继续讲解第十二题。已知椭圆m的左右焦点分别是f1、f2、过点f2且垂直于x轴的直线和椭圆相交于a、b两点，并且a、b等于一点。p在椭圆上问下面的四个选项里面哪些是正确的？这个是一道多选题。
·首先在这里根据题目的条件可以先把椭圆的方程求出来，然后再去做四个选项的判断。因为左右焦点的坐标就知道焦点在s轴上并且c等于根号三，所以在椭圆里面a平方减去b平方也就是等于c平方，就等于三。这是关于a平方和b平方的第一个条件。
·第二个条件就是经过点f2并且垂直于s轴的直线和椭圆交于a、b两点，说明a、b两点都落在椭圆上，可以把a、b两点的坐标求出来。
首先因为直线a、b是过f2并且垂直于s轴的，所以它们的横坐标跟f2是一样的，它们的横坐标都是根号三。而根据椭圆的对称性，因为a、b是长度等于一，根据对称性a、b两点的纵坐标就分别是二分之一跟负的二分之一，因此得到了a点的坐标是根号三，二分之一b点的坐标是根号三负的二分之一。
这个时候将其中一个点的坐标带到椭圆方程里面得到了关于a平方和b平方的第二个方程，对这两个方程连立之后去求解就可以解除a平方跟b平方分别是a平方等于四，b平方等于一。因为焦点在s轴上，所以椭圆的方程就是s平方除以四加y平方等于一。得到了椭圆的方程之后其实也知道了a等于二，b等于一，c等于根号三。
接下来可以计算判断后面的四个选项了。
·第一个选项问是否存在一个点p死的角，f、e、p、f二等于九十度。也就是刚才上面的例子里面其实给大家介绍过，当这个点在椭圆上运动的时候，f1、p和f2连成的就形成了三角形的顶角，也就是这个角f1、p、f二其实是在变化的，变化的范围其实就相当于是落在零到这个顶角的最大值的之间。
而这个顶对应的f1、p、f二的最大值是在这个p点落在短轴的端点上的时候取到，也就说明其实现在就要知道的是是否存在一个点p死的角，f1、p、f二等于九十度，也就是问椭圆里面焦点是三角形的顶角有没有可能等于九十度。
它的意思其实就是当p点落在短轴端点上的时候，焦点三角形的顶角是不是大于或者等于九十度就可以了。只有在这个最大值的时候大于等于九十度，那么它才有可能。存在点p死的角fepf2等于九十度。因此在这里关键就是研究焦点三角形fepf2的顶角的大小，其实主要是顶角的一半的大小。
因为顶角的一半所落在的直角三角形是要求大家重点记忆的椭圆里面的重要直角三角形。在这里面其中一个顶点是椭圆的焦点，另一个顶点是椭圆短轴的顶点，这个是椭圆的对称中心。
直角三角形里面刚才讲的角fepf2的一半所对的边就是角opf2的对边就是c，它的零边就是b，而斜边就是a，因此这是一个椭圆里面很重要的直角三角形。
现在要判断角的大小能不能大于等于四十五度，它的两倍就是大于等于九十度了，而这个能不能大于等于四十五度先把它求出来就可以了。因为摊准角opf2就是应该等于c除以b，而c是根号三，b是一，所以摊准值应该等于根号三。
一个角的正确值等于根号三又是三角形的内角，这个角就肯定是六十度，它的两倍就是一百二十度。既然一百二十度就说明顶角是大于等于九十度的，因此a选项是对的。存在一个点p在这个头圆上，使得角fepf2等于九十度，a是对的。
再看b选项，假若角fepf2等于六十度，问三角形fepf2的面积是不是三分之根号三？这道题其实考察的是圆锥曲线的焦点三角形的面积公式。圆锥曲线里面椭圆有焦点三角形的面积公式，双曲线也有焦点三角形的面积公式，但有点像，但这两个公式是不一样的，大家可以自己回去翻查一下二级结论。
而在这里面对于椭圆来说，它的焦点三角形的面积就应该等于b平方乘以摊准二分之角fepf2，也就是这里给这个角就是关键，还有一个就是b平方是个关键，而这两个关键都知道了，直接带进去就可以计算b平方等于一，而这个角是六十度，它的一半就是三十度。
所以这一个三角形的要求的焦点三角形的面积就应该等于一乘以摊准三十度，也就是三分之根号三，答案比就是对的。这道题考到二级结论。
再看c选项，满足这个三角形fepf2等腰三角形的点p只有两个，也就问焦点三角形是等腰三角形的是不是只有两个？很明显的已经找出两个了，也就是当这个p点落在的短轴的端点的时候，无论是上的上顶点还是下顶点都是对应了等腰三角形，这已经存在两个等腰三角形了，其实还存在第三、第四、第五、第六个。
为什么？在这里如果这个是p点到fe的距离，假如p点到fe的距离是等于这个fef2，这个时候其实也是一个等腰三角形。现在看一下，列方程组的方法看看这种情况是否存在，因为这是考虑的情况，但是万一无解也是不存在的，所以要看一下。
因为p点是在这个焦点上，所以就符合在椭圆上，p点在椭圆上，所以p点的坐标是符合椭圆的方程的。因此p点的坐标如果是xy，那么它对应的就是x平方除以四加y平方等于一，因为它满足椭圆的方程。
·第二个，因为刚才说了p、f一是等于f、e、f二的，f、e、f二就是二根号三，而p、f一就是p点是xy，而f一是负根号三零，利用两点的距离公式列出方程就好了。
然后对这个方程进行消圆之后会得到一个关于x的一元二次方程，也就是在这里y平方可以用一减去四分之x平方替代，然后对第二个方程两边平方之后的y平方用一减去四分之s平方替代之后就能够化解得到了三s平方加上八根号三x减三十二等于零，然后判断这个方程有没有解就可以了。
计算调它算出吊塔是一个正数，很明显的吊塔大于零就说明这一个方长有解，既然有解就说明存在第三个，就是说明p点是存在的吗？也就说明第三个死的三角形fepf二四等腰三角形的点p，因此c选项肯定是错误的，而很明显的其实还不仅仅是三个。
因为调查大于零说明满足条件的x有两个，这里有一个左边还有一个，下面对称的还有两个，所以一共应该是六个。如果正确的答案满足这个三角形fepf二为等腰三角形的点p应该是有六个，而有两个肯定是错的。
再看第一选项，pf一减去pf二的曲子范围是哪个范围？这里面主要就是考察三角形的三边关系，当p点在椭圆上运动的时候，焦点三角形pf一、f二其实也是一个普通的三角形，也符合三角形里面两边之差小于第三边的这样的一个条件。
而在这里两边之差用的就是pf一减去pf二，而差是小于第三边三边，就是fef2也就是2c2，c的长度是二根号三，所以这时候得到pf一减去pf二小于二根号三。
但是要注意，因为实际上如果pf一比pf二更小，这也有可能的，所以加个绝对值就更好一点。这时候得到的是pf一减去pf二的绝对值小于二根号三，这是在形成三角形的情况之下。如果不形成三角形的时候，这个时候p点也是存在的，就是当p点和fef2贡献的时候，p点。其实就是短轴的，这就是长轴的两个端点。而这个情况之下对应的p有两个，分别对应的就是pf1减去pf2，它的结果就应该等于二根号三或者是负二根号三。因此最终得到的是pf1减去pf2的差的绝对值其实最终是小于等于二根号三的。
也就说明这一个要的答案就是它的曲子范围在负二根号三到二根号三这个范围d是对的。最后就知道答案就是abd了。
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