这是2022年高考数学全国卷I的抛物线相关问题，是一道多选题。题目不难，唯一的难度来自于它是一道多选题，选错一个就不得分。少选也会扣分。不过如果让老黄做一下小小的修改，也能让它变成高考数学的一大惨案。题目是这样的：
已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C: x^2=2py (p>0)上，过点B(0,-1)的直线交C于点P，Q两点，则( )
A. C的准线为y=-1；B. 直线AB与C相切；C. |OP|·|OQ|>|OA|^2；D. |BP|·|BQ|>|BA|^2
分析：A选项非常基础，考的就是抛物线准线方程的公式y=-p/2. 对抛物线y^2=2px，则准线方程变成x=-p/2.
只要将A点的坐标代入抛物线的表达式，得到1=2p, 解得p=1/2. 得到抛物线的解析式y=x^2. 虽然A选项用不上抛物线的解析式，但下面的选项有可能要用到，所以这里把抛物线的解析式也写出来了。
就可以求得准线为y=-p/2=-1/2. 因此A选项是错误的。从A选项可以看出，这张卷子的出题人其实是很有爱的，如果让老黄这个糟老头子来出题，可能很多考生就有难了。老黄会做出下面两点设计：
(1)把抛物线的解析式写成x^2=py. 肯定有很多考生会死得很难看。特别是那些学习成绩比较一般的考生，大部分人一定会上当受骗的。这个时候直接用准线方程的公式y=-p/2，就大错特错了。正确的方程应该改成y=-p/4. 这样的设计，可以考察考生知识掌握的程度以及应变的能力，其中也包含了数学的能力。
(2)对应(1)中的修改，把准线方程写成x=-1/4. 这么一改，连那样粗心大意的学霸，都会纷纷落马。因为很多人的注意力都被(1)吸引了，忘掉了此时的准线方程应该是y=-p/4，而不是x=-p/4.
你说，老黄这个糟老头子是不是很坏？所以考生们还要感谢今年的出题人，不要老喊什么“出题人恶意满满”了。真正的“恶意”，你们没机会瞧到呢！曾经把一个每次考试都数学满分的考生考哭的老黄，你们是没有机会领教呢！(太过顺利，受点挫折，老黄觉得是有益的，今年这名学生正好参加高考)
经老黄这么一改，题目难度其实只加大了一点点，但却可能改成高考史上的一个局部的大灾难。
B选项一般的做法是：先求AB的斜率k=2，然后得到直线AB的解析式：y=2x-1. 接下来列直线与抛物线相交的方程：x^2=2x-1，化成一般式：x^2-2x 1=0，现在已经看得出直线和抛物线只有一个交点了。不过如果是解答题，例行公事的，还是要用判别式=0，去判断AB和抛物线C相切。
另外一种方法是求抛物线的导数，得到y'=2x. 代入A点的横坐标，则过A点的切线斜率为k=2. 然后同上求AB的斜率，一对照，就知道AB是C的切线了。
最后两个选项，格式相近，需要做同样的准备工作，最好有一个草图帮助一下理解：
有一种思路是利用两点的距离公式，检验不等式。可以设PQ的解析式为：y=kx-1. 列PQ和C的交点方程：x^2=kx-1，化为一般式：x^2-kx 1=0，由韦达定理中两根积的公式可以知道，P, Q两点的横坐标等于1，即它们互为倒数。
所以可以设P(t, t^2), Q(1/t,1/t^2).现在就可以分别用两点距离公式检验C，D两个选项了。下面以图片的形式展示两个不等式的检验结果。
综上，正确的选项是BCD. 您都选对了吗？您还有其它的解题思路吗？
,
