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2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00 分）已知集合 A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则 A∩B=（ ）
A．{0，2} B．{1，2} C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
2．（5.00 分）设 z= 2i，则|z|=（ ）
A．0 B． C．1 D．
3．（5.00 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现
翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设
前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．（5.00 分）已知椭圆 C： =1 的一个焦点为（2，0），则 C 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（5.00 分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平面
截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A．12 π B．12π C．8 π D．10π
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6．（5.00 分）设函数 f（x）=x3 （a﹣1）x2 ax．若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f
（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）
A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x
7．（5.00 分）在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 =（ ）
A． ﹣ B． ﹣ C． D．
8．（5.00 分）已知函数 f（x）=2cos2x﹣sin2x 2，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为 π，最大值为 3
B．f（x）的最小正周期为 π，最大值为 4
C．f（x）的最小正周期为 2π，最大值为 3
D．f（x）的最小正周期为 2π，最大值为 4
9．（5.00 分）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点
M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在
此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．2
10．（5.00 分）在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=2，AC1 与平面 BB1C1C 所成
的角为 30°，则该长方体的体积为（ ）
A．8 B．6 C．8 D．8
11．（5.00 分）已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边
上有两点 A（1，a），B（2，b），且 cos2α= ，则|a﹣b|=（ ）
A． B． C． D．1
12．（5.00 分）设函数 f（x）= ，则满足 f（x 1）＜f（2x）的 x 的取
值范围是（ ）
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A．（﹣∞，﹣1] B．（0， ∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0）
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分。
13．（5.00 分）已知函数 f（x）=log2（x2 a），若 f（3）=1，则 a= ．
14．（5.00 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x 2y 的最大值为 ．
15．（5.00 分）直线 y=x 1 与圆 x2 y2 2y﹣3=0 交于 A，B 两点，则|AB|= ．
16．（5.00 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c．已知
bsinC csinB=4asinBsinC，b2 c2﹣a2=8，则△ABC 的面积为 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求
作答。（一）必考题：共 60 分。
17．（12.00 分）已知数列{an}满足 a1=1，nan 1=2（n 1）an，设 bn= ．
（1）求 b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的通项公式．
18．（12.00 分）如图，在平行四边形 ABCM 中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以 AC
为折痕将△ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA．
（1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC；
（2）Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP=DQ= DA，求三棱锥 Q
﹣ABP 的体积．
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19．（12.00 分）某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位：m3）
和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表
日用水
量
[0，0.1） [0.1，
0.2）
[0.2，
0.3）
[0.3，
0.4）
[0.4，
0.5）
[0.5，
0.6）
[0.6，
0.7）
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表
日用水
量
[0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6）
频数 1 5 13 10 16 5
（1）作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35m3 的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，
同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
20．（12.00 分）设抛物线 C：y2=2x，点 A（2，0），B（﹣2，0），过点 A 的直线
l 与 C 交于 M，N 两点．
（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；
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（2）证明：∠ABM=∠ABN．
21．（12.00 分）已知函数 f（x）=aex﹣lnx﹣1．
（1）设 x=2 是 f（x）的极值点，求 a，并求 f（x）的单调区间；
（2）证明：当 a≥ 时，f（x）≥0．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10.00 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y=k|x| 2．以坐标原点
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2 2ρcosθ﹣
3=0．
（1）求 C2 的直角坐标方程；
（2）若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程．
[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知 f（x）=|x 1|﹣|ax﹣1|．
（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）＞1 的解集；
（2）若 x∈（0，1）时不等式 f（x）＞x 成立，求 a 的取值范围．
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2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00 分）已知集合 A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则 A∩B=（ ）
A．{0，2} B．{1，2} C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可．
【解答】解：集合 A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
则 A∩B={0，2}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查．
2．（5.00 分）设 z= 2i，则|z|=（ ）
A．0 B． C．1 D．
【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．
【解答】解：z= 2i= 2i=﹣i 2i=i，
则|z|=1．
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．
3．（5.00 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现
翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设
前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
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则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【分析】设建设前经济收入为 a，建设后经济收入为 2a．通过选项逐一分析新农
村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．
【解答】解：设建设前经济收入为 a，建设后经济收入为 2a．
A 项，种植收入 37%×2a﹣60%a=14%a＞0，
故建设后，种植收入增加，故 A 项错误．
B 项，建设后，其他收入为 5%×2a=10%a，
建设前，其他收入为 4%a，
故 10%a÷4%a=2.5＞2，
故 B 项正确．
C 项，建设后，养殖收入为 30%×2a=60%a，
建设前，养殖收入为 30%a，
故 60%a÷30%a=2，
故 C 项正确．
D 项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为
（30% 28%）×2a=58%×2a，
经济收入为 2a，
故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，
故 D 项正确．
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因为是选择不正确的一项，
故选：A．
【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现
问题解决问题的能力．
4．（5.00 分）已知椭圆 C： =1 的一个焦点为（2，0），则 C 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用椭圆的焦点坐标，求出 a，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：椭圆 C： =1 的一个焦点为（2，0），
可得 a2﹣4=4，解得 a=2 ，
∵c=2，
∴e= = = ．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
5．（5.00 分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平面
截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A．12 π B．12π C．8 π D．10π
【分析】利用圆柱的截面是面积为 8 的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后
求解圆柱的表面积．
【解答】解：设圆柱的底面直径为 2R，则高为 2R，
圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，
过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，
可得：4R2=8，解得 R= ，
则该圆柱的表面积为： =12π．
故选：B．
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【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是
基本知识的考查．
6．（5.00 分）设函数 f（x）=x3 （a﹣1）x2 ax．若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f
（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）
A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x
【分析】利用函数的奇偶性求出 a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解
切线方程．
【解答】解：函数 f（x）=x3 （a﹣1）x2 ax，若 f（x）为奇函数，
可得 a=1，所以函数 f（x）=x3 x，可得 f′（x）=3x2 1，
曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，
则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．
7．（5.00 分）在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 =（ ）
A． ﹣ B． ﹣ C． D．
【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
【解答】解：在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，
= ﹣ = ﹣
= ﹣ × （ ）
= ﹣ ，
故选：A．
【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．
8．（5.00 分）已知函数 f（x）=2cos2x﹣sin2x 2，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为 π，最大值为 3
B．f（x）的最小正周期为 π，最大值为 4
第 10 页（共 23 页）
C．f（x）的最小正周期为 2π，最大值为 3
D．f（x）的最小正周期为 2π，最大值为 4
【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函
数，进一步利用余弦函数的性质求出结果．
【解答】解：函数 f（x）=2cos2x﹣sin2x 2，
=2cos2x﹣sin2x 2sin2x 2cos2x，
=4cos2x sin2x，
=3cos2x 1，
= ，
= ，
故函数的最小正周期为 π，
函数的最大值为 ，
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质
的应用．
9．（5.00 分）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点
M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在
此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．2
【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．
【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长 16，高为：2，
直观图以及侧面展开图如图：
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圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的
路径中，最短路径的长度： =2 ．
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计
算能力．
10．（5.00 分）在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=2，AC1 与平面 BB1C1C 所成
的角为 30°，则该长方体的体积为（ ）
A．8 B．6 C．8 D．8
【分析】画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可．
【解答】解：长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=2，
AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30°，
即∠AC1B=30°，可得 BC1= =2 ．
可得 BB1= =2 ．
所以该长方体的体积为：2× =8 ．
故选：C．
【点评】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能
力．
11．（5.00 分）已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边
第 12 页（共 23 页）
上有两点 A（1，a），B（2，b），且 cos2α= ，则|a﹣b|=（ ）
A． B． C． D．1
【分析】推导出 cos2α=2cos2α﹣1= ，从而|cosα|= ，进而|tanα|=| |=|a
﹣b|= ．由此能求出结果．
【解答】解：∵角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，
终边上有两点 A（1，a），B（2，b），且 cos2α= ，
∴cos2α=2cos2α﹣1= ，解得 cos2α= ，
∴|cosα|= ，∴|sinα|= = ，
|tanα|=| |=|a﹣b|= = = ．
故选：B．
【点评】本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础
知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
12．（5.00 分）设函数 f（x）= ，则满足 f（x 1）＜f（2x）的 x 的取
值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．（0， ∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0）
【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．
【解答】解：函数 f（x）= ，的图象如图：
满足 f（x 1）＜f（2x），
可得：2x＜0＜x 1 或 2x＜x 1≤0，
解得 x∈（﹣∞，0）．
故选：D．
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【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算
能力．
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分。
13．（5.00 分）已知函数 f（x）=log2（x2 a），若 f（3）=1，则 a= ﹣7 ．
【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可．
【解答】解：函数 f（x）=log2（x2 a），若 f（3）=1，
可得：log2（9 a）=1，可得 a=﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数的领导与方程根的关系，是基本知
识的考查．
14．（5.00 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x 2y 的最大值为 6 ．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由 z=3x 2y 得 y=﹣ x z，
平移直线 y=﹣ x z，
由图象知当直线 y=﹣ x z 经过点 A（2，0）时，直线的截距最大，此时 z 最
大，
第 14 页（共 23 页）
最大值为 z=3×2=6，
故答案为：6
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合
是解决本题的关键．
15．（5.00 分）直线 y=x 1 与圆 x2 y2 2y﹣3=0 交于 A，B 两点，则|AB|= 2 ．
【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，
求解即可．
【解答】解：圆 x2 y2 2y﹣3=0 的圆心（0，﹣1），半径为：2，
圆心到直线的距离为： = ，
所以|AB|=2 =2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．
16．（5.00 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c．已知
bsinC csinB=4asinBsinC，b2 c2﹣a2=8，则△ABC 的面积为 ．
【分析】直接利用正弦定理求出 A 的值，进一步利用余弦定理求出 bc 的值，最
第 15 页（共 23 页）
后求出三角形的面积．
【解答】解：△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．
bsinC csinB=4asinBsinC，
利用正弦定理可得 sinBsinC sinCsinB=4sinAsinBsinC，
由于 0＜B＜π，0＜C＜π，
所以 sinBsinC≠0，
所以 sinA= ，
则 A=
由于 b2 c2﹣a2=8，
则： ，
①当 A= 时， ，
解得 bc= ，
所以 ．
②当 A= 时， ，
解得 bc=﹣ （不合题意），舍去．
故： ．
故答案为： ．
【点评】本体考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定
理的应用及三角形面积公式的应用．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求
作答。（一）必考题：共 60 分。
17．（12.00 分）已知数列{an}满足 a1=1，nan 1=2（n 1）an，设 bn= ．
（1）求 b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
第 16 页（共 23 页）
（3）求{an}的通项公式．
【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项．
（2）利用定义说明数列为等比数列．
（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式．
【解答】解：（1）数列{an}满足 a1=1，nan 1=2（n 1）an，
则： （常数），
由于 ，
故： ，
数列{bn}是以 b1 为首项，2 为公比的等比数列．
整理得： ，
所以：b1=1，b2=2，b3=4．
（2）数列{bn}是为等比数列，
由于 （常数）；
（3）由（1）得： ，
根据 ，
所以： ．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．
18．（12.00 分）如图，在平行四边形 ABCM 中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以 AC
为折痕将△ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA．
（1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC；
（2）Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP=DQ= DA，求三棱锥 Q
﹣ABP 的体积．
第 17 页（共 23 页）
【分析】（1）可得 AB⊥AC，AB⊥DA．且 AD∩AB=A，即可得 AB⊥面 ADC，平面
ACD⊥平面 ABC；
（2）首先证明 DC⊥面 ABC，再根据 BP=DQ= DA，可得三棱锥 Q﹣ABP 的高，
求出三角形 ABP 的面积即可求得三棱锥 Q﹣ABP 的体积．
【解答】解：（1）证明：∵在平行四边形 ABCM 中，∠ACM=90°，∴AB⊥AC，
又 AB⊥DA．且 AD∩AB=A，
∴AB⊥面 ADC，∴AB⊂面 ABC，
∴平面 ACD⊥平面 ABC；
（2）∵AB=AC=3，∠ACM=90°，∴AD=AM=3 ，
∴BP=DQ= DA=2 ，
由（1）得 DC⊥AB，又 DC⊥CA，∴DC⊥面 ABC，
∴三棱锥 Q﹣ABP 的体积 V=
= × × = =1．
【点评】本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的
能力，属于中档题．
19．（12.00 分）某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位：m3）
和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表
日用水
量
[0，0.1） [0.1，
0.2）
[0.2，
0.3）
[0.3，
0.4）
[0.4，
0.5）
[0.5，
0.6）
[0.6，
0.7）
第 18 页（共 23 页）
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表
日用水
量
[0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6）
频数 1 5 13 10 16 5
（1）作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35m3 的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，
同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
【分析】（1）根据使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表能作出使用了节
水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图．
（2）根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35m3
的概率．
（3）由题意得未使用水龙头 50 天的日均水量为 0.48，使用节水龙头 50 天的日
均用水量为 0.35，能此能估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水．
【解答】解：（1）根据使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表，
作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：
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（2）根据频率分布直方图得：
该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35m3 的概率为：
p=（0.2 1.0 2.6 1）×0.1=0.48．
（3）由题意得未使用水龙头 50 天的日均水量为：
（1×0.05 3×0.15 2×0.25 4×0.35 9×0.45 26×0.55 5×0.65）=0.48，
使用节水龙头 50 天的日均用水量为：
（1×0.05 5×0.15 13×0.25 10×0.35 16×0.45 5×0.55）=0.35，
∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.48﹣0.35）=47.45m3．
【点评】本题考查频率分由直方图的作法，考查概率的求法，考查平均数的求法
及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20．（12.00 分）设抛物线 C：y2=2x，点 A（2，0），B（﹣2，0），过点 A 的直线
l 与 C 交于 M，N 两点．
（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；
（2）证明：∠ABM=∠ABN．
【分析】（1）当 x=2 时，代入求得 M 点坐标，即可求得直线 BM 的方程；
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（2）设直线 l 的方程，联立，利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得 kBN kBM=0，
即可证明∠ABM=∠ABN．
【解答】解：（1）当 l 与 x 轴垂直时，x=2，代入抛物线解得 y=±2，
所以 M（2，2）或 M（2，﹣2），
直线 BM 的方程：y= x 1，或：y=﹣ x﹣1．
（2）证明：设直线 l 的方程为 l：x=ty 2，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立直线 l 与抛物线方程得 ，消 x 得 y2﹣2ty﹣4=0，
即 y1 y2=2t，y1y2=﹣4，
则 有
kBN kBM= = = =0
，
所以直线 BN 与 BM 的倾斜角互补，
∴∠ABM=∠ABN．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，直
线的斜率公式，考查转化思想，属于中档题．
21．（12.00 分）已知函数 f（x）=aex﹣lnx﹣1．
（1）设 x=2 是 f（x）的极值点，求 a，并求 f（x）的单调区间；
（2）证明：当 a≥ 时，f（x）≥0．
【分析】（1）推导出 x＞0，f′（x）=aex﹣ ，由 x=2 是 f（x）的极值点，解得 a= ，
从而 f（x）= ex﹣lnx﹣1，进而 f′（x）= ，由此能求出 f（x）的单
调区间．
（2）当 a≥ 时，f（x）≥ ﹣lnx﹣1，设 g（x）= ﹣lnx﹣1，则
﹣ ，由此利用导数性质能证明当 a≥ 时，f（x）≥0．
【解答】解：（1）∵函数 f（x）=aex﹣lnx﹣1．
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∴x＞0，f′（x）=aex﹣ ，
∵x=2 是 f（x）的极值点，
∴f′（2）=ae2﹣ =0，解得 a= ，
∴f（x）= ex﹣lnx﹣1，∴f′（x）= ，
当 0＜x＜2 时，f′（x）＜0，当 x＞2 时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2， ∞）单调递增．
（2）证明：当 a≥ 时，f（x）≥ ﹣lnx﹣1，
设 g（x）= ﹣lnx﹣1，则 ﹣ ，
当 0＜x＜1 时，g′（x）＜0，
当 x＞1 时，g′（x）＞0，
∴x=1 是 g（x）的最小值点，
故当 x＞0 时，g（x）≥g（1）=0，
∴当 a≥ 时，f（x）≥0．
【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力
和综合应用能力，是中档题．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10.00 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y=k|x| 2．以坐标原点
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2 2ρcosθ﹣
3=0．
（1）求 C2 的直角坐标方程；
（2）若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行
转化．
（2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2 2ρcosθ﹣3=0．
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转换为直角坐标方程为：x2 y2 2x﹣3=0，
转换为标准式为：（x 1）2 y2=4．
（2）由于曲线 C1 的方程为 y=k|x| 2，则：该直线关于 y 轴对称，且恒过定点（0，
2）．
由于该直线与曲线 C2 的极坐标有且仅有三个公共点．
所以：必有一直线相切，一直线相交．
则：圆心到直线 y=kx 2 的距离等于半径 2．
故： ，或
解得：k= 或 0，（0 舍去）或 k= 或 0
经检验，直线 与曲线 C2 没有公共点．
故 C1 的方程为： ．
【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直
线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用．
[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知 f（x）=|x 1|﹣|ax﹣1|．
（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）＞1 的解集；
（2）若 x∈（0，1）时不等式 f（x）＞x 成立，求 a 的取值范围．
【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，
（2）当 x∈（0，1）时不等式 f（x）＞x 成立，转化为即|ax﹣1|＜1，即 0＜ax
＜2，转化为 a＜ ，且 a＞0，即可求出 a 的范围．
【解答】解：（1）当 a=1 时，f（x）=|x 1|﹣|x﹣1|= ，
由 f（x）＞1，
∴ 或 ，
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解得 x＞ ，
故不等式 f（x）＞1 的解集为（ ， ∞），
（2）当 x∈（0，1）时不等式 f（x）＞x 成立，
∴|x 1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即 x 1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即|ax﹣1|＜1，
∴﹣1＜ax﹣1＜1，
∴0＜ax＜2，
∵x∈（0，1），
∴a＞0，
∴0＜x＜ ，
∴a＜
∵ ＞2，
∴0＜a≤2，
故 a 的取值范围为（0，2]．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力
和转化能力，属于中档题．
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