大家好！本文和大家分享一下这道1991年高考数学压轴题。1991年高考数学试卷除了全国卷，当年高考湖南云南海南三省还有一套专用卷，本文分享的这道压轴题是全国卷的压轴题。这道题在当年可是难住了很多考生，即使过了几十年，本题也依然属于常考题型。
这道题综合考查了双曲线的标准方程、直线方程、直线间的位置关系、直线与双曲线的位置关系以及弦长公式等知识。求解这道题，我们需要先设出双曲线的方程，然后表示出直线的方程，并将两个方程联立起来得到一个关于x或y的一元二次方程，再由韦达定理得到两根和与积的表达式。下面详细讲解。
由于双曲线的中心在坐标原点，而且焦点在x轴上，那么可以设双曲线的标准方程为：(x/a)^2-(y/b)^2=1。由于直线过右焦点且斜率为√(3/5)，所以根据点斜式方程可得直线PQ的方程为：y=√(3/5)(x-c)，其中c=√(a^2 b^2)。将直线PQ的方程代入双曲线方程，消去y，整理后得到：(5b^2-3a^2)x^2 6a^2cx-(3a^2c^2 5a^2b^2)=0①。
由于点P、Q是直线与双曲线的两个交点，所以5b^2-3a^2≠0。因为当5b^2-3a^2=0时，直线PQ与双曲线只有一个交点，这与题意不合。然后设点P、Q的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则x1、x2就是方程①的两个根，所以由韦达定理可得：x1 x2=-6a^2c/(5b^2-3a^2)，x1x2=-(3a^2c^2 5a^2b^2)/(5b^2-3a^2)。
由于OP⊥OQ，也就是说两个向量的数量积为零，即x1x2 y1y2=0。又点P、Q在直线上，所以把y1、y2用x1、x2表示出来，再代入上面的式子整理得到：8x1x2-3c(x1 x2) 3c^2=0。再将由韦达定理得到的式子以及c^2=a^2 b^2代入，整理后得到3a^4 8a^2b^2-3b^4=0。因式分解，得(3a^2-b^2)(a^2 3b^2)=0，从而得到b^2=3a^2。
又由于|PQ|=4，所以由弦长公式可以得到√(1 3/5)√[(x1 x2)^2-4x1x2]=4，整理得(x1 x2)^2-4x1x2-10=0。再将韦达定理得到的式子及c^2=a^2 b^2、b^2=3s^2代入，解得a^2=1，b^2=3。从而得到所求双曲线的方程。
另外，OP⊥OQ也可以用斜率之积为-1来处理，最终得到的结果是一样的。而|PQ|=4也可以用两点间距离公式求解，只是过程更加复杂一些。
这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？
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