高一数学人教版六章试卷分析怎么写

考点一、随机事件的条件概率

考点二、离散型随机变量及其分布列

考点三、离散型随机变量的均值与方差

考点四、二项分布与超几何分布

考点五、正态分布

一、随机事件的条件概率

1．条件概率的定义

一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)．

2．条件概率公式

(1)当P(B)＞0时，有P(A|B)＝()()PB(PA∩B).

(2)当P(A)＞0时，有P(B|A)＝()()PA(PA∩B).

(3)P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率；而P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率．

3．条件概率的性质

设A，B，C都是事件且P(A)＞0.

(1)0≤P(B|A)≤1；

(2)P(A|A)＝1；

(3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

二、向离散型随机变量及其分布列

1、(1)随机变量概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．

(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量. 通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值．

2．离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率

P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n

为X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列也可以用表格表示，还可以用图形表示．

3.两点分布

如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如下表所示

我们称X服从两点分布或0－1分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．实际上，X为在一次试验中成功(事件A发生)的次数(0或1).

三、向离散型随机变量的均值与方差

1．离散型随机变量的均值

（1）定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，

则称

为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．

（2）意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．

2．离散型随机变量的方差

（1）定义：设离散型随机变量X的分布列如下表所示．

我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (n)(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记作σ(X)．

（2）意义

随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散．

3、离散型随机变量方差的计算

（1）一个结论

D(X)＝ (n)(xi－E(X))2pi＝ (n)x2ipi－(E(X))2．

（2）性质

D(X＋b)＝D(X)，D(aX)＝a2D(X)，D(aX＋b)＝a2D(X)．

四、二项分布与超几何分布

1、n重伯努利试验

n重伯努利试验

(1)伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．

(2)n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．

(3) n重伯努利试验的特征：

①同一个伯努利试验重复做n次；

②各次试验的结果相互独立．

2、二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．

3、超几何分布

(1)概念

一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M＜N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝__________，k＝t，t＋1，…，s，这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X～H(N，n，M)．

(2)分布列

如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示

五、正态分布

(1)正态曲线

φ(x)＝2π(1)e2σ2(（x－μ）2)，φ(x)的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝__________，即X的均值；σ＝_____________，即X的标准差，φ(x)也常常记为φμ，σ(x)．

(2)正态曲线的一些性质

①正态曲线关于________对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；

②正态曲线与x轴所围成的图形面积为____；

③σ决定正态曲线的“胖瘦”；σ越大，说明________越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越________；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越________．

(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈____________；

P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈____________；

P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈____________．

(4)正态分布的均值与方差

若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝__________，D(X)＝__________．

1．将三颗骰子各掷一次，记事件A表示“三个点数都不相同”，事件B表示“至少出现一个3点”，则P(A|B)等于(　　)

A．216(91) B．18(5)

C．91(60) D．2(1)

2．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是(　　)

A．4(1) B．3(1)

C．2(1) D．3(2)

3．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的概率是________．

4．从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个．

(1)选出球的最大号码为6的概率为________．

(2)已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．

5．(5分)春季是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里患鼻炎的概率是15(4)，患感冒的概率是15(2)，鼻炎和感冒均未患的概率是10(7)，则此人在患鼻炎的条件下患感冒的概率为(　　)

A．2(1) B．8(3)

C．5(2) D．15(7)

6．设两个独立事件A和B都不发生的概率为9(1)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)

A．9(2) B．18(1)

C．3(1) D．3(2)

7．如图所示，某系统由①②两个零件组成，零件①中含有A，B两个不同元件，零件②中含有C，D，E三个不同的元件，每个零件中的元件有一个能正常工作，该零件就能正常工作；两个零件都正常工作该系统才可以正常工作．若每个元件是否正常工作互不影响，且元件A，B，C，D，E正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，0.7，0.6，则该系统正常工作的概率约为(　　)

A．0.352 8 B．0.804

C．0.946 7 D．0.994

8．(多选题)记，分别为A，B的对立事件，且P(A)＝15(4)，P(B)＝15(2)，P(A|B)＝4(3)，则下列结论正确的是(　　)

A．P(B|A)＝8(3) B．P(|B)＝4(1)

C．P(A∪B)＝10(3) D．P(∪)＝10(7)

9．(13分)一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个．某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．求：

(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；

(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．

10．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是(　　)

A．0.012 45 B．0.057 86

C．0.026 25 D．0.028 65

11．袋中装有编号为1，2，…，N的N个球，先从袋中任取一球，如果该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回，然后再摸一次，则取到2号球的概率为 ．

12．已知小明每天步行上学的概率为0.6，骑自行车上学的概率为0.4，且步行上学有0.05的概率迟到，骑自行车上学有0.02的概率迟到．若小明今天上学迟到了，则他今天骑自行车上学的概率为 ．

13．中国邮政陆续发行了多款奥运纪念邮票，其图案包括“冬梦”“冰墩墩”“雪容融”等．小王有3张“冬梦”、2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”“冰墩墩”“雪容融”邮票各1张．小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以A1，A2，A3表示事件小王取出的是“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”，小李再随机取出一张邮票，以B表示事件他取出的邮票是“冰墩墩”，则P(B|A2)＝ ，P(B)＝ ．

已知随机变量X的分布列为

若Y＝－2X，则EY＝ ．

14．(数学文化)“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为(　　)

A．2(1) B．1

C．2(3) D．2

15．某地有A，B，C，D四人先后感染了某种流感病毒，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是2(1)，同样也假定D受A，B和C感染的概率都是3(1).在这种假定下，B，C，D直接受A感染的人数X就是一个随机变量，X的均值为 ．

16．(多选题)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值EX>1.75，则p的值可以为(　　)

A．4(1) B．3(1)

C．2(1) D．12(7)

17．袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为6(1)，一红一黄的概率为3(1)，则m－n＝ ，Eξ＝ ．

18．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝4(1)，k＝1，2，3，4，则D(2X－1)等于(　　)

A．4(5) B．2(5)

C．4 D．5

19.某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研．项目A：通信设备．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为12(7)，6(1)，a.项目B：新能源汽车．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c.

经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等．

(1)求a，b，c的值；

(2)若将100万元全部投资其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．

20．若X是一个随机变量，则E(X－EX)的值为(　　)

A．无法求 B．0

C．EX D．2EX

21．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝3(1)，P(ξ＝n)＝a，若Eξ＝2，则Dξ的最小值等于(　　)

A．0 B．2

C．4 D．无法计算

22．(多选题)已知随机变量ξ的分布列(如表所示)，则下列说法错误的是(　　)

A．存在x，y∈(0，1)，Eξ>2(1)

B．对任意x，y∈(0，1)，Eξ≤4(1)

C．对任意x，y∈(0，1)，Dξ<Eξ

D．存在x，y∈(0，1)，Dξ>4(1)

23．(5分)编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则Eξ＝ ，Dξ＝ ．

24．(15分)A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如表所示：

(1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；

(2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A，(100－x)万元投资项目B，f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值．

25．(多选题)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是(　　)

A．P1＝P2＝P3＝P4

B．P3＝2P1

C．P1＋P2＋P3＋P4＝1

D．P4＝3P2

26．假设每架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功飞行．若使4引擎飞机比双引擎飞机更为安全，则p的取值范围是(　　)

A．，1(1) B．3(2)

C．，1(2) D．4(1)

27．如果ξ～B(20，p)，当p＝2(1)且P(ξ＝k)取得最大值时，k＝ ．

28．一台仪器每启动一次都随机地出现一个4位的二进制数A＝a1a2a3a4，其中A的各位数字中，a1＝1，ak(k＝2，3，4)出现0的概率为3(1)，出现1的概率为3(2).若启动一次出现的数字为A＝1 010，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得－1分，则54次这样的重复试验的总得分X的方差为 ．

29．(12分)2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为A，B两档，当预定A档未成功时，系统自动进入B档预定，已知获得A档门票的概率是5(1)，若未成功，仍有4(1)的概率获得B档门票；而成功获得其他赛事门票的概率均为2(1)，且获得每张门票之间互不影响．甲预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票．

(1)求甲、乙两人都没有获得任何门票的概率；

(2)求乙获得的门票数比甲多的概率．

30．(15分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是3(1)，3(2).

(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；

(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差．

31．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则下列概率中等于22(1)4(1)22(2)26(2)26(2)的是(　　)

A．P(0＜ξ≤2) B．P(ξ≤1)

C．P(ξ＝2) D．P(ξ＝1)

32．(13分)根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效．

(1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的分布列及均值；

(2)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性．

(参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件)

33．(5分)口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是(　　)

A．Eξ＜Eη，Dξ＜Dη B．Eξ＞Eη，Dξ＜Dη

C．Eξ＜Eη，Dξ＞Dη D．Eξ＞Eη，Dξ＞Dη

34．学校组织某种知识竞赛，竞赛规则是：两人组成一个“组合”，进行多轮竞赛，每一轮竞赛中，一个“组合”的两人分别各答3道题，若答对的题目总数不少于5道题，此“组合”获得20分．已知小华和小夏两人组成“华夏组合”，小华、小夏每道题答对的概率分别是5(4)和4(3)，且每道题答对与否互不影响．

(1)求“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率；

(2)若每轮竞赛互不影响，“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行多少轮竞赛？

35.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．

(1)根据频率分布直方图，求这40件产品中质量超过505克的产品数量；

(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列和均值；

(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列和均值．

36．(多选题)若随机变量ξ～N(0，1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，下列等式成立的有(　　)

A．φ(－x)＝1－φ(x)　

B．φ(2x)＝2－φ(x)

C．P(|ξ|＜x)＝2φ(x)－1　

D．P(|ξ|＞x)＝2φ(x)

37．(多选题)设X～N(μ1，σ1(2))，Y～N(μ2，σ2(2))，这两个正态密度曲线如图所示．下列结论中正确的是(　　)

A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)

B．P(X≤σ2)>P(X≤σ1)

C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)

D．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)

38采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品．求：

(1)采购员拒绝购买的概率；

(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率．

39.一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，则下列概率等于m(2)n(3)n(3)的是(　　)

A．P(X＝3) B．P(X≥2)

C．P(X≤3) D．P(X＝2)

40．某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器，每台仪器的某个部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作．由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命(单位：时)均服从正态分布N(10 000，102)，且各个元件能否正常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取1 000台检测该部件的工作情况(各部件能否正常工作相互独立)，那么这1 000台仪器中该部件的使用寿命超过10 000小时的台数的均值为(　　)

A．600 B．420

C．375 D．270

41．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出n(1≤n≤6，n∈N)个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着n(1≤n≤6，n∈N*)的增加，下列说法正确的是(　　)

A．Eξ增大，Dξ增大 B．Eξ增大，Dξ减小

C．Eξ减小，Dξ增大 D．Eξ减小，Dξ减小

42．右图是一块改造的高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以2(1)的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，6的球槽内．用X表示小球经过第7层通过的空隙编号(从左向右的空隙编号依次为0，1，2，…，6)，用Y表示小球最后落入球槽的号码，则下列结论正确的是(　　)

A．X～B2(1)

B．P(Y＝3)＝P(X＝2)＋P(X＝3)

C．P(Y＝2)＝P(Y＝5)

D．若放入80个小球，则落入1号球槽的小球个数Z的均值为5

43．把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X不少于2的概率为 ．

44．小张的公司年会有一小游戏：箱子中有材质和大小完全相同的六个小球，其中三个球标有号码1，两个球标有号码2，一个球标有号码3，有放回的从箱子中取两次球，每次取一个，设第一个球的号码是x，第二个球的号码是y，记ξ＝x＋2y，则P(ξ＝7)＝ ；若公司规定ξ＝9，8，7时，分别为一二三等奖，奖金分别为1 000元，500元，200元，其余无奖．则小张玩游戏一次获得奖金的均值为 元．