双减背景下的数学作业讲评课探究
前言：作业是学习巩固的重要环节，也是社会关注的教育热点，以减负提质为目的，科学设计作业，有效讲评作业，是目前教研的重点课题之一。
2021年10月12日，在第二届教研节十一中数学会场，有幸听到了两位优秀年青教师的作业讲评课，受益菲浅，期间也反思了自己的作业讲评课，一点感受分享如下，欢迎交流研讨。
一、复习课还是习题课？
作业讲评课，与复习课、习题课极为类似，但是针对作业讲评的课堂，与复习课、习题课还是有区别的，因此，不能简单将其归类，它是一种复合课型，实质上，作业讲评更接近于一种教学诊断，它从备课环节开始，就呈现出与复习课、习题课的明显不同。另一方面，作业讲评课与上述两种课型也有紧密的联系，集中反映在对例题和习题的处理上，通俗点说，都是讲题，主要不同在于对题目讲解的策略上。
1、题目的来源
作业讲评课的题目，主要来源于教材以及少部分教辅，作为面向全体学生的课堂，其作业布置要符合班级学情，而选择以教材习题为主要来源，符合课标要求，也更适合多数学生；
复习课和习题课的题目，主要来源于教材变式，或者原创题，通常教辅资料中有大量这类题目，但需要教师进行挑选，依据是本班学情。
2、题目的了解
作业中的题目，是学生在前一天刚刚经历过，教师进行了批改，学生也获得了相应的作业评价，在此基础上，对题目进行改编以符合课堂需求。这种改编幅度并不会很大，毕竟对于日常教学，多数作业是在新课结束之后完成，考虑到学生实际接受程度，其难度基本与教材持平或略高，在作业分层时，会有少数拔高题；
复习课和习题课，根据教学进度不同，分为单元复习、阶段复习、总复习等，习题课也分为同类习题、拓展发散习题等，学生多数是第一次接触题目（做过遗忘了也算第一次）。
3、习题的类型
作业讲评课，多数是由作业中学生易错类型出发，以作业题为母题，一条线是变式训练，另一条线是发散思维。对于变式训练来讲，将母题的条件和结论进行适当改编，有强化条件、弱化条件、条件结论互换、多结论、开放结论等方式，将母题元素尽可能挖掘，让学生更深入理解题目背后的数学思想方法；对于发散思维，则是以母题为基础，增加或改变若干条件，使之与新的知识关联，实现由点及面的覆盖。
4、教学目标
作业讲评课的教学目标简单点说，就是解决作业中的问题，深入一点说，借作业中的问题进行教学补充或拓展，前者的典型案例就是熊老师这节课，而后者则接近于复习课或习题课。
那么作业中的问题又是哪里来的呢？
首先是教学中的疏忽，没有一节课是完美的，任何教师层面的小遗漏，在学生那里都会被放大，这通过作业批改可以迅速觉察到；
其次是学生学习中的错漏，也许是开小差，也许是理解错误，对课堂上应该掌握的某个知识点出现了偏差，而通过作业也能检测出来；
既然作业中出现了问题，那必须要解决，所以在确定作业讲评课的教学目标前，一定要认真研究作业批改数据，用数据来指导作业讲评课的教学目标制订。作业讲评课中出现的题目，一定是学生出现较多错误的题目，因此一个较为简单的判断教学目标是否正确，看讲评课中的题目，学生有多少人会做，多数人都会做，那也不必讲（引例除外）。
而复习课和习题课，教学目标非常明确，没有作业讲评课那么“随机”，通常会带有章节属性，而习题的设置多从知识结构出发。
所以作业讲评课，从教学目标上来看，更像是教学诊断。生病了就来看病，无病不要呻吟；
5、教学环节
作业讲评课，首先它是课，研究它也就是研究课堂教学，在新授课结束之后，是作业布置环节，因此作业设计可以作为教学设计的一部分，在写教案的时候，通常会留有专门的作业版块，注明作业来源。
学生下课后，即转入作业书写环节，紧随其后是作业批改，这个过程也是收集学生学习数据的过程，我们提倡全批全改，春主要目的就是尽可能全面地收集学生的学习数据，同时为了“净化”数据，规定了作业必须独立完成、限时完成。作业讲评课到底要讲什么题，主要依据就在这些数据中产生。一般而言，全班正确率超过80%或低于20%的作业题，没有必要在全班讲评，这些题，需要个别辅导，而需要讲评的作业题，正确率按从高到低进行排列，确定其重要程度。
这就完成了作业讲评课的备课环节，和普通课型另外一个不同在于，作业讲评课也有作业，但这个作业是需要当堂完成的，即使留有作业，量不宜太多，毕竟作业讲评课就是为了解决作业问题，否则就陷入套娃情节了。
作业讲评后的反馈，对下一节新授课作用就是学情参考，这就回归到了课堂。
6、课堂小结与作业布置
凡是数学课，必有小结，可以是显性小结，例如请学生回答或书写，也可以是隐性小结，通过教学过程将结论渗透给学生，对于作业讲评课，它也可以看作是上一节新授课的延伸，应该小结归纳的内容已经进行过了，可以在前面的基础上进行补充和巩固，视情况决定是否专门进行这个环节。
而复习课和习题课则不同，小结是必要环节，时间还不能短，否则一股脑的题目涌入学生大脑，不梳理，对于消化吸引有很大障碍。
作业讲评课当然也有作业，针对上一次作业出现的问题进行了讲评，再布置同类的作业并不是上策，而要尽可能安排课堂内完成的作业，本来这节课就是要解决作业中的问题，越解决越多并不是初衷。
对于作业讲评课，最佳作业是布置给学生反思任务，或者引出下一章节的内容的预习作业。
复习课和习题课的作业，类似于新授课，针对课堂内容布置。
二、听课收获
第一节是熊欣老师的课，首先是简单回顾学过的几种判定全等的方法，然后第1题进行铺垫，这是作业中错误率最低的题目，第2题的分析很用心，从下图中的统计可以看出来：
从这张统计表中，可以看出学生解题时对各类全等方法的“偏好”，基于这个数据，我们已经可以预判学生在第3题中可能出现的思路了。
第3题属于教材常见习题，难度不高，学生在这道题中所犯错误，可以充分暴露出对全等各种方法的掌握情况，如下图：
我们仍然先看作业数据，如下图：
显然，错误率达42%，必须全班讲评，如果要求更高一些，使用最为简洁的一次全等为最优解，那么正确率只有21%，于是对这道题的挖掘是本课的重点。
第一个问题：为什么学生会使用两次全等甚至三次全等呢？
从题目结论可以看出，要证明∠1=∠2，由于前面新课学习过程中，学生被不断强化“要证等量，找全等”，采用由果索因的顺序，要证明∠1=∠2，那么它们所在的三角形是否全等？这么一思考，再加上图中明显包含∠1和∠2的一对三角形，△DBE和△DCF映入眼帘，目标就确定了，接下来就是围绕如何证明这一对全等三角形去思考，显然还差条件，因此思路再次转向，第2题的统计结果中，“偏好”起作用了，我们来模拟一下学生由果索因的过程，如下图：
发现最终绕不开的一次全等，就是△ABD≌△ACD，所以连接AD几乎是本题必然选择。
而作辅助线，也出现了学生最常见的错误，即赋予过多条件和多余叙述，如下图：
同时在学生作业中，错用依据的情况也不算少，如下图：
错用依据形成的原因，在于学生读题看图过程中，逻辑思维的严密性不足，数学推理，讲究的是每步必有理，如果推导时条件并不是题目给出的，或者说用错条件，推理无法进行下去，这要从七年级刚刚开始进行几何说理时开始培养，杜绝在课堂上随意“杜撰”条件，把看上去像的图形当作已知条件，不滥用几何直观。
第二个问题：学生要如何才能只用一次全等？
答案是从条件出发，即由因索果的顺序。
条件中AB=AC，BD=CD，它们本身就分别隶属于△ABD和△ACD，只不过中间差一条线，即需要连接AD，同样秉持“用全等证相等”的理念，将已有条件先凑成全等三角形，后续思路就顺畅许多，在学生思维中，既然已经用过一次全等了，剩下的自然就是寻找这对全等三角形中的条件，能否用来证明∠1=∠2，于是∠ABD=∠ACD就派上用场了，利用三角形一个外角等于不相邻两个内角和，轻松解决问题。
即使陷入前面由果索因的思维，也可以跳出来，无论哪种思路，进行到最后，都要连接AD，此时停下来稍作反思，这一对全等三角形，可否与结论∠1=∠2产生关联？何必证明第二次全等？
这需要我们在平时教学中，多引导学生思考，一道例题讲完，不妨多留点时间，还可以从别的方向解决吗？这个习惯一旦养成，数学学习的难度会大大降低。
第三个问题：如何讲透一道作业题？
更准确地说，题目并不是靠老师讲透，而是靠学生悟透，这才是真的懂，不需要老师去询问“听懂了吗？”，站在讲台上扫视一下全班，“刷脸”即可。
这要求对学生非常了解，因此数学班主任的优势非常明显，熊欣老师是选择自己班上公开课，在了解学情上有着先天优势。而且我个人也认为，作业讲评课，在自己班上，更能体现课型特点，这是为学生解惑。
作业题要讲透，需要对原题进行元素分解，将条件和结论一一罗列出来，分别进行加工，变成新的习题串，围绕原题展开，而原题涉及到的基本数学思想和方法，也随之发散，从而达到一题多解，一解多思。
在这个过程中，教师需要较强的课堂组织能力，引导学生按上述预设进行课堂学习活动，学生才是课堂学习的主体，以生为本正体现于此。
所以课堂组织形式其实还可以有更大改进空间，以我自己曾经讲过的一次试卷评讲为例，首先是表扬取得优异成绩的学生，然后是表扬各题解法最优的学生，最后由这些学生上讲台，以自己最得意的解法为主线进行获奖感言，我在旁边简短点评作为颁奖主持。
这样组织的好处在于，当学生看到自己做错了一道题，第一反应不是问老师，而是问旁边的同学“你怎么做的？”，而由最优解法的同学来讲，无疑最合适不过。
当然劣势也有，对于学习动力不足的学生，那就纯粹看热闹了，需要教师在一边督促。
另一种组织形式则照顾了后进生，将同难度题目分给若干学习小组，在积分奖励制度下，由组长选择本组内一名学生上传解答过程，下课后全组课堂笔记若齐全，加分有效，否则撤消。
熊欣老师对母题的改编很成功，的确是针对本班学生出现的学情，在听课者看来，或许有更多想法，但那是基于听课者所任教班级，不是这个班，这也从另一个角度解释了为什么作业讲评课最好在自己班级的原因。
而在第6题的拓展中，对构建全等三角形并没有更高要求，而是对全等证明完成之后的结论应用要求较高，实际上学生在现场也的确不太适应寻找三条线段间的数量关系，这种半开放结论的习题，对初次接触者还是有一定难度的。
由于时间关系，这道题并未过多讲解，但我认为前面铺垫已然足够，这节课的教学目标，已经达成。
最后那道讨论的题目，最简单的解法是连接BC，利用等腰三角形的性质来解决，放在此处，目的是为后续教学埋下伏笔。
总之，熊欣老师这节课，看上去更像一节作业讲评课。
第二节是高飞老师的课，从课堂导入环节来看，更为高明，第1题选择的是教材上类似的选择题，可以起到相同的复习旧知的效果，没有单纯地请学生复述几个定理缩写名称。这道题正确率非常高，属于不需要评讲类型，之所以放在讲评课中，作用就是回顾，实际上课过程中，也是一语带过。
第2题设计得非常好，同样对答题数据进行了统计，如下图：
这道题中所有的角基本上都可以求出来，所以在判断全等之前，不妨让学生简单计算一下，将他们能够求出的角写在草稿纸上备用，这也是引导学生从条件出发，读懂条件并且延伸条件。
第2小题的正确人数不到一半，有23人，因此这道题属于必须讲评类型，怎么讲？从哪里入手？
题目已经给出了提示，由条件出发，先寻找全等三角形，而且从数据统计中发现学生完成情况较好，这无疑给第2小题的完成打下良好的基础，但是在统计中发现第2小题完全效果并不好，原因是什么，这才是讲题时要重点关注的。
从已有条件出发，三对全等三角形分别是△ABF≌△EBF、△ADF≌△EDF、△ABD≌△EBD，显然全等条件最多的一对是△ABF和△EBF，直接由ASA判定。在这一对全等的基础上，逐步推导出另外两对全等，然后从这些全等三角形的结论中，去发现与∠CDE关联的条件，所以第2小题完成不太好的原因之一，是这三组全等三角形未能证明完，只是发现而已。
而另一个原因，恐怕就是结论之间的关联，这也是八年级学生普遍存在的问题，不太会寻找关联。此时需要教师进行引导，由最容易得到的那一对全等三角形开始，一步步朝着∠CDE进发，在这个过程中，进一步发现前面那三组全等三角形究竟需要用到几组，从而打磨思路，找到最优解。
学生在解题中暴露出来的问题，有两处比较典型，一是对HL判定的误用，二是角平分线性质的误用，如下图：
对HL定理，需要强调斜边和直角边，这属于识图问题；而角平分线性质的误用，则在于错误认为DA和DE是点D到角两边的距离，题目条件中并无垂直，这便是“像以为是”了。
作为本节课的重点讲解题目，此题实际花费时间最长，主要是第2问需要两次全等，对八年级学生要求也较高，另外高飞老师在这道题的思路分析上讲得非常详细，这不禁令我想起了一个常见教学误区，讲得越多，学生越迷糊。
课堂第35分钟时，学生动手书写的内容还极少，这就存在问题了，如果作业讲评课，教师讲的时间过长，仅仅让学生用眼睛和耳朵，是很难悟透题目，因为一直在接收教学信息的输入，没时间消化吸收，这里如果能给学生足够的时间思考和书写，也许会更好。
第3题的正确率很低，说明这道题本身就让学生感到困难，在统计中区分动笔和有效动笔，是一大创新，作为选做题，这是正常难度，在作业讲评课中，即使在全班范围内讲解，最终真正能消化吸引的学生，恐怕达到半数就不错了。
为了能帮助学生理解，在黑板上专门画出了图形，个人认为在这节公开课上，学生座位和黑板距离较远且位置较偏，半数以上学生需要转过身才看得到，并且也不容易看清，反倒是一体机和大屏幕在教室正中间，观看效果会强很多。
适当的信息技术手段，能提高课堂效率，黑板适合需要留下痕迹的演算推理，包括书写结论，二者不可偏废。
整节课学生表现比较低调，原因可能在于不是本班教师，师生间的互动缺少了一种亲切感，如果是新授课，问题并不大，然而作业讲评课，需要教师对学生多一些统计数据之外的了解，例如个性、习惯等，所以当学生出现思路短路或叙述卡顿，外班教师不一定能马上察觉，从而导致交流不畅。
整个教学设计非常新颖，亮点颇多，值得学习。
三、教学反思
怎样上好一节作业讲评课？评价一节课，永远看学生收获。对于作业讲评课，评价标准就是作业中的问题是否得到解决，通过讲作业题，对课堂上的内容理解漏洞是否得到弥补，能否得到拓展，这需要对后续学习跟踪调查，在单元检测、期中检测、期末检测等阶段性测试中找到答案。
一节好的作业讲评课，一定会有一份设计优秀的作业，而一份优秀作业，来源于优秀的教学设计。
作业完成得好坏，取决于课堂上的师生活动是否有效，取决于学生学习习惯的优劣，更取决于家庭教育对作业的重视。
从两节课中，我们发现布置给学生作业的量都有控制，符合国家双减文件要求，并且都进行了分层，或拔高，或延展。在对作业完成数据的统计中，都注重了正确率，这也是在批改作业后得到的最直接的数据。
数学教师批改作业的工作从来都不轻松，而对作业结果进行统计，在没有足够的自动化技术之前，更不容易，如果用这两节课的数据统计要求平时每节课，那教师负担会极大增加，但优秀的作业讲评课又离不开它，这也是对今后作业讲评课提出的新的课题，期待我们共同解决。
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