自嘲
自嘲解析如下：
1.证明CD=CM
连接CA、CB。因为AB是半圆的直径，所以∠ACB=90°。由于直线MN 切半圆于C 点，所以∠ACM=∠ABC（圆周角）。又因为CD⊥AB, 所以∠ACD=∠ABC,从而∠ACM=∠ACD。 在△AMC和△ADC中，∠AMC=∠ADC =90°,∠ACM=∠ACD,AC为公共边，根据角角边全等判定定理，可得△AMC ≌△ADC,所以CM=CD。
上述证明中，“∠ACM=∠ABC（圆周角）”是这道题的难点。∠ACM为什么是圆周角呢？∠ACM 的顶点 C 在半圆上，角的两边分别是 AC 和 CM，其中 AC 是半圆上的弦，CM 是过半圆上点 C 的切线。虽然 M 点不在圆上，但不影响顶点 C 在圆上以及角两边与圆的关系，所以∠ACM 是圆周角。据此我们可以得出这样的一个结论：过弦一个端点的切线与弦形成的角也是圆周角。但这并不是一个定理，而是根据圆周角的定义和圆的性质推导出来的一种结论。如果没学过这个结论，此题就证不出来。
2.证明CD=CN
同理，连接CA、CB,可得∠BCN=∠BCD。 在△BNC和△BDC中，∠BNC=∠BDC= 90°,∠BCN=∠BCD,BC为公共边，根据角角边全等判定定理，可得△BNC≌△BDC, 所以CN=CD。综上，CD=CM=CN。
3.证明CD²=AM.BN
因为CD⊥AB,∠ACD=90°,所以根据射影定理可得CD²=AD.DB。由(1)可知AM ＝AD，BN=BD,所以CD²=AM.BN。
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