代几综合题是特别考验学生对知识的掌握程度和综合利用能力的，因此往往也是考试卷中最难的题目。图1是2020~2021学年上学期武汉初三期末数学考试的压轴题——24题。
图1：题目内容
这道题的第一问非常基础，因此，我在这里也不详细叙述，只是直接给出答案。在第2问中，我们也需要先求出抛物线顶点D的坐标。这个也非常基础，直接按-b/2a求解出横坐标，再代入方程计算出纵坐标即可。因此，本文也直接给出D点坐标答案，而省略计算过程。
在第2问计算k值的过程中，我不是直接用代数的方法来计算，而是用几何方法来计算——其实在绝大多数代几综合题中都是如此。尽管完全用代数方法计算是可行的，但那样会特别耗时耗力，出题老师的本意也不希望考生会这样做。我们可以分别从B点、C点做抛物线对称轴的垂线BE，CF。根据三角形ACD与ABD的面积比，可以确定CF长度是BE的2倍。然后根据抛物线的性质，可以判定FD是ED的4倍，再利用三角形ABE与ACF的相似性可以得知FA是EA的2倍。这两组长度比例关系联合计算后，可以得出E是AD的中点。这样各点的坐标就都可以利用抛物线方程计算出来了，进而就可以计算出k值了：
图2：第2问解算过程
第3问是本题最难的部分，也是最能拉分的部分。在解答这道题时，千万不要考虑只用代数方法来解答问题，那样会钻入死胡同的。在解答这一问时，我们可以暂时忘掉直线y=k(x-2) 1，而直接以抛物线上的点C的坐标作为未知数代入计算过程。这样我们就可以把问题变成一个二元方程问题，一个未知数是点C的横坐标c，另一个是直线y=t的Y截距t。我们可以假设y=t与圆E相交于G、H点。因此，我们可以知道G点到E点的距离就是AE的长度。而点E到y=t直线的距离就等于EF线段，即E点纵坐标与t值的差。
利用勾股定理，我们可以建立用未知数c及t表达的GF长度值，因而也就可以发现当t等于什么数值时，GF的长度与未知数c无关（即与C点未知无关），这个t的数值就是第3问所要求解的答案。
图3：第3问解算
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