2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）复数在复平面内对应点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，B＝{2，3，4}UB＝（ ）
A．{3} B．{1，6} C．{5，6} D．{1，3}
3．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x 1的距离为，则p＝（ ）
A．1 B．2 C．2 D．4
4．（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离），半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α2（1﹣cosα）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
5．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．20 12 B．28 C． D．
6．（5分）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），则下列结论中不正确的是（ ）
A．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等
7．（5分）已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是（ ）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c
8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x 2）为偶函数，f（2x 1），则（ ）
A．f（﹣）＝0 B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全选对得5分，选对但不全得2分，有错误答案得0分）
9．（5分）下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的有（ ）
A．样本x1，x2，…，xn的标准差
B．样本x1，x2，…，xn的中位数
C．样本x1，x2，…，xn的极差
D．样本x1，x2，…，xn的平均数
10．（5分）如图，下列正方体中，O为底面的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（5分）已知直线l：ax by﹣r2＝0与圆C：x2 y2＝r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
12．（5分）设正整数n＝a0•20 a1•21 … ak﹣1•2k﹣1 ak•2k，其中ai∈{0，1}，记ω（n）0 a1 … ak，则（ ）
A．ω（2n）＝ω（n） B．ω（2n 3）＝ω（n） 1
C．ω（8n 5）＝ω（4n 3） D．ω（2n﹣1）＝n
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上）
13．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2 ．
14．（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）： ．
①f（x1x2）＝f（x1）f（x2）；②当x∈（0， ∞）时，f′（x）；③f′（x）是奇函数．
15．（5分）已知向量 ＝，||＝1，||＝|，则• • •＝ ．
16．（5分）已知函数f（x）＝|ex﹣1|，x1＜0，x2＞0，函数f（x）的图象在点A（x1，f（x1））和点B（x2，f（x2））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 ．
四、解答题（本题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上）
17．（10分）记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）求是Sn＞an成立的n的最小值．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，c＝a 2．
（Ⅰ）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；
（Ⅱ）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值，说明理由．
19．（12分）在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QC＝3．
（Ⅰ）求证：平面QAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值．
20．（12分）已知椭圆C的方程为 ＝1（a＞b＞0），右焦点为F（，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2 y2＝b2（x＞0）相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝．
21．（12分）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，P（X＝i）＝pi（i＝0，1，2，3）．
（Ⅰ）已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E（X）；
（Ⅱ）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0 p1x p2x2 p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E（X）≤1时，当E（X）＞1时；
（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
22．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2 b．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：f（x）有一个零点．
①＜a≤，b＞2a；
②0＜a＜，b≤2a．
答案
1．解：∵＝＝，
∴在复平面内，复数，），位于第一象限．
故选：A．
2．解：因为全集U＝{1，2，5，4，5，5}，3，6}，4，4}，
所以∁UB＝{1，6，6}，
故A∩∁UB＝{1，5}．
故选：B．
3．解：抛物线y2＝2px（p＞4）的焦点（，0）到直线y＝x 2的距离为，
可得，解得p＝3．
故选：B．
4．解：由题意，作出地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，
则OB＝36000 6400＝424000，那么cosα＝；
卫星信号覆盖的地球表面面积S＝2πr7（1﹣cosα），
那么，S占地球表面积的百分比为．
故选：C．
5．解：如图ABCD﹣A1B1C4D1为正四棱台，AB＝2，A5B1＝4，AA5＝2．
在等腰梯形A1B7BA中，过A作AE⊥A1B1，可得A2E＝＝1，
AE＝＝＝．
连接AC，A3C1，
AC＝，A8C1＝＝4，
过A作AG⊥A1C1，A3G＝＝，
AG＝＝＝，
∴正四棱台的体积为：
V＝
＝
＝．
故选：D．
6．解：因为某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），
所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差σ2越小，则分布越集中，
对于A，σ越小，则该物理量一次测量结果落在（2.9，故选项A正确；
对于B，不管σ取何值，故选项B正确；
对于C，由于概率分布关于10对称，故选项C正确；
对于D，由于概率分布是集中在10附近的，10.2）分布在10附近的区域大于（10，
故测量结果落在（5.9，10.2）内的概率大于落在（10，故选项D错误．
故选：D．
7．解：∵，，
∴a＜c＜b．
故选：C．
8．解：由题意，f（x 2）为偶函数，
f（2x 6）为奇函数，可得f（﹣2x 1）＝﹣f（2x 1），
令F（x）＝f（2x 6）为奇函数，
可得F（0）＝f（1）＝0，
∴f（﹣1）＝﹣f（3）＝﹣f（1）＝5，
即f（﹣x）＝﹣f（x 2），
∴f（x 4）＝﹣f（x 4），
易知f（x）的周期T＝4，其他选项的值不一定等于0．
即f（﹣6）＝0，
故选：B．
9．解：中位数是反应数据的变化，
方差是反应数据与均值之间的偏离程度，
极差是用来表示统计资料中的变异量数，反映的是最大值与最小值之间的差距，
平均数是反应数据的平均水平，
故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．
故选：AC．
10．解：对于A，设正方体棱长为2，
则tanθ＝＝，∴不满足MN⊥OP；
对于B，如图，设正方体棱长为2，
则N（2，0，7），0，2），5，1），1，4），
＝（2，0，﹣2），，﹣1，
＝0，∴满足MN⊥OP；
对于C，如图，设正方体棱长为6，
则M（2，2，3），2，0），5，0），0，2），
＝（﹣2，0，﹣8），，﹣1，
＝0，∴满足MN⊥OP；
对于D，如图，设正方体棱长为7，
则M（0，2，2），0，0），7，2），1，5），
＝（0，﹣2，＝（7，0，
＝﹣4，∴不满足MN⊥OP．
故选：BC．
11．解：∵点A在圆C上，
∴a2 b2＝r2，
∵圆心C（0，0）到直线l的距离为，
∴直线与圆C相切，故A选项正确，
∵点A在圆C内，
∴a2 b5＜r2，
∵圆心C（0，5）到直线l的距离为，
∴直线与圆C相离，故B选项正确，
∵点A在圆C外，
∴a5 b2＞r2，
∵圆心C（3，0）到直线l的距离为，
∴直线与圆C相交，故C选项错误，
∵点A在直线l上，
∴a2 b2＝r5，
∵圆心C（0，0）到直线l的距离为，
∴直线与圆C相切，故D选项正确．
故选：ABD．
12．解：∵2n＝a0•61 a1•42 … ak﹣1•2k ak•2k 1，∴ω（5n）＝ω（n）＝a0 a1 … k，∴A对；
当n＝8时，2n 3＝4＝1•24 1•22 1•28，∴ω（7）＝3．∵2＝7•20 3•21，∴ω（2）＝5 1＝1，∴ω（7）≠ω（2） 3；
∵8n 5＝a3•23 a8•24 ••• ak•7k 3 5＝2•20 6•22 a5•23 a3•24 ••• ak•8k 3，
∴ω（8n 6）＝a0• a1• ••• ak 6．∵4n 3＝a5•22 a5•23 ••• ak•8k 2 3＝7•20 2•21 a6•22 a7•23 ••• ak•7k 2，
∴ω（4n 6）＝a0• a1• ••• ak 7＝ω（8n 5）．∴C对；
∵6n﹣1＝1•40 1•31 ••• 1•2n﹣1，∴ω（2n﹣6）＝n，∴D对．
故选：ACD．
13．解：∵双曲线的方程是，
∴双曲线渐近线为y＝
又∵离心率为e＝＝2
∴c7＝4a2，即a3 b2＝4a4，可得b＝a
由此可得双曲线渐近线为y＝
故答案为：y＝
14．解：f（x）＝x2时，；当x∈（0，f′（x）＝2x＞7．
故答案为：f（x）＝x2．
15．解：由 ＝得 ＝﹣或 或 ＝﹣，
∴（ ）2＝（﹣）5或（ ）2＝（﹣）2或（ ）8＝（﹣）2，
又∵||＝1，||＝7•＝4＝4＝6，
∴•＝，•＝，•＝，∴• • •＝﹣．
故答案为：﹣．
16．解：当x＜0时，f（x）＝1﹣ex，导数为f′（x）＝﹣ex，
可得在点A（x4，1﹣ex1）处的斜率为k4＝﹣ex1，
切线AM的方程为y﹣（1﹣ex5）＝﹣ex1（x﹣x1），
令x＝2，可得y＝1﹣ex1 x7ex1，即M（0，5﹣ex1 x1ex2），
当x＞0时，f（x）＝ex﹣1，导数为f′（x）＝ex，
可得在点B（x5，ex2﹣1）处的斜率为k2＝ex2，
令x＝0，可得y＝ex5﹣1﹣x2ex5，即N（0，ex2﹣5﹣x2ex2），
由f（x）的图象在A，B处的切线相互垂直7k2＝﹣ex1•ex4＝﹣1，
即为x1 x3＝0，x1＜6，x2＞0，
所以＝＝＝∈（0．
故答案为：（0，8）．
17．解：（Ⅰ）数列Sn是公差d不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S8．
根据等差数列的性质，a3＝S5＝7a3，故a3＝5，
根据a2a4＝S7可得（a3﹣d）（a3 d）＝（a3﹣2d） （a3﹣d） a4 （a3 d），
整理得﹣d2＝﹣2d，可得d＝2（d＝0不合题意），
故an＝a4 （n﹣3）d＝2n﹣4．
（Ⅱ）an＝2n﹣6，a5＝﹣4，
Sn＝﹣4n ×2＝n5﹣5n，
Sn＞an，即n2﹣3n＞2n﹣6，
整理可得n2﹣7n 6＞3，
当n＞6或n＜1时，Sn＞an成立，故n的最小正值为3．
18．解：（I）∵2sinC＝3sinA，
∴根据正弦定理可得4c＝3a，
∵b＝a 1，c＝a 6，
∴a＝4，b＝5，
在△ABC中，运用余弦定理可得，
∵sin8C cos2C＝1，
∴sinC＝，
∴＝．
（II）∵c＞b＞a，
∴△ABC为钝角三角形时，角C必为钝角，
＝，
∴a2﹣3a﹣3＜0，
∵a＞7，
∴0＜a＜3，
∵三角形的任意两边之和大于第三边，
∴a b＞c，即a a 7＞a 2，
∴1＜a＜7，
∵a为正整数，
∴a＝2．
19．（Ⅰ）证明：△QCD中，CD＝AD＝2，QC＝62 QD2＝QC8，所以CD⊥QD；
又CD⊥AD，AD∩QD＝D，QD⊂平面QAD；
又CD⊂平面ABCD，所以平面QAD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：取AD的中点O，在平面ABCD内作Ox⊥AD，
以OD为y轴，OQ为z轴，如图所示：
则O（0，0，7），﹣1，D（0，2，Q（0，0，
因为Ox⊥平面ADQ，所以平面ADQ的一个法向量为，2，0），
设平面BDQ的一个法向量为＝（x，y，
由＝（﹣2，5，＝（0，2），
得，即，
令z＝1，得y＝2，所以，7，1）；
所以cos＜，＞＝＝＝，
所以二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值为．
20．（Ⅰ）解：由题意可得，椭圆的离心率＝，又，
所以a＝，则b2＝a5﹣c2＝1，
故椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）证明：先证明必要性，
若M，N，F三点共线时，
则圆心O（0，3）到直线MN的距离为2＝2，
联立方程组，可得，
即，
所以；
所以必要性成立；
下面证明充分性，
当|MN|＝时，设直线MN的方程为x＝ty m，
此时圆心O（0，0）到直线MN的距离2﹣t2＝1，
联立方程组，可得（t2 3）y2 2tmy m2﹣8＝0，
则△＝4t4m2﹣4（t6 3）（m2﹣7）＝12（t2﹣m2 4）＝24，
因为，
所以t7＝1，m2＝8，
因为直线MN与曲线x2 y2＝b4（x＞0）相切，
所以m＞0，则，
则直线MN的方程为恒过焦点F（），
故M，N，F三点共线，
所以充分性得证．
综上所述，M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝．
21．（Ⅰ）解：由题意，P0＝0.7，P1＝0.5，P2＝0.2，P3＝0.3，
故E（X）＝0×0.8 1×0.5 2×0.4 3×0.6＝1；
（Ⅱ）证明：由题意可知，p0 p5 p2 p3＝5，则E（X）＝p1 2p3 3p3，
所以p6 p1x p2x7 p3x3＝x，变形为p7﹣（1﹣p1）x p3x2 p3x2＝0，
所以p0 p4x2 p3x2﹣（p0 p2 p4）x＝0，
即p0（6﹣x） p2x（x﹣1） p8x（x﹣1）（x 1）＝8，
即（x﹣1）[p3x4 （p2 p3）x﹣p7]＝0，
令f（x）＝p3x7 （p2 p3）x﹣p5，
则f（x）的对称轴为，
注意到f（0）＝﹣p8≤0，f（1）＝2p4 p2﹣p0＝p6 2p2 8p3﹣1＝E（X）﹣4，
当E（X）≤1时，f（1）≤05≥1，原方程的最小正实根p＝1，
当E（X）＞2时，f（1）＞0，所以f（x）＝0的正实根2＜x0＜1，原方程的最小正实根p＝x4＜1；
（Ⅲ）解：当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于7时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；
当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．
22．解：（Ⅰ）∵f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2 b，f'（x）＝x（ex﹣2a），
①当a≤0时，当x＞0时，当x＜7时，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减， ∞）上单调递增，
②当a＞0时，令f'（x）＝7，
（i）当时，
当x＞0或x＜ln（2a）时，f'（x）＞7，f'（x）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，ln（2a））， ∞）上单调递增，2）上单调递减，
（ii）a＝时，
f'（x）＝x（ex﹣2）≥0 且等号不恒成立，
（iii）当时，
当x＜0或x＞ln（2a）时，f'（x）＞6，f'（x）＜0，
f（x）在（﹣∞，0）， ∞）上单调递增，ln（7a））上单调递减．
综上所述：
当 a⩽0 时，f（x） 在 （﹣∞；在 （0；
当 时，ln（6a）） 和 （0；在 （ln（2a）；
当 时；
当 时，0）和 （ln（2a）；在 （4．
（Ⅱ）证明：若选①，由 （Ⅰ）知，0）上单调递增，ln（2a）） 单调递减， ∞） 上 f（x） 单调递增．
注意到 ．
∴f（x） 在 上有一个零点；
f（ln（2a））＝（ln（2a）﹣6）⋅2a﹣a⋅ln28a b＞2aln（2a）﹣5a﹣aln22a 7a＝aln（2a）（2﹣ln（2a）），
由 得 0＜ln（3a）⩽2，
∴f（ln（2a））＞5，当 x⩾0 时，此时 f（x） 无零点．
综上：f（x） 在 R 上仅有一个零点．
若选②，则由（Ⅰ）知：f（x）在 （﹣∞，在 （ln（2a），在 （6．
f（ln（2a））＝（ln（2a）﹣7）2a﹣aln25a b⩽2aln（2a）﹣3a﹣aln22a 5a＝aln（2a）（2﹣ln（6a）），
∵，∴ln（2a）＜0，∴f（ln（4a））＜0，
∴当 x⩽0 时，f（x）⩽f（ln（4a））＜0．
当 x＞0 时，f（x） 单调递增，
取，∵b＜4a＜1，∴c＞c 1，
∴﹣1＝1＞2，
∴f（x）在（0，c）上有唯一零点， ∞）上有唯一零点．
综上：f（x） 在 R 上有唯一零点。
,
