以下是一套模拟2024年高考全国卷数学试题结构与难度的原创试题，共分为选择题、填空题和解答题三部分，总分150分。题目覆盖核心考点并融入创新思维，难度呈梯度分布。
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### **一、选择题（共12题，每题5分，共60分）**
1. 设集合 \( A = \{x \mid -2 \leq x < 3\} \)，\( B = \{x \mid x^2 \leq 1\} \)，则 \( A \cap B = \)（ ）
A. \([-1, 1]\) B. \([-1, 3)\) C. \([-2, 1]\) D. \((-2, 1)\)
2. 复数 \( z = \frac{2 i}{1-i} \) 的共轭复数的模为（ ）
A. \( \frac{\sqrt{10}}{2} \) B. \( \sqrt{5} \) C. \( \frac{5}{2} \) D. \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \)
3. 已知向量 \( \vec{a} = (1, 2) \)，\( \vec{b} = (k, -1) \)，若 \( \vec{a} \perp \vec{b} \)，则 \( k = \)（ ）
A. \( 2 \) B. \( -2 \) C. \( \frac{1}{2} \) D. \( -\frac{1}{2} \)
4. 函数 \( f(x) = \ln(x 1) \sqrt{4-x} \) 的定义域为（ ）
A. \( (-1, 4] \) B. \( [-1, 4) \) C. \( (-1, 4) \) D. \( [-1, 4] \)
5. 已知等差数列 \(\{a_n\}\) 的前3项和为12，公差为2，则 \( a_5 = \)（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
6. 将函数 \( y = \sin(2x) \) 的图象向左平移 \( \frac{\pi}{6} \) 个单位，所得图象的对称轴方程为（ ）
A. \( x = \frac{k\pi}{2} \frac{\pi}{6} \) B. \( x = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{12} \)
C. \( x = \frac{k\pi}{2} \) D. \( x = \frac{k\pi}{2} \frac{\pi}{3} \) （\( k \in \mathbb{Z} \)）
7. 已知双曲线 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1 \) 的离心率为2，则 \( a = \)（ ）
A. 1 B. \( \sqrt{3} \) C. 3 D. 6
8. 某几何体的三视图如图所示（正视图为等腰梯形，侧视图为矩形，俯视图为圆形），则该几何体可能是（ ）
A. 圆台 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球
9. 执行如图所示的程序框图，若输入 \( n=5 \)，则输出 \( S = \)（ ）
A. 15 B. 30 C. 55 D. 120
*（注：框图逻辑为累加平方和）*
10. 甲、乙两人独立解同一道题，甲解出的概率为 \( \frac{2}{3} \)，乙解出的概率为 \( \frac{1}{2} \)，则至少一人解出的概率为（ ）
A. \( \frac{1}{3} \) B. \( \frac{2}{3} \) C. \( \frac{5}{6} \) D. \( \frac{3}{4} \)
11. 已知 \( \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \)，且 \( \sin\alpha \cos\alpha = \frac{\sqrt{6}}{2} \)，则 \( \tan\alpha = \)（ ）
A. \( \sqrt{2} \) B. \( \sqrt{3} \) C. 2 D. \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)
12. 已知函数 \( f(x) = e^x - ax \) 在区间 \([1, 2]\) 上单调递增，则 \( a \) 的取值范围是（ ）
A. \( (-\infty, e] \) B. \( (-\infty, e^2] \) C. \( [e, \infty) \) D. \( [e^2, \infty) \)
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### **二、填空题（共4题，每题5分，共20分）**
13. 若 \( (1 x)^n \) 的展开式中第4项与第8项的系数相等，则 \( n = \) ______.
14. 已知圆 \( C: x^2 y^2 - 4x 2y = 0 \)，则过点 \( (3, 1) \) 的切线方程为 ______.
15. 设 \( f(x) \) 是定义在 \( \mathbb{R} \) 上的奇函数，且当 \( x > 0 \) 时，\( f(x) = x^2 - 2x \)，则 \( f(-1) = \) ______.
16. 在正四棱锥 \( S-ABCD \) 中，底面边长为2，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为 ______.
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### **三、解答题（共6题，共70分）**
17. （12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 \( \cos A = \frac{1}{3} \)，\( a = 2 \).
（Ⅰ）若 \( b = 3 \)，求角B；
（Ⅱ）若△ABC的面积为 \( 2\sqrt{2} \)，求边c的值.
18. （12分）
已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \( a_1 = 1 \)，\( a_{n 1} = a_n 2n \).
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设 \( b_n = \frac{1}{a_n a_{n 1}} \)，求数列 \(\{b_n\}\) 的前n项和 \( T_n \).
19. （12分）
如图，四棱锥 \( P-ABCD \) 中，底面ABCD为矩形，\( PA \perp \) 底面ABCD，\( PA = AB = 2 \)，\( BC = 2\sqrt{2} \).
（Ⅰ）求证：平面PCD \( \perp \) 平面PAC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
20. （12分）
已知椭圆 \( C: \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) \) 的离心率为 \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)，且过点 \( (2, 1) \).
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线 \( l: y = kx m \) 与椭圆C交于M、N两点，且线段MN的垂直平分线过点 \( (0, -1) \)，求m的取值范围.
21. （12分）
已知函数 \( f(x) = x \ln x - ax^2 \).
（Ⅰ）当 \( a = 1 \) 时，求曲线 \( y = f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程；
（Ⅱ）若 \( f(x) \) 有两个极值点，求a的取值范围.
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**选考题（共10分，任选一题作答）**
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，曲线 \( C: \rho = 4\sin\theta \)，直线 \( l: \theta = \frac{\pi}{3} (\rho \in \mathbb{R}) \).
（Ⅰ）求曲线C与直线l的交点坐标；
（Ⅱ）设P为曲线C上任意一点，求P到直线l的距离的最大值.
23. [选修4-5：不等式选讲]
已知 \( a, b, c > 0 \)，且 \( a b c = 1 \).
（Ⅰ）证明：\( \frac{a^2}{b} \frac{b^2}{c} \frac{c^2}{a} \geq 1 \)；
（Ⅱ）求 \( \frac{1}{a} \frac{1}{b} \frac{1}{c} \) 的最小值.
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