数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1．2024年代表着希望，自然，生机，则2024的相反数是（ ）
2．2024年3月5日上午9时，第十四届全国人民代表大会第二次会议开幕会在人民大会堂举行．国务院总理李强作政府工作报告时指出，强化义务教育薄弱环节建设，做好“双减”工作，国家助学贷款提标降息惠及超1100万学生，数据11000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.11×109 B．1.1×108 C．1.1×107 D．11×106
3．为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．sin30° tan60°cos45°的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．将长方体截去一部分后的几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在平面直角坐标系内，若点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＞3 C．m＜1 D．1＜m＜3
7．某班有40名学生，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计，由于小滨没有参加本次测试，算得39人测试成绩数据的平均数
，中位数m1＝28．后来小滨进行了补测，成绩为29分，得到40人测试成绩数据的平均数
，中位数m2，则（ ）
A．
，m1＝m2 B．
，m1＜m2
C．
，m1≤m2 D．
，m1＝m2
8．已知10x＝m，10y＝n，则102x 3y等于（ ）
A．2m 3n B．m2 n2 C．6mn D．m2n3
9．如图，一次函数y＝ax b与反比例函数y＝
（k＞0）的图象交于点A（1，2），B（m，﹣1）．则关于x的不等式ax b＞
的解集是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2
10．已知二次函数y＝ax2 bx c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b c＞0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2 bx c 1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2 bm c≤﹣9a．正确结论的序号为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上）
11．要使式子
在实数范围有意义，则x的取值范围为 ．
12．若|a﹣b 1|与
互为相反数，则a﹣b＝ ．
13．若估算
的值在整数n和（n 1）之间，则n＝ ．
14．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC交AB于点E，过E作EF⊥DE交BC于点F，延长AD至点G，使得DG＝BF，连结GF，若AB＝7，CF＝3，tan∠EDC＝2，则GF＝ ．
第14题 第16题
15．阅读材料：若x满足（6﹣x）（x﹣4）＝﹣3，求（6﹣x）2 （x﹣4）2的值．
解：设（6﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，则（6﹣x）（x﹣4）＝ab＝﹣3，a b＝（6﹣x） （x﹣4）＝2．
所以（6﹣x）2 （x﹣4）2＝a2 b2＝（a b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．
带仿照上例解决下面问题：
若x满足（20﹣x）（x﹣10）＝﹣5，则（20﹣x）2 （x﹣10）2的值是 ．
16．如图，在第一象限内的直线l：
上取点A1，使OA1＝1，以OA1为边作等边△OA1B1，交x轴于点B1；过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B2；过点B2作x轴的垂线交直线l于点A3，以OA3为边作等边△OA3B3，交x轴于点B3；…，依次类推，则点A2023的横坐标为 ．
三、解答题（本大题共个8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）（1）计算：
；
（2）解不等式组：
并求出它的正整数解．
- （6分）先化简，再求值，其中x的值是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
19．（6分）区内某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加课后延时服务的学生人数是 名；
（2）把条形统计图补充完整；扇形统计图中的∠α的度数是 度；
（3）在C组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
20．（10分）消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB＝3m，∠BAC＝53°，∠DOC＝37°．
（1）求BO的长；
（2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O按顺时针方向旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3.2m，求云梯OD大约旋转了多少度．
（参考数据：sin37°≈
，tan37°≈
，sin53°≈
，tan53°≈
，sin67°≈0.92cos67°≈0.39）
21．（10分）某市为弘扬中华优秀传统文化，提升知名度，准备举办大型灯笼会．某超市看准商机，分别花费320元购进了A，B两种类型的灯笼，购进A种类型灯笼的数量比B种类型灯笼多4个，且每个A种类型灯笼的成本比每个B种类型灯笼的成本少20%．
（1）求A，B种类型的灯笼成本各多少元；
（2）该超市计划购进两种灯笼共100个，且每个B种类型灯笼的售价为35元，A种类型灯笼的售价为25元．设购进B种类型灯笼a个，售卖这两种灯笼可获得的利润为w元
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进B种类型灯笼的数量不超过A种类型灯笼的数量的
，则购进B种类型灯笼多少个时，销售这批灯笼可以获得最大利润？最大利润是多少？
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC＝DC，BD交AC于点E，点F在AC的延长线上，BE＝BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若EF＝12，cos∠ABC＝
．
①求BF的长；
②求⊙O的半径．
23．（11分）抛物线y＝x2 bx c经过点M（3，0），N（﹣1，0）．
（1）求这条抛物线的函数解析式．
（2）当n≤x≤n 2时，函数y有最大值为5，求n的值．
（3）抛物线上有一点A，点A的横坐标为m，另有点
、
，以AB、BC为边作矩形ABCD，设抛物线的顶点为P．
①连结PA，PB，PC，PD，若△ABP的面积是△DCP的面积2倍，求m的值．
②抛物线的对称轴上有一点Q，且点Q的纵坐标为﹣m2，连接PQ，线段PQ绕点P顺时针旋转90°得线段PH，以PQ、PH为边作正方形PQGH，若正方形PQGH与矩形ABCD重合部分的图形周长为10，直接写出m的值．
24．（13分）【问题提出】
（1）如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若S△ABC＝5，则△BCD的面积为 ；
【问题探究】
（2）如图②，已知BC＝12，点A为BC上方的一个动点，且∠BAC＝120°，点D为BA延长线上一点，且AD＝AC，连接CD，求△BCD面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，工人师傅需要制作一个四边形的模具，在四边形ABCD中，要求∠BAC＝30°，BC＝2m，∠CAD＝120°，AD＝AC．现要求四边形ABCD的面积最大，如果存在，求出四边形ABCD的最大面积，如果不存在，请说明理由．（结果保留根号）
