一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分）
复数 z = \frac{1 2i}{3-i}z=3−i1 2i 的模为（ ）
A. \frac{\sqrt{5}}{2}25
B. \sqrt{2}2
C. \frac{\sqrt{10}}{2}210
D. \frac{3}{2}23
已知集合 A = \{x \mid x^2 - 4x 3 \leq 0\}A={x∣x2−4x 3≤0}，则 AA 的补集为（ ）
A. (-\infty, 1) \cup (3, \infty)(−∞,1)∪(3, ∞)
B. (1, 3)(1,3)
C. [1, 3][1,3]
D. (-\infty, 1] \cup [3, \infty)(−∞,1]∪[3, ∞)
若 \cos \theta = -\frac{5}{13}cosθ=−135，且 \theta \in \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)θ∈(π,23π)，则 \tan \theta =tanθ=（ ）
A. \frac{12}{5}512
B. -\frac{12}{5}−512
C. \frac{5}{12}125
D. -\frac{5}{12}−125
等差数列 \{a_n\}{an} 的前5项和为25，前10项和为100，则 a_{20} =a20=（ ）
A. 19
B. 21
C. 23
D. 25
函数 f(x) = \ln(x^2 - 2x - 3)f(x)=ln(x2−2x−3) 的单调递减区间为（ ）
A. (-\infty, -1)(−∞,−1)
B. (3, \infty)(3, ∞)
C. (-1, 3)(−1,3)
D. (-\infty, -1) \cup (3, \infty)(−∞,−1)∪(3, ∞)
已知向量 \mathbf{a} = (1, 2)a=(1,2)，\mathbf{b} = (2, k)b=(2,k)，若 \mathbf{a} \mathbf{b}a b 与 \mathbf{a} - \mathbf{b}a−b 垂直，则 k =k=（ ）
A. -1−1
B. 00
C. 11
D. 22
双曲线 \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 19y2−16x2=1 的离心率为（ ）
A. \frac{5}{3}35
B. \frac{5}{4}45
C. \frac{4}{3}34
D. \frac{3}{2}23
椭圆 \frac{x^2}{36} \frac{y^2}{16} = 136x2 16y2=1 上一点 PP 到两焦点的距离之差为6，则 PP 的坐标为（ ）
A. (\pm 6, 0)(±6,0)
B. (\pm 3\sqrt{2}, \pm 2\sqrt{2})(±32,±22)
C. (\pm 4\sqrt{2}, \pm 2\sqrt{3})(±42,±23)
D. (\pm 5, \pm \sqrt{11})(±5,±11)
二、多项选择题（共4题，每题5分，共20分）
下列命题正确的是（ ）
A. 若 a > b > 0a>b>0，则 \frac{1}{a} < \frac{1}{b}a1<b1
B. 函数 f(x) = x^3f(x)=x3 是奇函数
C. 直线 x = 2x=2 的斜率为0
D. \log_2 16 = 4log216=4
已知正四面体棱长为 2\sqrt{2}22，则（ ）
A. 其高为 \frac{2\sqrt{6}}{3}326
B. 其体积为 \frac{8\sqrt{3}}{3}383
C. 外接球半径为 \sqrt{6}6
D. 内切球表面积为 \frac{8\pi}{3}38π
关于函数 f(x) = e^x - x - 1f(x)=ex−x−1，下列说法正确的是（ ）
A. 在 (-\infty, 0)(−∞,0) 单调递减
B. 在 (0, \infty)(0, ∞) 单调递增
C. 极小值为0
D. 图像在 x = 0x=0 处与x轴相切
已知直线 l_1: 2x y = 5l1:2x y=5，l_2: x - ky = 2l2:x−ky=2，则（ ）
A. 当 k = -\frac{1}{2}k=−21 时，两直线平行
B. 当 k = 2k=2 时，两直线垂直
C. 当 k \neq -\frac{1}{2}k=−21 时，两直线相交
D. 当 k = 1k=1 时，交点为 (3, -1)(3,−1)
三、填空题（共4题，每题5分，共20分）
若 \sin \alpha = \frac{5}{13}sinα=135，且 \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)α∈(2π,π)，则 \cos \alpha = \underline{\quad }cosα=。
等比数列 \{a_n\}{an} 中，a_3 = 12a3=12，a_6 = 96a6=96，则公比 q = \underline{\quad }q=。
抛物线 x^2 = -8yx2=−8y 的焦点坐标为 \underline{\quad }。
定积分 \int_0^{\pi/2} \cos^2 x \, dx = \underline{\quad }∫0π/2cos2xdx=。
四、解答题（共6题，共70分）
（10分）解方程：\log_2(x^2 - 3x) = 2log2(x2−3x)=2。
（12分）已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x 5f(x)=x3−3x2−9x 5，求其极值及拐点坐标。
（12分）在三棱锥 S-ABCS−ABC 中，SA \perpSA⊥ 底面 ABCABC，SA = 4SA=4，底面为直角三角形，AB = 3AB=3，BC = 5BC=5，求三棱锥的体积。
（12分）已知双曲线 \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 19x2−16y2=1，求过点 (5, 4)(5,4) 且与双曲线相切的直线方程。
（12分）已知数列 \{a_n\}{an} 满足 a_1 = 1a1=1，a_{n 1} = a_n 2^nan 1=an 2n，求通项公式。
（12分）证明：当 x > 1x>1 时，\ln x > \frac{2(x-1)}{x 1}lnx>x 12(x−1)。
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