九年级上册数学圆的试卷证明题(九年级数学第二十四章圆的证明题)

九年级上册数学圆的试卷证明题(九年级数学第二十四章圆的证明题)

首页数学更新时间:2024-08-30 22:25:08

圆证明计算专题

一.解答题(共12小题)

1.如图,在△ABC中,ABAC,以AB为直径的⊙OBC交于点D,连接AD

(1)求证:BDCD

(2)若⊙OAC相切,求∠B的度数.

(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧

的中点E.(不写作法,保留作图痕迹)

2.如图,AB是⊙O的直径,点CD是⊙O上位于直线AB异侧的两点,DEBC,交CB的延长线于点E,且BD平分∠ABE

(1)求证:DE为⊙O的切线;

(2)若∠ABC=60°,AB=4,

①求DE的长;

②图中阴影部分的面积为    

3.如图,AB为⊙O的直径,CD是弦,且ABCD于点E.连接ACOCBC

(1)试说明:∠BCO=∠ACD

(2)若AE=4cmBE=16cm,求弦CD的长.

4.如图,AB是⊙O的直径,DAB上一点,C为⊙O上一点,且ADAC,延长CD交⊙OE,连CB

(1)求证:∠CAB=2∠BCD

(2)若∠BCE=15°,AB=6,求CE的长.

5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点DAC的中点,以AB为直径的⊙OBC边交于点E,连接DE

(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;

(2)若AE=6,DE=5,求BE的长.

6.如图1,中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计(相对于当时的生产力),包含大量零部件和工艺,所彰显的智慧让人叹服.小明突发奇想,动手制作了一个简易模型(如图2),通过测量,⊙O的半径为3,且圆心O在直线l上,然后他又制作了一个三角板模型(∠ACB=90°,AB=10,BC=6),准备做一些数学实验,当点B落在直线l上,点C在⊙O上时,发现斜边AB与⊙O交于点D,过点D作⊙O的切线,交AC于点E,连接DECD

(1)求证:CEAE

(2)连接OECDF,求EF的长.

7.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边中线,以CD为直径作⊙OBC于点E,过点EEFAB,垂足为点F

(1)求证:EF为⊙O的切线.

(2)若CD=5,AC=6,求EF的长.

8.如图,圆内接四边形ABCD的对角线ACBD交于点EBD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB

(1)求证:BD为圆的直径;

(2)过点CCFADAB的延长线于点F,若ACADBF=3,求此圆半径的长.

9.如图所示,AB为半圆O的直径,C是半圆上一点,AD平分∠CAB交半圆于点D,过点DDEACDEAC的延长线于点E

(1)求证:DE是⊙O的切线;

(2)若⊙O的半径为2,DE

,求线段AC的长.

10.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点PCD平分∠ACB,连接BD

(1)求证:∠BCP=∠D

(2)若点BOP的中点,

,求BC的长.

11.图1是传统的手工推磨工具,根据它的原理设计了如图2所示的机械设备,磨盘半径OQ=2dm,用长为11dm的连杆将点Q与动力装置P相连(∠OQP大小可变),点P在轨道AB上滑动,并带动磨盘绕点O转动,OAABOA=5dm

(1)如图2,当PQ与⊙O相切时,求AP的长.

(2)在磨盘转动过程中,求AP的最大值S1及最小值S2

12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,以CD为直径的⊙O分别交ACBC于点MN,连接ND,过点N作⊙O的切线NE,交AB于点E

(1)求证:NEAB

(2)若⊙O的半径为

AC=5,求BN的长.

圆证明计算专题

参考答案与试题解析

一.解答题(共12小题)

1.如图,在△ABC中,ABAC,以AB为直径的⊙OBC交于点D,连接AD

(1)求证:BDCD

(2)若⊙OAC相切,求∠B的度数.

(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧

的中点E.(不写作法,保留作图痕迹)

【分析】(1)由圆周角定理得出ADBC,再由等腰三角形的性质即可证明BDCD

(2)由切线的性质得出BAAC,由ABAC,得出△BAC是等腰直角三角形,即可求出∠B=45°;

(3)利用尺规作图,作∠BAD的平分线交

于点E,则点E即是劣弧

的中点.

【解答】(1)证明:∵AB是直径,

∴∠BDA=90°,

ADBC

ABAC

BDCD

(2)解:∵⊙OAC相切,AB为直径,

BAAC

又∵ABAC

∴△BAC是等腰直角三角形,

∴∠B=45°;

(3)解:如图所示:

作∠BAD的平分线交

于点E,则点E即是劣弧

的中点.

【点评】本题考查了圆的综合应用,掌握圆周角定理,等腰三角形的性质,圆的切线的性质,等腰直角三角形的性质,尺规作图等知识是解决问题的关键.

2.如图,AB是⊙O的直径,点CD是⊙O上位于直线AB异侧的两点,DEBC,交CB的延长线于点E,且BD平分∠ABE

(1)求证:DE为⊙O的切线;

(2)若∠ABC=60°,AB=4,

①求DE的长;

②图中阴影部分的面积为  

 

【分析】(1)连接OD,根据垂直定义可得∠E=90°,再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得ODBE,然后利用平行线的性质可得∠ODE=90°,即可解答;

(2)①如图,过点OOFBC,垂足为F,根据直角三角形的性质得到

,求得

,根据勾股定理得到

,由(1)得ODDEDEBC,求得∠ODE=∠E=∠OFE=90°,根据矩形的性质得到;

②连接OC,过点OOFBC,垂足为F,根据已知易得△OBC是等边三角形,从而利用等边三角形的性质可得OBOCBC=2,∠BOC=60°,然后在Rt△OBF中,利用锐角三角函数的定义求出OF的长,最后根据图中阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣△BOC的面积,进行计算即可解答.

【解答】(1)证明:连接OD

BD平分∠ABE

∴∠ABD=∠DBE

ODOB

∴∠ODB=∠ABD

∴∠ODB=∠DBE

ODBC

DEBC

ODDE

∵点D在⊙O上,

DE为⊙O的切线;

(2)解:①如图,过点OOFBC,垂足为F

AB=4,

∵∠ABC=60°,

∴∠BOF=30°,

在Rt△OBF中,

由(1)得ODDEDEBC

∴∠ODE=∠E=∠OFE=90°,

∴四边形OFED为矩形,

②连接OC,过点OOFBC,垂足为F

∵∠ABC=60°,OBOC

∴△OBC是等边三角形,

OBOCBC

AB=2,∠BOC=60°,

在Rt△OBF中,OFOB•sin60°=2×

∴图中阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣△BOC的面积

BCOF

∴图中阴影部分的面积为

故答案为:

【点评】本题考查了切线的判定与性质,角平分线的定义,扇形面积的计算,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

3.如图,AB为⊙O的直径,CD是弦,且ABCD于点E.连接ACOCBC

(1)试说明:∠BCO=∠ACD

(2)若AE=4cmBE=16cm,求弦CD的长.

【分析】(1)利用垂径定理得到

,则根据圆周角定理得到∠ACD=∠B,加上∠B=∠BCO,从而得到∠BCO=∠ACD

(2)先计算出OA=10,OE=6,再利用勾股定理计算出CE=8,然后利用垂径定理得到CEDE,从而可求出CD的长.

【解答】解:(1)∵ABCD

∴∠ACD=∠B

OBOC

∴∠B=∠BCO

∴∠BCO=∠ACD

(2)∵AE=4,BE=16,

OA=10,OE=6,

在Rt△OCE中,CE

=8,

ABCD

CEDE

CD=2CE=16,

答:弦CD的长为16cm

【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理.

4.如图,AB是⊙O的直径,DAB上一点,C为⊙O上一点,且ADAC,延长CD交⊙OE,连CB

(1)求证:∠CAB=2∠BCD

(2)若∠BCE=15°,AB=6,求CE的长.

【分析】(1)根据圆周角定理得到∠ACB=90°,则∠ACD=90°﹣∠BCD,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠A 90°﹣∠BCD 90°﹣∠BCD=180°,从而得到结论;

(2)连接OCOE,如图,利用(1)的结论和圆周角定理得到∠A=∠BOE=30°,则∠COB=60°,所以∠COE=90°,然后利用勾股定理计算CE的长.

【解答】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90°,

∴∠ACD=90°﹣∠BCD

ACAD

∴∠ACD=∠ADC

∴∠AACDADC=180°,

∴∠A 90°﹣∠BCD 90°﹣∠BCD=180°,

∴∠A=2∠BCD

(2)解:连接OCOE,如图,

由(1)得∠A=2∠BCE=2×15°=30°,

∵∠BOE=2∠BCE=2×15°=30°,

OAOC

∴∠A=∠ACO

∴∠COB=∠AACO=2∠A=60°,

∵∠COE=∠COBBOE=60° 30°=90°,

【点评】本题考查了圆周角定理及其推论,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,勾股定理,三角形外角的性质.熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键.

5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点DAC的中点,以AB为直径的⊙OBC边交于点E,连接DE

(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;

(2)若AE=6,DE=5,求BE的长.

【分析】(1)连接OE,根据等腰三角形的性质得到∠OAE=∠OEA,∠DAE=∠DEA,求得∠OED=90°,根据切线的判定定理即可得到结论;

(2)根据直角三角形的性质得到AC=2DE=10,根据勾股定理得到CE

=8,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【解答】解:(1)相切,

理由:连接OE

OAOE

∴∠OAE=∠OEA

AB是⊙O的直径,

∴∠AEB=∠AEC=90°,

∵点DAC的中点,

ADDE

AC

∴∠DAE=∠DEA

∴∠AEOAED=∠DAEOAE=∠BAC=90°,

∴∠OED=90°,

OE是⊙O的半径,

DE与⊙O相切;

(2)在Rt△ACE中,∵点DAC的中点,

AC=2DE=10,

AE=6,

CE

=8,

∵∠BAC=∠AEB=∠AEC=90°,

∴∠BAEB=∠BC=90°,

∴∠BAE=∠C

∴△ABE∽△CAE

BE

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,相似三角形的判定和性质,勾股定理,正确地作出辅助线是解题的关键.

6.如图1,中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计(相对于当时的生产力),包含大量零部件和工艺,所彰显的智慧让人叹服.小明突发奇想,动手制作了一个简易模型(如图2),通过测量,⊙O的半径为3,且圆心O在直线l上,然后他又制作了一个三角板模型(∠ACB=90°,AB=10,BC=6),准备做一些数学实验,当点B落在直线l上,点C在⊙O上时,发现斜边AB与⊙O交于点D,过点D作⊙O的切线,交AC于点E,连接DECD

(1)求证:CEAE

(2)连接OECDF,求EF的长.

【分析】(1)连接OD,由切线的性质可得∠ODE=90°,即∠ODCEDC=90°,再由∠OCDECD=90°,可推出∠ECD=∠EDC,得出CEDE,根据BC是⊙O的直径,可得∠BDC=90°,进而推出∠A=∠ADE,得出AEDE,即可证得结论;

(2)运用勾股定理可得AC

=8,由△ACD∽△ABC,求得AD

,再利用三角形中位线定理可得OEAB,推出△CEF∽△CAD,即可求得答案.

【解答】(1)证明:连接OD,如图1,

ED与⊙O相切于点D

∴∠ODE=90°,

即∠ODCEDC=90°,

∵∠ACB=90°,

∴∠OCDECD=90°,

ODOC

∴∠OCD=∠ODC

∴∠ECD=∠EDC

CEDE

BC是⊙O的直径,

∴∠BDC=90°,

∴∠ADC=180°﹣90°=90°,

∴∠ECDA=90°,

又∵∠EDCADE=90°,

∴∠A=∠ADE

AEDE

CEAE

(2)解:如图2,

∵∠ACB=90°,AB=10,BC=6,

AC

=8,

∵∠ADC=∠ACB=90°,∠CAD=∠BAC

∴△ACD∽△ABC

,即

AD

BOOCAECE

OEAB

∴△CEF∽△CAD

EF

AD

×

【点评】本题考查了圆的性质,圆周角定理,切线的性质,勾股定理,直角三角形性质,相似三角形的判定和性质等,证明△ACD∽△ABC是解题的关键.

7.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边中线,以CD为直径作⊙OBC于点E,过点EEFAB,垂足为点F

(1)求证:EF为⊙O的切线.

(2)若CD=5,AC=6,求EF的长.

【分析】(1)连接OE,根据直角三角形斜边上的中线性质可得CDBD,然后再利用等腰三角形的性质证明OEAB,即可解答;

(2)根据CD为⊙O的直径,∠DEC=90°,然后证明DE是△ABC的中位线,再利用相似三角形对应边成比例即可解答.

【解答】(1)证明:如图,连接OE

Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,

CDADBD

∴∠B=∠BCD

又∵OCOE

∴∠OEC=∠BCD

∴∠OEC=∠B

ABOE

又∵EFAB

EFOE

又∵OE是⊙O的半径,

EF与⊙O相切;

(2)解:连接DE

CD为⊙O的直径,

∴∠DEC=90°,

DEAC

CD是斜边AB上的中线,

DE是△ABC的中位线,

DE

AC

CD为斜边中线,CD=5,

AB=10,

AC=6,

BC

=8,

BE

=4,

∵∠B=∠B,∠BFE=∠BCA

∴△BEF∽△BAC

EF=2.4.

【点评】本题考查了切线的判定与性质,圆周角定理,直角三角形斜边上的中线,直线和圆的位置关系,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

8.如图,圆内接四边形ABCD的对角线ACBD交于点EBD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB

(1)求证:BD为圆的直径;

(2)过点CCFADAB的延长线于点F,若ACADBF=3,求此圆半径的长.

【分析】(1)由圆周角定理推出

,得到

,因此

是半圆,即可证明BD是⊙O的直径;

(2)由线段垂直平分线的性质推出ADCD,而ACAD,推出△ACD是等边三角形,得到∠ADC=60°,由等边三角形的性质求出∠BDC

ADC=30°,由平行线的性质推出∠FBAD=90°,求出∠F=90°,由圆内接四边形的性质推出∠ADCABC=180°,由邻补角的性质得到∠FBCABC=180°,由补角的性质推出∠FBC=∠ADC=60°,得到BC=2BF=6,又∠BCD=90°,∠BDC=30°,推出BC

BD,即可得到圆的半径长是6.

【解答】(1)证明:∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠CBD

∵∠BAC=∠ADB

是半圆,

BD是⊙O的直径;

(2)解:∵BD是圆的直径,

∴∠BAEDAE=90°,∠BAE=∠ADE

∴∠ADEDAE=90°,

∴∠AED=90°,

BD是圆的直径,

BD垂直平分AC

ADCD

ACAD

∴△ACD是等边三角形,

∴∠ADC=60°

BDAC

∴∠BDC

ADC=30°,

CFAD

∴∠FBAD=90°,

∴∠F=90°,

∵四边形ABCD是圆内接四边形,

∴∠ADCABC=180°,

∵∠FBCABC=180°,

∴∠FBC=∠ADC=60°,

BC=2BF=6,

∵∠BCD=90°,∠BDC=30°,

BC

BD

BD是圆的直径,

∴圆的半径长是6.

【点评】本题考查圆内接四边形的性质,圆周角定理,关键是由圆周角定理推出

是半圆,由含30度角的直角三角形的性质推出BC=2BFBC

BD

9.如图所示,AB为半圆O的直径,C是半圆上一点,AD平分∠CAB交半圆于点D,过点DDEACDEAC的延长线于点E

(1)求证:DE是⊙O的切线;

(2)若⊙O的半径为2,DE

,求线段AC的长.

【分析】(1)连接OD,根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠EDO=90°,即可证得DE是⊙O的切线;

(2)连接BCODF,先证得四边形DECF为矩形,DECF

,∠DFC=90°,进而得出ODBC,根据垂径定理得出BC=2CF=2

,然后根据勾股定理即可求得线段AC的长.

【解答】(1)证明:连接OD

OAOD

∴∠OAD=∠ADO

AD平分∠CAD

AEOD

∴∠AEDEDO=180°,

DEAC

∴∠EDO=90°,

DE是⊙O的切线;

(2)连接BCODF

AB为直径,

∴∠ACB=90°,

∵∠AED=∠EDO=90°,

∴四边形DECF为矩形,

DECF

,∠DFC=90°,

ODBC

BC=2CF=2

AB=4,

AC

=2.

方法二:

(1)证明:连接OD,则OAOD

∴∠OAD=∠ODA

AD平分∠CAB

∴∠EAD=∠OAD=∠ODA

DEAC

∴∠EDAEAD=∠OADEDA=90°,

DE是⊙O的切线;

(2)作DFABF,连接OC

AD平分∠CABDEAC

DEDF

OD=2,

∴∠DOF=60°,

∵∠EAD=∠OAD=∠ODA

ODAC

∴∠CAO=∠DOF=60°,

OCOA

ACOAOC=2.

【点评】本题考查了切线的判定,等腰三角形的性质,角平分线的性质,矩形的判定依据垂径定理和勾股定理的应用,作出辅助线构建直角三角形和矩形是解题的关键.

10.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点PCD平分∠ACB,连接BD

(1)求证:∠BCP=∠D

(2)若点BOP的中点,

,求BC的长.

【分析】(1)连接OC,如图,先根据切线的性质得到∠OCP=90°,再根据圆周角定理得到∠ACB=90°.则∠BCP=∠OCA,然后利用∠A=∠OCA,∠A=∠D得到结论;

(2)连接AD,如图,先利用圆周角定理得到ADBDADB=90°,则可判断△ABD为等腰直角三角形,所以AB=2,则OB=1,然后根据斜边上的中线性质得到BC的长.

【解答】(1)证明:连接OC,如图,

CP是⊙O的切线,

OCPC

∴∠OCP=90°.

AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90°.

∵∠OCBBCP=90°,∠OCAOCB=90°,

∴∠BCP=∠OCA

OAOC

∴∠A=∠OCA

∴∠BCP=∠A

∵∠A=∠D

∴∠BCP=∠D

(2)解:连接AD,如图,

CD平分∠ACB

∴∠ACD=∠BCD

ADBD

AB是⊙O的直径,

∴∠ADB=90°,

∴△ABD为等腰直角三角形,

AB

BD

×

=2,

OB=1,

∵点BOP的中点,

BCPBOB=1.

【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.

11.图1是传统的手工推磨工具,根据它的原理设计了如图2所示的机械设备,磨盘半径OQ=2dm,用长为11dm的连杆将点Q与动力装置P相连(∠OQP大小可变),点P在轨道AB上滑动,并带动磨盘绕点O转动,OAABOA=5dm

(1)如图2,当PQ与⊙O相切时,求AP的长.

(2)在磨盘转动过程中,求AP的最大值S1及最小值S2

【分析】(1)连接OP,根据切线的性质可得∠OQP=90°,然后根据勾股定理可进行求解;

(2)如图2,当点Q运动到Q1点时,点P距离点A最远,求出此时AP的长度;当点Q运动到Q2点时,点P距离点A最近,则可得此时AP的长度,然后问题可求解.

【解答】解:(1)连接OP,如图2,

QP与⊙O相切,

∴∠OQP=90°,

在Rt△OQP中,

OP2=OQ2 QP2=22 112=125,

在Rt△OAP中,

(2)如图3,当Q运动到Q1时,P点运动在AB上距离点A最远,

在Rt△OAP1中,OA=5dmOP1=OQ1 Q1P1=2 11=13(dm),

dm),

Q运动到Q2时,P点运动在AB上距离点A最近,

在Rt△OAP2中,OA=5dmOP2=11﹣2=9(dm),

dm).

【点评】本题主要考查切线的性质及勾股定理,熟练掌握切线的性质是解题的关键.

12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,以CD为直径的⊙O分别交ACBC于点MN,连接ND,过点N作⊙O的切线NE,交AB于点E

(1)求证:NEAB

(2)若⊙O的半径为

AC=5,求BN的长.

【分析】(1)连接ON,证出ONAB,证明ONNE即可;

(2)由直角三角形的性质可求AB=13,由勾股定理可求BC=12,由等腰三角形的性质可得BN=6.

【解答】(1)证明:如图1,连接ON

∵∠ACB=90°,D为斜边的中点,

CDDADB

AB

∴∠BCD=∠B

OCON

∴∠BCD=∠ONC

∴∠ONC=∠B

ONAB

NEAB

ONNE

∴∠BNECNO=90°,

CD是斜边AB上的中线,

CDBD

∴∠CBD=∠BCD

∵∠NCO=∠CNO

∴∠CBDBNE=90°,

∴∠BEN=90°,

NEAB

(2)解:如图2,连接DNON

∵⊙O的半径为

CD

∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,

BDCDAD

AB=13,

BC

=12,

CD为直径,

∴∠CND=90°,

BDCD

BNNC=6,

【点评】本题考查切线的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识.

声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2024/3/14 12:29:48;用户:王志伟;邮箱:15516222110;学号:42788626

,
大家还看了
也许喜欢
更多栏目

© 1998-2024 shitiku.com.cn,All Rights Reserved.