2019 年辽宁省沈阳市中考数学试卷
A．
．
B．
．
C
D
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题 2 分，共 20 分）
1 ．（2 分） ﹣ 5 的相反数是（ ）
A ．5 B ． ﹣ 5 C ．
D ．
2．（2 分） 2019 年 1 月 1 日起我国开始贯彻《国务院关于印发个人所得税专项附加扣除暂行 办法的通知》 的要求，此次减税范围广，其中有 6500 万人减税 70%以上，将数据 6500 用科学记数法表示为（ ）
A ．6.5 ×102 B ．6.5×103 C ．65 ×103 D ．0.65×104
3 ．（2 分） 如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
4 ．（2 分） 下列说法正确的是（ ）
A ．若甲、乙两组数据的平均数相同，S 甲2＝0. 1 ，S 乙2＝0.04 ，则乙组数据较稳定
B ．如果明天降水的概率是 50% ，那么明天有半天都在降雨
C ．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式
D ．早上的太阳从西方升起是必然事件
5 ．（2 分） 下列运算正确的是（ ）
A ．2m3 3m2＝5m5 B ．m3÷m2＝m
C ．m•（m2）3＝m6 D ．（m ﹣ n ）（n ﹣ m）＝n2 ﹣ m2
6 ．（2 分） 某青少年篮球队有 12 名队员，队员的年龄情况统计如下：
年龄（岁） | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
人数 | 3 | 1 | 2 | 5 | 1 |
则这 12 名队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
第 1页（共 27页）
A ．15 岁和 14 岁
C ．15 岁和 14.5 岁
B ．15 岁和 15 岁
D ．14 岁和 15 岁
7 ．（2 分） 已知△ABC∽△A'B'C'，AD 和 A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6 ，则
△ABC 与△A'B'C'的周长比是（ ）
A ．3：5 B ．9：25 C ．5：3 D ．25：9
8 ．（2 分） 已知一次函数y＝（k 1）x b 的图象如图所示，则 k 的取值范围是（ ）
A ．k＜0 B ．k＜ ﹣ 1 C ．k＜1 D ．k＞ ﹣ 1
9．（2 分） 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 和点 D 是⊙O 上位于直径 AB 两侧的点，连接 AC， AD ，BD ，CD ，若⊙O 的半径是 13 ，BD＝24 ，则 sin∠ACD 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．（2 分） 已知二次函数y＝ax2 bx c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．abc＜0 B ．b2 ﹣ 4ac＜0 C ．a ﹣ b c＜0 D ．2a b＝0
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11 ．（3 分） 因式分解： ﹣x2 ﹣ 4y2 4xy＝ ．
12 ．（3 分） 二元一次方程组
的解是 ．
13 ．（3 分） 一个口袋中有红球、白球共 10 个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌
均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸 了 100 次球，发现有 70 次摸到红球．请你估计这个口袋中有 个白球．
14 ．（3 分） 如图，在四边形ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是AB ，CD，AC，BD 的中点，
若AD＝BC＝2
，则四边形 EGFH 的周长是 ．
15 ．（3 分） 如图，正比例函数y1＝k1x 的图象与反比例函数y2＝
（x＞0）的图象相交于 点A（
，2
），点 B 是反比例函数图象上一点，它的横坐标是 3 ，连接 OB，AB ，则 △AOB 的面积是 ．
16 ．（3 分） 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 上有一点 E ，且 CE＝4AE ，点 F 在 DC 的延 长线上，连接 EF，过点 E 作 EG⊥EF，交 CB 的延长线于点 G ，连接 GF 并延长，交AC
的延长线于点 P ，若 AB＝5 ，CF＝2 ，则线段 EP 的长是 ．
三、解答题（第 17 小题 6 分，第 18 、19 小题各 8 分，共 22 分）
17 ．（6 分） 计算：（ ﹣
） ﹣ 2 2cos30° ﹣ |1 ﹣
| （ π ﹣ 2019）0．
18 ．（8 分） 为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开 第 3页（共 27页）
展了多种社团活动．小明喜欢的社团有： 合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分 别用字母A，B ，C，D 依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的 不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团 B 的概率是 ．
（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中 随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽
取的卡片中有一张是科技社团 D 的概率．
19 ．（8 分） 如图，在四边形 ABCD 中，点 E 和点 F 是对角线 AC 上的两点，AE＝CF，DF ＝BE ，且 DF∥BE ，过点 C 作 CG⊥AB 交 AB 的延长线于点 G．
（1）求证： 四边形ABCD 是平行四边形；
（2）若 tan∠CAB＝
， ∠CBG＝45° ，BC＝4
，则▱ABCD 的面积是 ．
四、（每小题 8 分，共 16 分）
20 ．（8 分）“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能 及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间， 设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为 x 小时，将做家务的总时间分为五个类 别： A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并
将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中 m 的值是 ，类别 D 所对应的扇形圆心角的度数是 度； （4）若该校有 800 名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家 做家务的总时间不低于 20 小时．
21 ．（8 分） 2019 年 3 月 12 日是第 41 个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、 乙两种树苗，用 800 元购买甲种树苗的棵数与用 680 元购买乙种树苗的棵数相同，乙种 树苗每棵比甲种树苗每棵少 6 元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用 3800 元购买甲、乙两种树苗共 100 棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
五、（本题 10 分）
22 ．（10 分） 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，直线 MN 与⊙O 相切于点 C，过点 B 作 BD⊥MN 于点 D．
（1）求证： ∠ABC＝ ∠CBD；
（2）若 BC＝4
，CD＝4 ，则⊙O 的半径是 ．
六、（本题 10 分）
23 ．（10 分） 在平面直角坐标系中，直线y＝kx 4 （k≠0）交 x 轴于点 A（8 ，0），交y 轴于 点 B．
第 5页（共 27页）
（1）k 的值是 ；
（2）点 C 是直线AB 上的一个动点，点 D 和点 E 分别在 x 轴和y 轴上．
①如图，点 E 为线段 OB 的中点，且四边形 OCED 是平行四边形时，求▱OCED 的周长；
②当 CE 平行于 x 轴，CD 平行于y 轴时，连接 DE ，若△CDE 的面积为
，请直接写 出点 C 的坐标．
七、（本题 12 分）
24 ．（12 分） 思维启迪：
（1）如图 1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量 A ，B 间的距离， 但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法： 先在地上取一个可以直接到达 B 点的点 C， 连接 BC，取 BC 的中点 P（点 P 可以直接到达 A 点），利用工具过点 C 作 CD∥AB 交 AP 的延长线于点 D ，此时测得 CD＝200 米，那么 A ，B 间的距离是 米．
思维探索：
（2）在△ABC 和△ADE 中，AC＝BC，AE＝DE，且 AE＜AC， ∠ACB＝ ∠AED＝90°， 将△ADE 绕点 A 顺时针方向旋转，把点 E 在AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置（此 时点 B 和点 D 位于 AC 的两侧），设旋转角为α，连接 BD，点 P 是线段 BD 的中点，连接 PC，PE．
① 如图 2 ，当△ADE 在起始位置时 ，猜想： PC 与 PE 的数量关系和位置关系分别 是 ；
②如图 3 ，当α＝90°时，点 D 落在 AB 边上，请判断 PC 与 PE 的数量关系和位置关系， 并证明你的结论；
③当α＝150°时，若 BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2 的值．
八、（本题 12 分）
25 ．（12 分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2 bx 2 （a≠0）与 x 轴交于 A ，B 第 6页（共 27页）
两点（点A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C，抛物线经过点 D（ ﹣ 2 ， ﹣ 3）和点 E（3，
2），点 P 是第一象限抛物线上的一个动点．
（1）求直线 DE 和抛物线的表达式；
（2）在y 轴上取点 F（0 ，1），连接 PF，PB ，当四边形 OBPF 的面积是 7 时，求点 P 的
坐标；
（3）在（2）的条件下，当点 P 在抛物线对称轴的右侧时，直线 DE 上存在两点 M，N （点 M 在点 N 的上方），且 MN＝2
，动点 Q 从点 P 出发，沿 P→M→N→A 的路线运 动到终点A ，当点 Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点 N 的坐标．
2019 年辽宁省沈阳市中考数学试卷
A．
．
B．
．
C
D
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题 2 分，共 20 分）
1 ．（2 分） ﹣ 5 的相反数是（ ）
A ．5 B ． ﹣ 5 C ．
D ．
【解答】 解： ﹣ 5 的相反数是 5，
故选： A．
2．（2 分） 2019 年 1 月 1 日起我国开始贯彻《国务院关于印发个人所得税专项附加扣除暂行 办法的通知》 的要求，此次减税范围广，其中有 6500 万人减税 70%以上，将数据 6500 用科学记数法表示为（ ）
A ．6.5 ×102 B ．6.5×103 C ．65 ×103 D ．0.65×104 【解答】 解： 6500＝6.5×103，
故选： B．
3 ．（2 分） 如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
【解答】 解： 从上面看易得上面一层有 3 个正方形，下面左边有一个正方形．
故选： A．
4 ．（2 分） 下列说法正确的是（ ）
A ．若甲、乙两组数据的平均数相同，S 甲2＝0. 1 ，S 乙2＝0.04 ，则乙组数据较稳定
B ．如果明天降水的概率是 50% ，那么明天有半天都在降雨
C ．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式
D ．早上的太阳从西方升起是必然事件
【解答】 解： A 、 ∵S 甲2＝0. 1 ，S 乙2＝0.04 ， ∴S 甲2＞S 乙 2 ， ∴乙组数据较稳定，故本选 项正确；
B 、明天降雨的概率是 50%表示降雨的可能性，故此选项错误；
C、了解全国中学生的节水意识应选用抽样调查方式，故本选项错误；
D 、早上的太阳从西方升起是不可能事件，故本选项错误；
故选： A．
5 ．（2 分） 下列运算正确的是（ ）
A ．2m3 3m2＝5m5 B ．m3÷m2＝m
C ．m•（m2）3＝m6 D ．（m ﹣ n ）（n ﹣ m）＝n2 ﹣ m2 【解答】 解： A.2m3 3m2＝5m5 ，不是同类项，不能合并，故错误；
B ．m3÷m2＝m ，正确；
C．m•（m2）3＝m7 ，故错误；
D ．（m ﹣ n ）（n ﹣ m ）＝ ﹣ （m ﹣ n ）2＝ ﹣ n2 ﹣ m2 2mn ，故错误．
故选： B．
6 ．（2 分） 某青少年篮球队有 12 名队员，队员的年龄情况统计如下：
年龄（岁） | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
人数 | 3 | 1 | 2 | 5 | 1 |
则这 12 名队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A ．15 岁和 14 岁 B ．15 岁和 15 岁
C ．15 岁和 14.5 岁 D ．14 岁和 15 岁
【解答】 解： 在这 12 名队员的年龄数据里，15 岁出现了 5 次，次数最多，因而众数是
145
12 名队员的年龄数据里，第 6 和第 7 个数据的平均数
＝14.5，因而中位数是 14.5． 故选： C．
7 ．（2 分） 已知△ABC∽△A'B'C'，AD 和 A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6 ，则
△ABC 与△A'B'C'的周长比是（ ）
A ．3：5 B ．9：25 C ．5：3 D ．25：9
【解答】 解： ∵△ABC∽△A'B'C'，AD 和 A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，
∴△ABC 与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′ ＝10：6＝5：3．
故选： C．
8 ．（2 分） 已知一次函数y＝（k 1）x b 的图象如图所示，则 k 的取值范围是（ ）
A ．k＜0 B ．k＜ ﹣ 1 C ．k＜1 D ．k＞ ﹣ 1
【解答】 解： ∵观察图象知： y 随 x 的增大而减小，
∴k 1＜0，
解得： k＜ ﹣ 1，
故选： B．
9．（2 分） 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 和点 D 是⊙O 上位于直径 AB 两侧的点，连接 AC， AD ，BD ，CD ，若⊙O 的半径是 13 ，BD＝24 ，则 sin∠ACD 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】 解： ∵AB 是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵⊙O 的半径是 13，
∴AB＝2×13＝26，
由勾股定理得： AD＝10，
∴sin∠B＝
＝
＝
，
∵∠ACD＝ ∠B，
∴sin∠ACD＝sin∠B＝
，
故选： D．
10．（2 分） 已知二次函数y＝ax2 bx c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．abc＜0 B ．b2 ﹣ 4ac＜0 C ．a ﹣ b c＜0 D ．2a b＝0
【解答】 解： 由图可知 a＞0 ，与y 轴的交点 c＜0 ，对称轴 x＝1，
∴b＝ ﹣ 2a＜0；
∴abc＞0，A 错误；
由图象可知，函数与 x 轴有两个不同的交点， ∴△＞0 ，B 错误；
当 x＝ ﹣ 1 时，y＞0，
∴a ﹣ b c＞0 ，C 错误；
∵b＝ ﹣ 2a ，D 正确；
故选： D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11 ．（3 分） 因式分解： ﹣x2 ﹣ 4y2 4xy＝ ﹣ （x ﹣ 2y）2 ． 【解答】 解： ﹣x2 ﹣ 4y2 4xy，
＝ ﹣ （x2 4y2﹣ 4xy），
＝ ﹣ （x ﹣ 2y）2．
12 ．（3 分） 二元一次方程组
的解是
． 【解答】 解：
，
① ②得： 4x＝8， 解得 x＝2，
把 x＝2 代入②中得： 2 2y＝5，
解得y＝1.5，
所以原方程组的解为
．
故答案为
．
13 ．（3 分） 一个口袋中有红球、白球共 10 个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌 均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸
了 100 次球，发现有 70 次摸到红球．请你估计这个口袋中有 3 个白球．
【解答】 解： 由题意可得，红球的概率为 70% ．则白球的概率为 30%，
这个口袋中白球的个数： 10×30%＝3（个），
故答案为 3．
14 ．（3 分） 如图，在四边形ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是AB ，CD，AC，BD 的中点，
若AD＝BC＝2
，则四边形 EGFH 的周长是 4
．
【解答】 证明： ∵E、G 是AB 和 AC 的中点，
∴EG＝
BC＝
×
＝
，
同理 HF＝
BC＝
，
EH＝GF＝
AD＝
＝
．
∴四边形 EGFH 的周长是： 4×
＝4
．
故答案为： 4
．
15 ．（3 分） 如图，正比例函数y1＝k1x 的图象与反比例函数y2＝
（x＞0）的图象相交于 点A（
，2
），点 B 是反比例函数图象上一点，它的横坐标是 3 ，连接 OB，AB ，则
△AOB 的面积是 2
．
第 12页（共 27页）
．
【解答】 解：（ 1） ∵正比例函数y1＝k1x 的图象与反比例函数y2＝
交于点A（
，2
），
∴2
＝
k1 ，2
＝
，
∴k1＝2 ，k2＝6，
∴正比例函数为y＝2x ，反比例函数为： y＝
，
∵点 B 是反比例函数图象上一点，它的横坐标是 3，
∴y＝
＝2，
∴B （3 ，2），
∴D（ 1 ，2），
∴BD＝3 ﹣ 1＝2．
∴S△AOB＝S△ABD S△OBD＝ 故答案为 2
． |
| ×2×（2
﹣ 2） |
| ×2×2＝2
， |
（x＞0）的图象相
16 ．（3 分） 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 上有一点 E ，且 CE＝4AE ，点 F 在 DC 的延 长线上，连接 EF，过点 E 作 EG⊥EF，交 CB 的延长线于点 G ，连接 GF 并延长，交AC
的延长线于点 P ，若 AB＝5 ，CF＝2 ，则线段 EP 的长是
【解答】 解： 如图，作 FH⊥PE 于 H．
∵四边形ABCD 是正方形，AB＝5，
∴AC＝5
， ∠ACD＝ ∠FCH＝45°，
∵∠FHC＝90° ，CF＝2，
∴CH＝HF＝
，
∵CE＝4AE，
∴EC＝4
，AE＝
，
∴EH＝5
，
在 Rt△EFH 中，EF2＝EH2 FH2＝（5
）2 （
）2＝52，
∵∠GEF＝ ∠GCF＝90°，
∴E ，G ，F，C 四点共圆，
∴∠EFG＝ ∠ECG＝45°，
∴∠ECF＝ ∠EFP＝135°，
∵∠CEF＝ ∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴
＝
，
∴EF2＝EC•EP，
∴EP＝
＝
．
故答案为
．
三、解答题（第 17 小题 6 分，第 18 、19 小题各 8 分，共 22 分）
17 ．（6 分） 计算：（ ﹣
） ﹣ 2 2cos30° ﹣ |1 ﹣
| （ π ﹣ 2019）0．
【解答】 解： 原式＝4 2×
﹣
1 1
＝6．
18 ．（8 分） 为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开
展了多种社团活动．小明喜欢的社团有： 合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分
别用字母A，B ，C，D 依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的
不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团 B 的概率是
．
（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中 随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽
取的卡片中有一张是科技社团 D 的概率．
【解答】 解：（ 1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团 B 的概率＝
；
（2）列表如下：
A | B | C | D | |
A | （B，A） | （C，A） | （D，A） | |
B | （A ，B） | （C，B） | （D ，B） | |
C | （A ，C） | （B ，C） | ||
D | （A ，D） | （B ，D） | （C，D） | （D，D） |
由表可知共有 12 种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团 D 的结果数为
6 种，
所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团 D 的概率为
＝
．
19 ．（8 分） 如图，在四边形 ABCD 中，点 E 和点 F 是对角线 AC 上的两点，AE＝CF，DF
＝BE ，且 DF∥BE ，过点 C 作 CG⊥AB 交 AB 的延长线于点 G．
（1）求证： 四边形ABCD 是平行四边形；
（2）若 tan∠CAB＝
， ∠CBG＝45° ，BC＝4
，则▱ABCD 的面积是 24 ．
【解答】（1）证明： ∵AE＝CF，
∴AE ﹣ EF＝CF ﹣ EF，
即AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝ ∠BEC，
∵DF＝BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB ， ∠DAF＝ ∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
（2）解： ∵CG⊥AB，
∴∠G＝90°，
∵∠CBG＝45°，
∴△BCG 是等腰直角三角形，
∵BC＝4
，
∴BG＝CG＝4，
∵tan∠CAB＝
，
∴AG＝10，
∴AB＝6，
∴▱ABCD 的面积＝6×4＝24，
故答案为： 24．
四、（每小题 8 分，共 16 分）
20 ．（8 分）“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能 及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间， 设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为 x 小时，将做家务的总时间分为五个类 别： A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并 将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中 m 的值是 32 ，类别 D 所对应的扇形圆心角的度数是 57.6 度； （4）若该校有 800 名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家
做家务的总时间不低于 20 小时．
【解答】 解：（ 1）本次共调查了 10÷20%＝50 （人），
故答案为 50；
（2）B 类人数： 50×24%＝12 （人），
D 类人数： 50 ﹣ 10 ﹣ 12 ﹣ 16 ﹣ 4＝8 （人），
（3）
＝32% ，即 m＝32，
类别 D 所对应的扇形圆心角的度数 360°
故答案为 32 ，57.6；
×
＝57.6°，
（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于 20 小时的学生数．
800×（1 ﹣ 20% ﹣ 24%）＝448（名），
答： 估计该校有 448 名学生寒假在家做家务的总时间不低于 20 小时．
21 ．（8 分） 2019 年 3 月 12 日是第 41 个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、 乙两种树苗，用 800 元购买甲种树苗的棵数与用 680 元购买乙种树苗的棵数相同，乙种 树苗每棵比甲种树苗每棵少 6 元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用 3800 元购买甲、乙两种树苗共 100 棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【解答】 解：（ 1）设甲种树苗每棵 x 元，根据题意得：
， 解得： x＝40，
经检验： x＝40 是原方程的解，
答： 甲种树苗每棵 40 元；
（2）设购买乙中树苗y 棵，根据题意得：
40（100 ﹣ y） 36y≤3800，
解得： y≥33
，
∵y 是正整数，
∴y 最小取 34，
答： 至少要购买乙种树苗 34 棵．
五、（本题 10 分）
22 ．（10 分） 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，直线 MN 与⊙O 相切于点 C，过点 B 作 BD⊥MN 于点 D．
（1）求证： ∠ABC＝ ∠CBD；
（2）若 BC＝4
，CD＝4 ，则⊙O 的半径是 5 ．
【解答】（1）证明： 连接 OC，
∵MN 为⊙O 的切线，
∴OC⊥MN，
∵BD⊥MN，
∴OC∥BD，
∴∠CBD＝ ∠BCO．
又∵OC＝OB，
∴∠BCO ＝ ∠ABC，
∴∠CBD＝ ∠ABC．；
（2）解： 连接AC，
在 Rt△BCD 中，BC＝4
，CD＝4，
∴BD＝
＝8，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝ ∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝ ∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴
＝
，即
＝
，
∴AB＝10，
∴⊙O 的半径是 5，
故答案为 5．
六、（本题 10 分）
23 ．（10 分） 在平面直角坐标系中，直线y＝kx 4 （k≠0）交 x 轴于点 A（8 ，0），交y 轴于 点 B．
（1）k 的值是 ﹣
；
（2）点 C 是直线AB 上的一个动点，点 D 和点 E 分别在 x 轴和y 轴上．
①如图，点 E 为线段 OB 的中点，且四边形 OCED 是平行四边形时，求▱OCED 的周长；
②当 CE 平行于 x 轴，CD 平行于y 轴时，连接 DE ，若△CDE 的面积为
，请直接写
出点 C 的坐标．
【解答】 解：（ 1）将 A（8 ，0）代入y＝kx 4 ，得： 0＝8k 4，
解得： k＝ ﹣
．
故答案为： ﹣
．
（2）①由（1）可知直线AB 的解析式为y＝ ﹣
x 4．
当 x＝0 时，y＝ ﹣
x 4＝4，
∴点 B 的坐标为（0 ，4），
∴OB＝4．
∵点 E 为 OB 的中点，
∴BE＝OE＝
OB＝2．
∵点A 的坐标为（8 ，0），
∴OA＝8．
∵四边形 OCED 是平行四边形，
∴CE∥DA，
∴
＝
＝1，
∴BC＝AC，
∴CE 是△ABO 的中位线，
∴CE＝
OA＝4．
∵四边形 OCED 是平行四边形，
∴OD＝CE＝4 ，OC＝DE．
在 Rt△DOE 中， ∠DOE＝90° ，OD＝4 ，OE＝2，
∴DE＝
＝2
，
∴C 平行四边形OCED＝2 （OD DE）＝2 （4 2
）＝8 4
．
②设点 C 的坐标为（x ， ﹣
x 4），则 CE＝|x| ，CD＝| ﹣
x 4|，
∴S△CDE＝
CD•CE＝| ﹣
x2 2x|＝
，
∴x2 8x 33＝0 或 x2 8x ﹣ 33＝0．
方程 x2 8x 33＝0 无解；
解方程 x2 8x ﹣ 33＝0 ，得： x1＝ ﹣ 3，x2＝11，
∴点 C 的坐标为（ ﹣ 3 ，
）或（ 11 ， ﹣
）．
第 21页（共 27页）
七、（本题 12 分）
24 ．（12 分） 思维启迪：
（1）如图 1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量 A ，B 间的距离， 但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法： 先在地上取一个可以直接到达 B 点的点 C， 连接 BC，取 BC 的中点 P（点 P 可以直接到达 A 点），利用工具过点 C 作 CD∥AB 交 AP 的延长线于点 D ，此时测得 CD＝200 米，那么 A ，B 间的距离是 200 米．
思维探索：
（2）在△ABC 和△ADE 中，AC＝BC，AE＝DE，且 AE＜AC， ∠ACB＝ ∠AED＝90°， 将△ADE 绕点 A 顺时针方向旋转，把点 E 在AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置（此 时点 B 和点 D 位于 AC 的两侧），设旋转角为α，连接 BD，点 P 是线段 BD 的中点，连接 PC，PE．
①如图 2，当△ADE 在起始位置时，猜想： PC 与 PE 的数量关系和位置关系分别是 PC ＝PE ，PC⊥PE ． ；
②如图 3 ，当α＝90°时，点 D 落在 AB 边上，请判断 PC 与 PE 的数量关系和位置关系， 并证明你的结论；
③当α＝150°时，若 BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2 的值．
【解答】（1）解： ∵CD∥AB ， ∴∠C＝ ∠B，
在△ABP 和△DCP 中，
第 22页（共 27页）
， ∴△ABP≌△DCP（SAS），
∴DC＝AB．
∵AB＝200 米．
∴CD＝200 米，
故答案为： 200．
（2）①PC 与 PE 的数量关系和位置关系分别是 PC＝PE ，PC⊥PE．
理由如下： 如解图 1 ，延长 EP 交 BC 于 F，
同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（SAS），
∴PF＝PE ，BF＝DE，
又∵AC＝BC，AE＝DE，
∴FC＝EC，
又∵∠ACB＝90°，
∴△EFC 是等腰直角三角形，
∵EP＝FP，
∴PC＝PE ，PC⊥PE．
②PC 与 PE 的数量关系和位置关系分别是 PC＝PE ，PC⊥PE．
理由如下： 如解图 2 ，作 BF∥DE ，交 EP 延长线于点 F，连接 CE、CF，
同①理，可知△FBP≌△EDP（SAS），
∴BF＝DE ，PE＝PF＝
，
∵DE＝AE，
∴BF＝AE，
∵当α＝90°时， ∠EAC＝90°，
∴ED∥AC，EA∥BC
∵FB∥AC， ∠FBC＝90，
∴∠CBF＝ ∠CAE，
在△FBC 和△EAC 中，
第 23页（共 27页）
， ∴△FBC≌△EAC（SAS），
∴CF＝CE ， ∠FCB＝ ∠ECA，
∵∠ACB＝90°，
∴∠FCE＝90°，
∴△FCE 是等腰直角三角形，
∵EP＝FP，
∴CP⊥EP ，CP＝EP＝
．
③如解图 2 ，作 BF∥DE ，交 EP 延长线于点 F，连接 CE 、CF，过 E 点作 EH⊥AC 交 CA 延长线于 H 点，
当α＝150°时，由旋转旋转可知， ∠CAE＝150°，DE 与 BC 所成夹角的锐角为 30°，
∴∠FBC＝ ∠EAC＝α＝150°
同②可得△FBP≌△EDP（SAS），
同②△FCE 是等腰直角三角形，CP⊥EP ，CP＝EP＝
，
在 Rt△AHE 中， ∠EAH＝30°，AE＝DE＝1，
∴HE＝
，AH＝
，
又∵AC＝AB＝3，
∴AH＝3
，
∴EC2＝AH2 HE2＝
∴PC2＝
＝
．
八、（本题 12 分）
25 ．（12 分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2 bx 2 （a≠0）与 x 轴交于 A ，B 第 25页（共 27页）
两点（点A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C，抛物线经过点 D（ ﹣ 2 ， ﹣ 3）和点 E（3，
2），点 P 是第一象限抛物线上的一个动点．
（1）求直线 DE 和抛物线的表达式；
（2）在y 轴上取点 F（0 ，1），连接 PF，PB ，当四边形 OBPF 的面积是 7 时，求点 P 的 坐标；
（3）在（2）的条件下，当点 P 在抛物线对称轴的右侧时，直线 DE 上存在两点 M，N （点 M 在点 N 的上方），且 MN＝2
，动点 Q 从点 P 出发，沿 P→M→N→A 的路线运
动到终点A ，当点 Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点 N 的坐标．
【解答】 解：（ 1）将点 D、E 的坐标代入函数表达式得：
，解得：
，
故抛物线的表达式为： y＝ ﹣
x2
x 2，
同理可得直线 DE 的表达式为： y＝x ﹣ 1…①；
（2）如图 1 ，连接 BF，过点 P 作 PH∥y 轴交 BF 于点 H，
将点 FB 代入一次函数表达式，
同理可得直线 BF 的表达式为： y＝ ﹣
x 1，
设点 P（x ， ﹣
x2
x 2），则点 H（x ， ﹣
x 1），
S 四边形OBPF＝S△OBF S△PFB＝
×4×1
×PH×BO ＝2 2 （ ﹣
x2
x 2
x ﹣ 1）＝7， 解得： x＝2 或
，
故点 P（2 ，3）或（
，
）；
（3）当点 P 在抛物线对称轴的右侧时，点 P（2 ，3），
过点 M 作A′M∥AN，过作点A′直线 DE 的对称点A″，连接 PA″交直线 DE 于点 M，
此时，点 Q 运动的路径最短，
∵MN＝2
，相当于向上、向右分别平移 2 个单位，故点A′（1 ，2）， A′A″⊥DE ，则直线A′A″过点A′ ，则其表达式为： y＝ ﹣ x 3…②， 联立①②得 x＝2 ，则A′A″中点坐标为（2 ，1），
由中点坐标公式得： 点A″（3 ，0），
同理可得： 直线AP″的表达式为： y＝ ﹣ 3x 9…③，
联立①③并解得： x＝
，即点 M（
，
），
点 M沿 BD 向下平移 2
个单位得： N（
， ﹣
