魏 韧（北京市第十八中学）
摘要：2015年高考数学立体几何试题秉承往年立足基础，能力立意，注重知识与能力融合的命题思路，试题命制体现三个突出，一是突出对立体几何主要基础知识、基本技能和基本思想方法的考查；二是突出通性通法考查；三是突出空间想象能力、推理论证能力以及化归和转化能力的考查。同时正视文、理差异，挖掘知识间内在联系，不断创新，亮点纷呈，透出灵性与活力。总体风格是“门槛虽低不落俗套，朴实自然不失深刻”。
关键词：2015 年高考；立体几何；数学思想方法
综观2015年高考数学立体几何试题，与往年高考试题虽然有所不同，但试题的形式、内容及文、理差异均相对稳定，沿袭立足基础，能力立意，注重知识与能力融合的命题思路，试题命制体现三个突出：一是突出对立体几何主要基础知识、基本技能和基本思想方法的考查；二是突出通性通法考查；三是突出空间想象能力、推理论证能力以及化归和转化能力的考查。现就2015年高考数学立体几何试题从命题的角度作一个简要分析，希望引发同行更深入地讨论。
一、考点分析
1.分布合理，立足基础
通过对 2015 年全国各地立体几何试题列表统计和对比分析，不难发现，2015 年高考立体几何主要考点内容有：三视图，体积和面积，线线垂直，线面垂直，面面垂直，线线平行，线面平行，面面平行，异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角，距离和长度等。其中三视图、线、面关系（平行和垂直），二面角是高频考点。
2．结构稳定，难度适中
在题量上，多数试卷以两道小题一大道题（理科）或一大道题一小道题为主（文科）（其中浙江文、理科卷都是三道小题一道大题）；分值一般在 16 ～ 22 分之间，约占总分值的 11% ～14% ，与课标要求的课时比例基本吻合。其中文科卷考查频率和分值最多的是表面积与体积，其次是三视图和线面垂直；理科卷考查频率最多的是三视图，其次是表面积与体积和二面角问题，而考查分值最多的是二面角的问题。在难度上，以容易题和中档题为主，其中小题一般处于中间的位置，有的偏前偏易一些 （如浙江、北京的文、理科试卷），有的偏后偏难一些 （如天津理科卷）；大题一般位于解答题中第三题左右的位置，题型常规，重点考查线面平行与垂直的位置关系，几何体的体积和表面积，线线角，线面角和二面角的计算等问题，难度适中。
3．文、理科试题保持一定的差异
《普通高中数学课程标准（实验）》对文、理科学生在立体几何内容与要求上有明显的差异。因此，2015年全国各地高考试卷对立体几何的考查定位，依然坚持加大文、理难度差异，保持文科难度普遍低于理科难度. 文科三视图试题一般考查容易还原直观图的几何体，求其表面积和体积；理科对识图能力和空间想像能力要求更高。文科的解答题重点考查直线与平面的位置关系，计算涉及简单几何体的体积的计算和直线与平面所成的角，能力要求上限于直观感知和简单的推理论证；理科不仅考查了直线与平面的位置关系，还以空间三种角的计算为载体，考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力。在问题解决策略的选择上，采用综合与向量法兼顾运用，以向量法包打天下的局面有了很大改善。
4．注重数学思想方法的考查
数学思想方法是数学知识的灵魂，学生对数学思想方法的把握，是数学素养的体现，决定了学生在问题解决过程中策略水平的稳定性。所以，2015年高考立体几何试题，继续秉承过去凸显数学思想方法考查的一贯风格。
（1）函数、方程和不等式的思想。
例1 （2015年湖南卷·理10）某工件的三视图如图1，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）。
手，优势尽显。
2．三视图担当了考查空间想象能力的重任
三视图作为新增内容已成为必考考点，对进一步发展学生的空间观念，增强对数学价值的认识起到一定的作用，因为从命题的角度上讲，它是考查学生空间想象能力良好素材，2015年高考数学试题已加大了考查力度，体现了新课改的基本理念。原因是简单几何体（锥、柱、台、旋转体）组合方式多，如锥、柱、台、旋转体之间可两两组合或者多个组合，也可自身之间组合，同时可借助锥、柱、台、旋转体一部分（如半个圆锥或圆柱）进行组合，组合后的几何体放置方式也可多样，可以“立着放”“横着放”“对着放”等，由此几何体的三视图就会更加丰富多彩，以三视图为载体还原简单几何体的空间想像能力自然加大，提高了对空间想象能力的要求。
综合法是数学推理论证的主要方法之一，在培养学生逻辑推理能力方面的作用无可替代。它利用已知条件、公式、定理、公理、法则等经过系列的推理论证得出结论，需要清晰的思路，严谨的逻辑推理能力，对思维能力要求较高。如求角或距离一般需要三步：作—证—求，难点是找到所求的角（距离）并证明即为所求，然后利用解三角形知识（正、余弦定理等）求值。高中理科在新增“空间向量与立体几何”后，由于空间向量强大的工具作用，在处理空间几何中方便易行，教师、学生习惯于向量法，综合法有所弱化，推理论证能力有所下降，这种趋势，曾一度引发一些学者的担心。而2015年高考立体几何试题的命制，加强了对综合法的要求，许多试题既可用向量法，也可用综合法，不少试题体现出综合法简洁、快速、严谨、清晰的优势。这样做的好处是，学生可因人而异，因题而异，合理选择最佳解题方法，对课堂教学是一种强力的素质教育导向。
四、 结束语
综观2015年全国各地高考立体几何试题，不难发现，试题在题型、题量、分值、难度、知识点分布与覆盖上保持相对稳定；突出对基础知识、通性通法和基本思想方法的考查，重点内容重点考查，热点内容常考常新，在坚持稳定基础上，求变求新，使复习备考工作有章可循，有法可依为此，我们提出几点备考建议。
一是夯实基础。认识空间几何体的结构特征，熟练画出简单几何体（或简单几何体的组合体）的三视图，由三视图还原几何体，面积和体积公式等要烂熟于心；点、线、面的位置关系，尤其是线线、线面、面面垂直、平行的判定定理和性质定理的来龙去脉要理解深刻；求角或距离的通性通法（向量法或综合法）要熟练掌握。
二是强化数学思想方法的训练。如化归与转化的数学思想。空间问题转化为平面问题；线线，线面，面面关系相互转化；几何问题向量化；探索性问题函数、方程模型化等。
三是整体布局，构建知识网络，强调知识间的逻辑化、结构化把握。如垂直问题可以四棱锥为模型，整体设计出包含线线、线面、面面垂直问题，用“小问题”，说明“大道理”（基本规律、思想方法），再选配适量试题，控制难度，达到深化理解基本概念和落实通性通法之目的。
2016年立体几何高考预测：立体几何高考命题始终把空间的点、线、面的位置关系，以及空间角、空间距离的计算作为考查重点，对学生的空间想象能力，逻辑思维能力，演绎推理能力等传统的考查方式仍相对稳定。 同时随着新课程改革的不断深入，也有所创新。
（1）重点内容仍然以高比例重点考查，但考查方式有所变化。如空间线线、线面、面面关系是重点考查内容，放在选择题中与充要条件相结合，考查力度更大，要求更高。如北京卷理科第4题，福建理科第7题。
（2）三视图风景独好，成为必考热点内容，但难度有所加强。一般是两个或三个简单几何体（或一部分）的组合体，是考查学生空间想象能力的良好载体。
（3）折叠问题，存在性问题，截面问题等是命题创新一个新趋势。2015年福建文科解答题，陕西理科解答题都有体现，有利于考查学生空间意识和分析问题与解决问题的能力。
（4）渗透数学文化的人文色彩。每个民族都有自己的文化，也就一定有属于这个文化的数学。例如，《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，是体现我国数学文化的好素材。2015年新课程全国I卷，湖北文科卷都有意渗透，这有利于培养学生的阅读能力和弘扬我国数学文化。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定．普通高中数学课程标准（实验 ）［M］.北京：人民教育出版社，2003．
[2]周远方,田祥高,朱再娥.2012 年高考“立体几何”专题分析［J］.中国数学教育 （高中版），2012（7/8）：64-70.
,
