＝
＝
．
故答案为：
．
25如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（4，2），点A关于x轴的对称点为A′．
（1）点A′的坐标为 ；
（2）已知一次函数的图象经过点A′与B，求这个一次函数的解析式；
（3）点P（x，0）是x轴上的一个动点，当x＝ 时，△PAB的周长最小；
（4）点C（t，0），D（t 2，0）是x轴上的两个动点，当t＝ 时，ACDB的周长最小；
（5）点M（m，0），点N（0，n）分别是x轴和y轴上的动点，当四边形ANMB的周长最小时，m n＝ ，此时四边形ANMB的面积为 ．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）（1，﹣1）；（2）y＝x﹣2；（3）2；（4）
；（5）
．
【分析】（1）根据对称的性质直接可得；
（2）根据待定系数法求函数解析式，设直线A'B的解析式为y＝kx b，代入A'，B的坐标计算即可；
（3）根据轴对称的性质，A'、P、B三点共线时，A'P PB最小，由（2）中解析式即可求出x的值；
（4）作BB'∥CD，且BB'＝CD，得四边形BB'CD为平行四边形，所以AC BD＝A'C CB'，即A'、C、B'共线时，AC BD最小，求出C'B'的函数解析式解决问题；
（5）根据轴对称的性质，作A关于y轴的对称点A'，B关于x轴的对称点B'，连接A'B'交y轴于N，交x轴于M，点A'、N、M、B'共线时，A'N MN B'M＝A'B'，此时C四边形ANMB最小，再根据已知数据进行计算．
【解答】解：（1）∵点A（1，1）关于x轴的对称点为A′，
∴A'（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）；
（2）设直线A'B的解析式为y＝kx b，
则
，
∴
，
∴直线A'B的解析式为y＝x﹣2；
（3）∵C△PAB＝PA PB AB，
且AB＝
为定值，
∴只要PA PB最小，
∵PA＝PA'，
∴A'、P、B三点共线时，A'P PB最小，
∴x＝2，
故答案为：2；
（4）如图，C四边形ACDB＝AC CD BD AB
＝AC 2 BD
∴只要AC BD最小，
作BB'∥CD，且BB'＝CD，连接B'C，
∴四边形BB'CD为平行四边形，
∴B'C＝BD，
∵AC＝A'C，
∴AC BD＝A'C CB'，即A'、C、B'共线时，AC BD最小，
∵B'（2，2），A'（1，﹣1），
∴直线B'C'的解析式为y＝3x﹣4，
当y＝0时，x＝
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
（5）如图，作A关于y轴的对称点A'，B关于x轴的对称点B'，
连接A'B'交y轴于N，交x轴于M，
此时C四边形ANMB＝AB AN MN BM
＝AB A'N MN B'M，
∴点A'、N、M、B'共线时，A'N MN B'M＝A'B'，
此时C四边形ANMB最小，
∵A（1，1），B（4，2），
∴A'（﹣1，1），B'（4，﹣2），
∴直线A'B'的函数解析式为y＝
，
当x＝0时，y＝
；当y＝0时，x＝
，
∴N（0，
），M（
），
∴
，
∴S四边形ANMB＝2×4﹣[
×
]
＝
．
故答案为：
．
,
