数学虐我千百遍,我却对他如初恋。
百强高中长郡中学最新周考试卷,难题赏析。居然要用构造大法。
这个题是给我辅导的长郡中学高一学生答疑时讲的。
是百强中学长郡中学,最近高一数学周测中的一道题(上周,2024年3月2号)
大家不妨一试。
思路1,先弄清楚第一个条件, 到底在说啥子?
根据小镇做题家,十几年专业做题经验,跟周期性?对称性?奇偶性?跟这些,大概率有一定关系吧?
常规操作,要将x 用合适的变量代入,才会发现真相,
代入什么变量呢?一顿乱代,肯定啥,啥子都发现不了吧?
先观察一下特征。
绝对值里面的 x-2a,x 4a相差 6a,所以不管代入什么变量,都相差6a ,
再用我智慧的大脑分析下,出现了绝对值,绝对值最大的特点,两个相反数进去,能整出同样大小的数出来,这绝对是绝对值的本事。
莫非不用构造大法,就显示不出我的能耐?
高中阶段,构造是相当重要的基本功,数列中需要构造,用导数中比大小,需构造函数,哪哪都有它。
根据上述两个特征,该式子后半段,可构造出(|x-3a| |x 3a|) ,将 x,-x代入,前后作了一次轮换,刚好相等。
所以变量需用x-a 代入,才会出现上述形式。
即
将-x 代入,即
将两式相加,右侧为相反数,相加为零,即 ,
一眼瞄出,函数关于点 对称,至此构造法宣告大功告成。
顺便抽根烟,眺望一下远方,
感觉人站在高处就是好,
不仅心里可以念着远方,还可以眺望远方。
思路2,还是先弄清楚第一个条件, 到底在说啥子?先用点代入找找感觉,解题嘛,哪有看一眼就有思路的,毕竟是难题!
x,可以用常数代入,也可以用 a相关的数a、2a、-a、-3a 等等代入,
若用常数代入,出现多项式相乘,会越整越复杂,
用a、2a、-a、-3a这些代入,会舒服很多。
来点刺激的,用-a、代入,,即
即函数过点 ,结果相当简洁,令人极度舒适,
加上后面这个条件,里面有正弦值,再联想到正弦函数,余弦函数的对称中心的这些性质,心中一惊,不会就是对称中心吧?这暗示,太友好吧?
果断在该点两侧等距离取两个点代入验证, ,
我的妈,果真是。
再看 即
这两个点刚好等距离分布在点的两侧,且3个点的纵坐标相加等于零。
再一次验证就是对称中心,从而
心中大喜,
今天真是个风和日丽的好日子。
说实话,我第一遍就是用思路2先猜后证,连滚带爬做出来的,
第二遍,为了证明与长沙省会城市的老师地位相当的实力 ,
才施展了构造大法。
这个难点突破了,后面就好办了,就不再啰嗦了!
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