上篇最后一题介绍了切割线蝴蝶定理的一种推广方式，下面介绍另一种推广。
对上一篇的此题的逆命题——题2的绝妙证明我是大概在2010年看到的，当时深受震撼，仔细揣摩体会之余，希望能再挖掘点东西出来。由平行四边形得∠DBE=∠FBC=90°，似乎平行不是关键。因此我猜测即使不平行，依然有只要有两个垂直即可得到第三个垂直。经过验证是成立的，从而得到以下推广：
1
已知：如上图，∠DBE=∠FBC=90°,
FD交EC于A,FE交DC于P，
求证：∠ABP=90°
思路分析1：没有中心以后，上题的各种证明方法似乎都不可行了。估计只能计算，如果对角元梅涅劳斯定理比较熟悉，不难发现可以用此迅速解决。
思路2：三个直角容易想到直径所长的圆周角为直角，
如果对完全四边形的性质比较熟悉，想到高斯-波登米勒
（Gauss-Bodenmiller）定理[1]，本结论就显然了。
证明2：高斯-波登米勒内容为：以完全四边形三条对角线为直径的三个圆共轴，从而本题中对完全四边形DCEFAP,
由此定理即得以DE,FC,AP为直径的圆交于点B，
即∠ABP=90°成立。
注：
1）本结论如小家碧玉，清水出芙蓉，天然去雕饰。而且竟然是切割线定理的推广。不过本结论应该不是我最先发现的，许多大家如叶中豪、萧振纲等都得到过，萧老在他的“黑砖”[2]里面也是用角元梅涅劳斯证明的。因为此图形是完全四边形对某个点张角间的关系，特别适合使用角元梅涅劳斯，对角元梅涅劳斯定理感兴趣的读者可以参考“黑砖”中的相应专题。使用了角元梅涅劳斯定理后本结论几乎就显而易见了，所以上述三角化简其实可以大大简化。当然此题的逆命题也都是成立的，即由三个垂直和一组三点共线可以得到另一组三点共线。
2）证明2从完全四边形观点观察本题，发现她就是著名的高斯-波登米勒定理的变式。从一个方面揭示了此题的本质。当然进一步三圆的根轴为完全四边形垂心线，相关结论非常多，对此有兴趣的读者可以参阅本人的文章[3].这进一步体现了仁者见仁智者见智，从不同角度能看到问题的不同方面。当然这也说明了看似风马牛不相及的问题却有着本质的关系。所以说数学题目之间不是缺少联系，而是我们缺乏发现联系的眼光。
3）当然本题也可以考虑其他的证明方法，例如最“暴力”的解析法应该不难，毕竟她是直线型，而且有不少垂直。有时候实在想不到巧妙的办法，合理的使用解析法也是大智若愚、大巧若拙的。
2
在RT△ABC中，D是斜边AB的中点，MB⊥AB，MD交AC于N，MC的延长线交AB于E。
求证：∠DBN=∠BCE
（2007年第四届中国东南数学奥林匹克竞赛第6题，2017年中国北方之星数学奥林匹克第7题）
思路分析证明：联想到切割线蝴蝶定理，将其对照，即可发现此题只是将切割线蝴蝶定理略加改造，如下图，只是把圆和B、F删去而已，因此可以选择上篇文章的多种证法，照猫画虎，不言自明，本文从略。
注：本结论还是很漂亮的，人见人爱，所以10年以后”重现江湖”。年年岁岁花相似，岁岁年年人不同，2017年的北方之星数学奥林匹克试题改成了其逆命题，即由∠DBN=∠BCE证明MB⊥AB，证明当然是换汤不换药。认识到此题的本质以后就觉得有点“索然无味”，意兴阑珊。这再次说明认识到问题的本质以后，不管他如何变化都不难解决。就像孙悟空具有了火眼金睛，不管妖怪幻化成何种形状，他都能一眼看到妖怪的原形，从而秒杀之。
3
如上图所示，设C、D是以O为圆心、AB为直径的半圆上的任意两点，过点B作圆O的切线交直线CD于P，直线PO与直线CA、AD分别交于点F、E；
求证：OE=OF（2007年第四届中国东南地区数学奥林匹克竞赛题2）
思路分析证明：如果对切割线蝴蝶定理认识比较深刻，就会发现，其实本题就是切割线蝴蝶定理！他只是把原本位于AB异侧的C、D两点移动到了AB同侧而已。如果把D移到AB另一侧，他马上就原形毕露。
证明思路当然也是一脉相承，按图索骥，应运而生。
例如类比最流行的证法1，可以如上图，
过D做EF平行线DHI，取CD中点M，
由垂直得OMPB共圆，
故∠1=∠2=∠3,
故HMDB共圆,
则∠HMD=180°-∠DBA=∠DCA,
故HM//CA,
则HI=HD,
从而OE=OF.
注：
1）这里再次体现了蝴蝶定理的五彩斑斓、幻化无穷，几何对图形的依赖性非常强，这利弊参半。好处是体现了图形的美妙，也要求我们解几何难题时，一定要画图，而且要准确作图。弊端是过分依赖图形，容易让人舍本逐末，只看表象、忽略本质，导致同一个问题，图形稍加改变就让人觉得面目全非，大相径庭、判若云泥。所以我们要兼容并蓄、博观约取，要学会追求问题的本质。例如蝴蝶定理的本质就是垂直直径的弦截等线段。而切割线蝴蝶定理的本质是切割线直径截等线段。看到类似的问题要大胆猜测，小心验证。既见树木，又见森林。既能解决问题，又能挖掘出问题的本质，将其归类于某个大定理之下，这样才算真正的把一个问题解决了，认识清楚了，当然这是我一直努力的目标。
2）当年的东南竞赛的两道几何题目居然都是切割线蝴蝶定理！这真是一个有趣而奇怪的事情，当然这应该纯属巧合。可能命题人审题人也没注意到这两个题目的本质居然是一样的。当然这是本人在前些年整理蝴蝶定理中偶然发现的。看透此问题本质后，发现其证明是司空见惯的，完全没有新意。当然也就不需要再去“研究学习”其证明的精髓了。这也是很多数学大家一直倡导，我努力践行的：对一个数学题目，不要仅仅满足于解决他，还要充分挖掘题目的本质，了解问题的来龙去脉，前世今生，要发现他与其他问题之间的联系。这样才能真正的理解问题及其证明，看到他的庐山真面目。从而准确而深入地把握此问题。
总 结
本篇文章介绍了切割线定理的另一种推广，并揭示了她与高斯-波登米勒定理的本质联系，然后展示了两道2007年东南数学奥林匹克几何题与切割线定理的本质联系。
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