复习概要：介绍命题、量词、全称量词命与存在量词命题的否定
命题的定义：命题是能够判断真假的陈述句。
量词观察下边的语句，你能发现什么？
- 所有质数都是大于1的自然数；
- 存在整数解使得方程x²=4成立；
- 至少有一个学生考了满分；
- 每一个有理数都能写成分数的形式；
1、4陈述的是指定集合中的所有元素都具有特定性质；2、3陈述的是指定集合中的某些元素具有特定性质。
- “所有”、“任意” 在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 “∀” 表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。
- “存在”、“至少有一个” 等在逻辑中叫做存在量词，用符号 “∃” 表示。含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。
全称量词 | 存在量词 | |
定义 | 表示整体、全部的含义，对给定集合中的所有元素都做出某种判断。 | 表示个体、部分的含义，对给定集合中至少存在一个元素做出某种判断。 |
常见词汇 | 所有、任意、每一个、一切、全部等。 | 存在、至少有一个、有一个、有些、有的等。 |
符号 | ∀ | ∃ |
命题形式 | ∀x∈M，p (x) ，表示对于集合 M 中的任意一个元素 x，都满足条件 p (x)。 | ∃x∈M，p (x) ，表示在集合 M 中存在一个元素 x，满足条件 p (x)。 |
真假判断方法 | 要判断一个全称量词命题为真，必须对给定集合 M 中的每一个元素 x，使 p (x) 都成立；要判断一个全称量词命题为假，只需在给定集合 M 中找到一个元素 x₀，使 p (x₀) 不成立（即举反例）。 | 只要在给定集合 M 中找到一个元素 x₀，使 p (x₀) 成立，那么这个存在量词命题就是真命题；如果在给定集合 M 中，使 p (x) 成立的元素 x 不存在，那么这个存在量词命题就是假命题。 |
原命题：“今天下雨。” → 否定：“今天不下雨。”
对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬P”，读作“非P”。
全称量词命题的否定是存在量词命题，即将全称量词 “∀” 改为存在量词 “∃”，并否定结论。∀x∈M,p(x)的否定是∃x∈M,¬p(x)。
存在量词命题的否定是全称量词命题，将存在量词 “∃” 改为全称量词 “∀”，同时否定结论。∃x∈M,p(x)的否定是∀x∈M,¬p(x)。
习题已知命题 p：“∃x∈R，x² 2x 2≤0”，写出命题 p 的否定，并判断 p 及其否定的真假。
,首先，命题 p 是存在量词命题，其否定为全称量词命题。将 “∃” 改为 “∀”，“≤” 改为 “＞”，得到命题 p 的否定 ¬p：“∀x∈R，x² 2x 2＞0”。
然后分析真假性，对于命题 p，x² 2x 2 = (x 1)² 1，因为任何实数的平方都大于等于 0，所以 (x 1)² 1＞0 恒成立，即命题 p 为假命题；而对于 ¬p，由于 x² 2x 2＞0 恒成立，所以 ¬p 为真命题。
