2021年湖南益阳中考数学的这道压轴题，与分段函数有关。第一小题两个问题太简单，最后一道小题太难，简直可以说是“开局新手级，最后噩梦级”。另外，学完这道题，你会知道直线解析式的点斜式，在中考数学中有多重要的。
已知函数“当x<=0时，y=-x；当x>0时，y=x^2”的图像如图1所示，点A(x1,y1)在第一象限内的函数图像上. (1)若点B(x2,y2)也在上述函数图像上，满足x2<x1. ①当y2=y1=4时，求x1,x2的值；②若|x2|=|x1|，设w=y1-y2，求w的最小值； (2)过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P’,过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP’的对称点为Q’，直线AQ’是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.
解：(1)①当y1=x1^2=4时,x1=2或x1=-2(舍去)，当y2=-x2=4时,x2=-4.
②当|x2|=|x1|时，y2=-x2=x1，
w=y1-y2=x1^2-x1=(x1-1/2)^2-1/4, ∴当x1=1/2时，w=-1/4最小.
(2)依题意A(x1,x1^2)，P(0,x1^2)，P’(0,-x1^2)，Q(x1,0)，
直线AP’的解析式为：y=2x1^2x/x1-x1^2=2x1x-x1^2.【第一次运用直线解析式的点斜式，虽然这个运算没有那么复杂，但一定要仔细了，因为一旦出错，后面就非常麻烦，下面每一步都有同样的道理】
直线QQ’的解析式为：y=-(x-x1)/(2x1)=-x/(2x1) 1/2.【第二次运用直线解析式的点斜式，与第一次不同的是，第一次的斜率是利用直角三角形APP'的两条直角边的比求得的。而这次是利用QQ'和AP'互相垂直，两者的斜率积等于-1求得的】
可设Q’(q,-q/(2x1) 1/2)，过Q’作Q’C//AQ交AP’于C, 则C(q,2x1q-x1^2)，【这一步是解题最关键之所在，不用这种方法当然也可以求，但会特别复杂】
四边形AQCQ’是菱形，∴x1^2 2x1q-x1^2=-q/(2x1) 1/2，【菱形很容易证明，后面的等式利用了菱形的对角线互相平分，所以AP'的中点和QQ'的中点是同一点，通过列它们的纵坐标的中点公式得到的】
解得：∴q=x1/(4x1^2 1)，-q/(2x1) 1/2=2x1^2/(4x1^2 1)，【这是Q'点的坐标】
直线AQ’的解析式为：y-x1^2=(2x1^2/(4x1^2 1)-x1^2)(x-x1)/(x1/(4x1^2 1)-x1)【这是第三次运用直线解析式的点斜式，这次求斜率是利用A，Q’的坐标斜率公式求的。即两点的纵坐标差除以横坐标差，就是AQ’的斜率】
化简得y=(4x1^2-1)x/(4x1) 1/4，∴直线AQ’与y轴交于点(0,1/4).
这道题运用了三次直线解析式的点斜式，每一次求斜率的方法都有不同，非常有代表性。题目的运算量其实还蛮大的，平时不多练运算，中考遇到这种运算量大的题，是完全没有办法的。
,
