一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1. 已知集合 A={1,2,3}，B={2,3,4}，则 A∩B=（ ）
A. {1,2,3} B. {2,3} C. {1,2,3,4} D. ∅
2. 函数 y = log₂(x 1)的定义域是（ ）
A. (-1, ∞) B. [-1, ∞) C. (-∞,-1) D. (-∞,-1]
3. 若直线 l 的斜率为 2，且过点(1,3)，则直线 l 的方程为（ ）
A. y = 2x 1 B. y = 2x - 1 C. y = 2x 5 D. y = 2x - 5
4. 已知向量 a=(1,2)，b=(2,-1)，则 a·b=（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 等差数列{aₙ}中，a₁ = 2，d = 3，则 a₅ =（ ）
A. 14 B. 11 C. 17 D. 20
6. 等比数列{bₙ}中，b₁ = 1，q = 2，则 b₄ =（ ）
A. 8 B. 16 C. 4 D. 2
7. 函数 y = sinx 的最小正周期是（ ）
A. 2π B. π C. 4π D. 3π
8. 若直线 l₁：ax y 1 = 0 与直线 l₂：x ay 1 = 0 平行，则 a =（ ）
A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0
9. 已知函数 f(x)=x² - 2x 3，则 f(-1)=（ ）
A. 6 B. 4 C. 2 D. 0
10. 不等式 x² - 3x 2＜0 的解集为（ ）
A. (1,2) B. (-∞,1)∪(2, ∞) C. (-1,-2) D. (-∞,-1)∪(-2, ∞)
11. 圆心为(1,-2)，半径为 3 的圆的方程是（ ）
A. (x - 1)² (y 2)² = 3 B. (x 1)² (y - 2)² = 3
C. (x - 1)² (y 2)² = 9 D. (x 1)² (y - 2)² = 9
12. 从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 个同学，每人一本，不同的送法有（ ）
A. 5 种 B. 10 种 C. 20 种 D. 60 种
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13. 若复数 z = 1 2i，则|z| = 。
14. 函数 y = √(x - 1)的定义域是。
15. 已知圆锥的底面半径为 2，高为 3，则圆锥的侧面积是____。
16. 若直线 l 过点(2,3)且与直线 2x y - 5 = 0 垂直，则直线 l 的方程为____。
三、解答题（每题 10 分，共 60 分）
17. 已知等差数列{aₙ}中，a₁ = 3，a₄ = 9，求数列的通项公式 aₙ和前 n 项和 Sₙ。
18. 求函数 y = x³ - 3x² 2 的单调区间和极值。
19. 已知直线 l：2x - y 1 = 0 与圆 C：x² y² - 4x 2y - 4 = 0，判断直线与圆的位置关系。
20. 解不等式|x - 1| |x 2|≥5。
21. 在△ABC 中，已知 a = 3，b = 4，c = √13，求角 C 的大小。
22. 从 6 名男生和 4 名女生中选 3 人参加某活动，要求至少有一名女生参加，有多少种不同的选法？
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参考答案：
一、选择题
1. B；2. A；3. A；4. B；5. A；6. B；7. A；8. C；9. A；10. A；11. C；12. D。
二、填空题
2. √5；14. [1, ∞)；15. 2√13π；16. x - 2y 4 = 0。
三、解答题
3. 设等差数列{aₙ}的公差为 d，则 a₄ = a₁ 3d，即 9 = 3 3d，解得 d = 2。
通项公式 aₙ = a₁ (n - 1)d = 3 2(n - 1)=2n 1。
前 n 项和 Sₙ = na₁ n(n - 1)d/2 = 3n n(n - 1)=n² 2n。
4. y' = 3x² - 6x = 3x(x - 2)。
令 y' = 0，得 x = 0 或 x = 2。
当 x＜0 时，y'＞0，函数单调递增；当 0＜x＜2 时，y'＜0，函数单调递减；当 x＞2 时，y'＞0，函数单调递增。
极大值为 f(0)=2，极小值为 f(2)=-2。
5. 圆 C 的方程可化为(x - 2)² (y 1)² = 9，圆心坐标为(2,-1)，半径 r = 3。
圆心到直线 l 的距离 d = |2×2 - (-1) 1|/√(2² (-1)²)=6/√5＜3。
所以直线与圆相交。
6. 当 x＜-2 时，不等式化为-(x - 1)-(x 2)≥5，解得 x≤-3；
当 -2≤x≤1 时，不等式化为-(x - 1) (x 2)≥5，无解；
当 x＞1 时，不等式化为(x - 1) (x 2)≥5，解得 x≥2。
综上，不等式的解集为(-∞,-3]∪[2, ∞)。
7. 根据余弦定理 cosC = (a² b² - c²)/(2ab)=(9 16 - 13)/(2×3×4)=1/2，所以角 C = 60°。
8. 总选法有 C₁₀³ = 120 种，全是男生的选法有 C₆³ = 20 种。
所以至少有一名女生参加的选法有 120 - 20 = 100 种。
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以下是更为详细的参考答案：
一、选择题
1. B。
- 集合 A 与集合 B 的交集是两个集合中共同的元素组成的集合，A 和 B 中共同的元素是 2 和 3，所以 A∩B = {2,3}。
2. A。
- 对于函数 y = log₂(x 1)，要使其有意义，真数 x 1 必须大于 0，即 x 1 > 0，解得 x > -1，所以定义域是(-1, ∞)。
3. A。
- 已知直线斜率为 2，过点(1,3)，由点斜式方程 y - y₁ = k(x - x₁)（其中 k 是斜率，(x₁,y₁)是已知点），可得 y - 3 = 2(x - 1)，化简得 y = 2x 1。
4. B。
- 向量 a=(1,2)，b=(2,-1)，则 a·b = 1×2 2×(-1)=2 - 2 = 0。
5. A。
- 等差数列通项公式为 aₙ = a₁ (n - 1)d，已知 a₁ = 2，d = 3，那么 a₅ = 2 (5 - 1)×3 = 2 12 = 14。
6. B。
- 等比数列通项公式为 bₙ = b₁qⁿ⁻¹，b₁ = 1，q = 2，则 b₄ = 1×2³ = 8。
7. A。
- 函数 y = sinx 的最小正周期是 2π。
8. C。
- 两直线平行，则斜率相等。直线 l₁：ax y 1 = 0 斜率为 -a，直线 l₂：x ay 1 = 0 斜率为 -1/a，所以 -a = -1/a，解得 a = ±1。但当 a = 1 时，两直线重合，所以 a = -1。
9. A。
- 函数 f(x)=x² - 2x 3，f(-1)=(-1)² - 2×(-1) 3 = 1 2 3 = 6。
10. A。
- 解不等式 x² - 3x 2＜0，因式分解得(x - 1)(x - 2)＜0，解得 1 < x < 2。
11. C。
- 圆的标准方程为(x - a)² (y - b)² = r²（其中(a,b)是圆心坐标，r 是半径），圆心为(1,-2)，半径为 3 的圆方程是(x - 1)² (y 2)² = 9。
12. D。
- 从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 个同学，每人一本，这是一个排列问题。即 A₅³ = 5×4×3 = 60 种。
二、填空题
13. √5。
- 复数 z = 1 2i，|z| = √(1² 2²)=√5。
14. [1, ∞)。
- 函数 y = √(x - 1)，要使根式有意义，则 x - 1≥0，解得 x≥1。
15. 2√13π。
- 已知圆锥底面半径 r = 2，高 h = 3，根据勾股定理可得母线长 l = √(r² h²)=√(2² 3²)=√13。圆锥侧面积公式为 S = πrl = π×2×√13 = 2√13π。
16. x - 2y 4 = 0。
- 直线 2x y - 5 = 0 的斜率为 -2，与之垂直的直线斜率乘积为 -1，所以所求直线斜率为 1/2。又过点(2,3)，由点斜式可得 y - 3 = 1/2(x - 2)，化简得 x - 2y 4 = 0。
三、解答题
17.
- 设等差数列{aₙ}的公差为 d。
- 已知 a₁ = 3，a₄ = 9，由 a₄ = a₁ 3d，即 9 = 3 3d，解得 d = 2。
- 通项公式 aₙ = a₁ (n - 1)d = 3 2(n - 1)=2n 1。
- 前 n 项和 Sₙ = na₁ n(n - 1)d/2 = 3n n(n - 1)=n² 2n。
- 对函数 y = x³ - 3x² 2 求导得 y' = 3x² - 6x = 3x(x - 2)。
- 令 y' = 0，即 3x(x - 2)=0，解得 x = 0 或 x = 2。
- 当 x＜0 时，y'＞0，函数单调递增；当 0＜x＜2 时，y'＜0，函数单调递减；当 x＞2 时，y'＞0，函数单调递增。
- 将 x = 0 和 x = 2 分别代入原函数可得极大值为 f(0)=2，极小值为 f(2)=-2。
- 圆 C 的方程 x² y² - 4x 2y - 4 = 0 可化为(x - 2)² (y 1)² = 9，圆心坐标为(2,-1)，半径 r = 3。
- 根据点到直线距离公式，求圆心到直线 l：2x - y 1 = 0 的距离 d = |2×2 - (-1) 1|/√(2² (-1)²)=6/√5。
- 比较 d 与 r 的大小，6/√5＜3，所以直线与圆相交。
- 当 x＜-2 时，不等式|x - 1| |x 2|≥5 可化为-(x - 1)-(x 2)≥5，即 -x 1 - x - 2≥5，-2x - 1≥5，-2x≥6，解得 x≤-3。
- 当 -2≤x≤1 时，不等式化为-(x - 1) (x 2)≥5，即 -x 1 x 2≥5，3≥5，无解。
- 当 x＞1 时，不等式化为(x - 1) (x 2)≥5，即 x - 1 x 2≥5，2x 1≥5，2x≥4，解得 x≥2。
- 综上，不等式的解集为(-∞,-3]∪[2, ∞)。
- 根据余弦定理 cosC = (a² b² - c²)/(2ab)，已知 a = 3，b = 4，c = √13，则 cosC = (9 16 - 13)/(2×3×4)=1/2。
- 因为 0°＜C＜180°，所以角 C = 60°。
- 从 10 人中选 3 人的总选法有 C₁₀³ = 10×9×8÷(3×2×1)=120 种。
- 全是男生的选法有 C₆³ = 6×5×4÷(3×2×1)=20 种。
- 所以至少有一名女生参加的选法有 120 - 20 = 100 种。
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